1、课时作业梯级练三十九等比数列及其前n项和一、选择题(每小题5分，共25分)1音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”，依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶据此可推得()A“商、羽、角”的频率成公比为的等比数列B“宫、微、商”的频率成公比为的等比数列C“宫、商、角”的频率成公比为的等比数列D“角、商、宫”的频率成公比为的等比数列【解析】选C.以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”
2、，频率变为原来的，得到“商”，所以q.2.(2021大理模拟)已知在等比数列an中,若a1=2,且4a1,a3,2a2成等差数列,则a5=()A.2B.2或32C.2或-32D.-1【解析】选B.设等比数列an的公比为q(q0),因为4a1,a3,2a2成等差数列,所以2a3=2a2+4a1,因为a10,所以q2-q-2=0,解得:q=2或q=-1,所以a5=a1q4,a5=32或2.3(2020张家口模拟)已知数列的前n项和为Sn，a12，Sn14anSn，则an()A24n3 B22n1C22n1 D24n【解析】选B.因为Sn14anSn，所以Sn1Sn4an，即an14an，且a12，
3、所以数列an是以2为首项，4为公比的等比数列，所以an24n122n1.4已知等比数列的首项为1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则数列的前5项和为()A B2 C D【解析】选A.设的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a24a1a3，即4q4q2，所以q2，所以an2n1.所以n1，数列是首项为1，公比为的等比数列，所以S5.5已知等比数列an的前n项和Sna3n1b，则()A3 B1 C1 D3【解析】选A.因为等比数列an的前n项和Sna3n1b，所以a1S1ab，a2S2S13abab2a，a3S3S29ab3ab6a，因为等比数列an中，aa1a3，所以(2a)2
4、(ab)6a，解得3.二、填空题(每小题5分，共15分)6(2021长春模拟)若数列满足a11，an12an，n1，2，3，则a1a2an_【解析】由已知得2，所以数列an是a11，q2的等比数列，故Sn2n1.答案：2n17在等比数列中，若a7a125，则a8a9a10a11_【解析】由a7a125得，a1q6a1q11aq175，故a8a9a10a11a1q7a1q8a1q9a1q10aq34(aq17)25225.答案：25【一题多解】由等比数列的性质知a8a11a9a10a7a125，所以a8a9a10a1125.答案：258.设等比数列an满足a1+a3=20,a2+a4=10,则a
5、1a2a3an的最大值为.【解析】因为等比数列an满足a1+a3=20,a2+a4=10,所以a1=16,公比q=,所以a1a2a3an=,当n=4或5时取最大值为210,故a1a2a3an的最大值为1 024.答案:1 024三、解答题(每小题10分，共20分)9(2020全国卷)设是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项(1)求的公比；(2)若a11，求数列nan的前n项和【解析】(1)设的公比为q，由题设得2a1a2a3，即2a1a1qa1q2.因为a10，所以q2q20，解得q1(舍去)，q2.故的公比为2.(2)设Sn为nan的前n项和由(1)及题设可得，an(2)n1.所
6、以Sn12(2)n(2)n1，2Sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n.可得3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)nn(2)n.所以Sn.10已知等比数列an的公比q0，其前n项和为Sn，且S562，a4，a5的等差中项为3a3.(1)求数列an的通项公式(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)因为a4a56a3，所以a1q3a1q46a1q2，即q2q60，解得q2或q3(舍去).所以S531a162，a12，所以an22n12n.(2)因为bn，所以Tnb1b2bn.1(2020全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312，a6a424，则()A2n1B221
7、nC22n1D21n1【解析】选B.设等比数列的公比为q，由a5a312，a6a424可得：，所以ana1qn12n1，Sn2n1，因此221n.2若数列an满足0(nN)，则称an为“梦想数列”，已知数列为“梦想数列”，且b1b2b32，则b3b4b5()A18 B16 C32 D36【解析】选A.根据题意，“梦想数列”an满足0(nN)，即an3an1，数列an为公比为的等比数列，若数列为“梦想数列”，则3，变形可得bn13bn，即数列bn为公比为3的等比数列，若b1b2b32，则b3b4b59(b1b2b3)18.3数列中，已知对任意正整数n，有a1a2a3an2n1，则aaa()A(2
8、n1)2B(4n1)C(2n1)D4n1【解析】选B.因为a1a2a3an2n1，所以a1a2a3an12n11，n2，得an2n1，n2.当n1时，a12111满足an2n1，所以an2n1(nN*)，所以a22n2，所以数列a是以1为首项，4为公比的等比数列，所以aaaa(4n1).4(2020新高考全国卷)已知公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38.(1)求an的通项公式；(2)记bm为an在区间(0，m(mN*)中的项的个数，求数列bm的前100项和S100.【解析】(1)设an的公比为q.由题设得a1qa1q320，a1q28.解得q(舍去)，或q2，a12.所以an的通项
9、公式为an2n.(2)由题设及(1)知b10，且当2nm2n1时，bmn.所以S100b1(b2b3)(b4b5b6b7)(b32b33b63)(b64b65b100)0122223234245256(10063)480.5已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3，4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式(2)证明：Sn(nN*).【解析】(1)设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3，4S4成等差数列，所以2S34S42S2，即S32S4S2，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比数列an的通项公式为an(1)n1.(2)由(1)知，Sn1
10、，Sn1当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.故对于nN*，有Sn.1在数列中，a11，a23，且2(1)n(nN*)，Sn为数列的前n项和，则S100()A50B50C50D50【解析】选C.由题意2(1)n(nN*)，当n为偶数时，可得3；当n为奇数时，可得1，即数列的偶数项成公比为3的等比数列，奇数项都为1，由求和公式可得S1005050.2设首项为1的数列an的前n项和为Sn，且an若Sm2 020，则正整数m的最小值为()A15 B16 C17 D18【解析】选C.由题意知a2ka2k11，a2k12a2k1，所以a2k12(a2k11)12a2k13，即a2k132(a2k13).又a134，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以a2k142k13，a2k42k12，所以S奇a1a3a2k13k2k243k，S偶a2a4a2k2k242k，所以S2kS奇S偶2k385k.当k8时，S162 0002 020.又a171 021，所以S173 0212 020，故正整数m的最小值为17.
