1、第3课时 面面平行与垂直关系的转化学情诊断课时测评一、单选题1(2021武汉高一检测)已知 m，n 为两条不同的直线，和 是两个不同的平面，下列为真命题的是()Amn，mn Bn，nCmn，mn Dm，nmn【解析】选 C.A.mn，m，则 n 也可在平面 内，故选项 A 不正确Bn，则 n 也可在平面 内，故选项 B 不正确C.mn，mn 成立，两平行线 m，n，m平面，m 必垂直于 内的两条相交直线，则 n 必定垂直于 内那两条相交直线，n，故 C 正确Dm，n，则 m，n 也可是异面直线的关系故选项 D 不正确2(2021南通高一检测)设 m，n 为两条直线，为两个平面，则下列命题中假命
2、题是()A若 mn，m，n，则 B若 mn，m，n，则 C若 mn，m，n，则 D若 mn，m，n，则【解析】选 C.A.若 mn，m，n，则，成立；B因为 mn，m，所以 n，因为 n，所以平面 内存在 c 使 nc，则 mnc，则 c，所以 成立；C不满足面面平行的判断定理，有可能两平面相交，故 C 不成立；D因为 mn，m，则 n，又因为 n，则，故 D 正确3(2021济南高一检测)设，是两个不同的平面，l 是一条直线，以下结论正确的是()A若 l，则 l B若 l，l，则 C若 l，则 l D若 l，则 l【解析】选 A.选项 A.若两平面平行，则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平
3、面，故 A 正确选项 B.若 m，若 lm，lm 且直线 l 不在平面，内，此时满足 l，l，但此时，故 B 不正确选项 C.若 l，则直线 l 可能有 l，也可能有 l，故 C 不正确选项 D.若 l，则直线 l 可能在平面 内，可能与平面 相交，也可能 l，故 D 不正确4在正三棱锥 A-BCD 中，点 P，Q，R 分别在棱 BC，BD，AB 上，CP12 CB，BQ14 BD，AR12 AB，则()A平面 RPQ平面 ACDB平面 RPQ平面 BCDCACRQDPQAD【解析】选 B.取 BD 的中点为 O，连接 AO，OC，PQ，RQ，PR，三棱锥 A-BCD 为正三棱锥，所以 ABA
4、DAC，BCCDBD，因此 AOBD，COBD，又 AOCOO，AO平面 AOC，CO平面 AOC，所以 BD平面 AOC；因为 BD平面 BCD，所以平面 AOC平面 BCD；又因为 CP12 CB，BQ14 BD，AR12 AB，所以 RQAO，PQCO，则 PQ平面 RPQ，RQ平面 RPQ，又 RQPQQ，所以平面 RPQ平面 AOC；所以平面 RPQ平面 BCD，即 B 正确；因为平面 AOC 与平面 ACD 相交，所以平面 RPQ 与平面 ACD 相交，即 A 错；因为 AC 与 AO 相交，所以 AC 与 RQ 异面，即 C 错；因为 PQCO，则 PQBD，若 PQAD，根据
5、BDADD，BD平面 ABD，AD平面 ABD，可得 CO平面 ABD，又 CO平面 BCD，所以平面 ABD平面 BCD，这与该几何体是正三棱锥矛盾(正三棱锥的侧面不与底面垂直)，所以 PQ 和 AD 不垂直，故 D 错5在四棱锥 P-ABCD 中，平面 ABCD平面 PCD，底面 ABCD 为梯形，ABCD，ADCD.AB平面 PCD；AD平面 PCD；M 是棱 PA 的中点，棱 BC 上存在一点 F，使 MFPC.正确命题的序号为()A B C D【解析】选 A.对于：因为 ABCD，AB平面 PCD，CD平面 PCD，所以 AB平面PCD，故正确；对于：因为平面 ABCD平面 PCD，
6、平面 ABCD平面 PCDCD，ADCD，AD平面 ABCD，所以 AD平面 PCD，故正确；对于：假设棱 BC 上存在一点 F，使得 MFPC，则 MF，PC 共面，而 MPC，所以 M，PC 确定唯一的平面 MPC，即平面 PAC，于是点 F平面 PAC，但 FBC，BC平面 ABCD，所以 FAC，从而点 F 与点 C 重合，这与 MFPC 矛盾，假设不成立，所以棱 BC 上不存在点 F 使得 MFPC，故不正确，所以正确6如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，且ABAC 33BD，E 为 CD 的中点，则下列说法不正确的是()A.BD平面
7、PACB平面 PAB平面 PAEC若 F 为 PB 的中点，则 CF平面 PAED若 PAAB2，则直线 PB 与平面 PAC 所成角为3【解析】选 D.选项 A.设底面平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O.则 O 为 BD，AC 的中点，由 ABAC 33BD，在 BCO 中，OB2OA214 BD236 BD213 BD2，AB213 BD2，所以 OB2OA2AB2，所以 BDAC，又 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 BDAP，又 APACA，所以 BD平面 PAC，故选项 A 正确，不符合题意选项 B.由 BDAC，可知底面平行四边形 ABCD 为菱形由 ABAC，
8、则 ADAC，又 E 为 CD 的中点，所以 AECD，即 AEAB，又 PA平面 ABCD，AE平面 ABCD，所以 AEAP，又 APABA，所以 AE平面 PAB，又 AE平面 PAE，所以平面 PAB平面 PAE，故选项 B 正确，不符合题意选项 C.如图，取 AP 的中点 H，连接 FH，EH，由 H 为 AP 的中点，F 为 PB 的中点，则 HFAB 且 HF12 AB，又 ABCD，且 ABCD，E 为 CD 的中点，所以 HFCE 且 HFCE，所以四边形 CFHE 为平行四边形，则 FCEH，又 EH平面 PAE，CF平面 PAE，所以 CF平面 PAE，故选项 C 正确，
9、不符合题意选项 D.连接 PO,由选项 A 的证明过程可知 BD平面 PAC，所以直线 PB 在平面 PAC 上的射影为 PO，所以BPO 为直线 PB 与平面 PAC 所成的角由 PAAB2，则 PB2 2，由 ABAC，则 AO1，所以 OB 3，在 Rt BPO 中，sin BPOBOBP 32 2 64，所以BPO3，故选项 D 不正确，符合题意二、多选题7(2021宜春高一检测)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下面结论正确的是()A.BD平面 CB1D1BAC1BDC平面 ACC1A1平面 CB1D1D异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60【解析】选 ABC.对
10、于 A，因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体，所以 BDB1D1，由线面平行的判定可得 BD平面 CB1D1，A 正确；对于 B，因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体，所以 BDAC，且 CC1BD，由线面垂直的判定可得 BD平面 ACC1，所以 BDAC1，B 正确；对于 C，由上可知 BD平面 ACC1，又 BDB1D1，所以 B1D1平面 ACC1，则平面 ACC1A1平面 CB1D1，C 正确；对于 D，异面直线 AD 与 CB1 所成的角即为直线 BC 与 CB1 所成的角，为 45，D 错误三、填空题8设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中正确的序号是
11、_(1)若 mn，n，则 m；(2)若 m，则 m；(3)若 m，n，n，则 m；(4)若 mn，n，则 m.【解析】(1)中，由 mn，n 可得 m 或 m 与 相交或 m，错误；(2)中，由 m，可得 m 或 m 与 相交或 m，错误；(3)中，由 m，n 可得 mn，又 n，所以 m，正确；(4)中，由 mn，n，可得 m 或 m 与 相交或 m，错误答案：(3)9(2021北京高一检测)在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，将这个菱形沿对角线 BD 折成 60的二面角，这时线段 AC 的长度为_【解析】如图，找 BD 的中点 E，则由菱形的性质可知 AEBD，ECBD.故AE
12、C 为二面角 A-BD-C 的平面角，AEEC 3，故由余弦定理有AC2332 3 3 12 3，故 AC 3.答案：3四、解答题10如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.【证明】(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1C1AC.在 ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是 DEA1C1.又因为 DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1
13、C1F.(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1AA1C1.又因为 A1C1A1B1，A1A平面 ABB1A1，A1B1平面 ABB1A1，A1AA1B1A1，所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D.又因为 B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，A1C1A1FA1，所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.一、选择题1(2021西安高一检测)已知直线 l，m，n 与平面，下列命题正确的是()A
14、若，l，n，则 lnB，l，则 lC若 ln，mn，则 lmD若 l，l，则【解析】选 D.A.若，l，n，则 ln 或异面，故 A 不正确；B缺少 l 垂直于交线这个条件，不能推出 l，故 B 不正确；C由垂直关系可知，lm 或 l，m 相交，或是异面，故 C 不正确；D因为 l，所以平面 内存在直线 ml，若 l，则 m，且 m，所以，故 D 正确2(2021南通高一检测)设 l 是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若，l，则 l D若，l，则 l【解析】选 B.对 A，若 l，l，则 与 相交或平行；对 B，若 l，l，则；对 C，若，l
15、，则 l 或 l；对 D，若，l，则 l 与 相交、平行或 l.3如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，ADPA，BCPB，PBBC，PAAB，M 为 PB 的中点，若 PC 上存在一点 N 使得平面 PCD平面 AMN，则PNNC()A12 B13 C23 D1【解析】选 B.取 PC 的中点 O，连接 BO，由 PBBC，所以 BOPC，过点 M 作MNBO，交 PC 于点 N，则 MNPC，如图所示，由 AM平面 PBC，PC平面 PBC，所以 AMPC，且 AMMNM，AM平面 AMN，MN平面 AMN，所以 PC平面 AMN，又 PC平面 PCD，所以平面
16、PCD平面 AMN，由 PAAB，M 为 PB 的中点，且 MNBO，所以PNPO PMPB 12，又由POPC 12，所以PNPC 14，所以PNNC 13.4(多选)(2021三明高一检测)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PAAB，截面 BDE 与直线 PC 平行，与 PA 交于点 E，则下列判断正确的是()A.E 为 PA 的中点BPB 与 CD 所成的角为3C平面 BDE平面 PACD点 P 与点 A 到平面 BDE 的距离相等【解析】选 ACD.对于 A 项，连接 AC 交 BD 于点 M，连接 EM，如图所示，因为 PC平面 BDE，
17、PC平面 APC，且平面 APC平面 BDEEM，所以 PCEM，又因为四边形 ABCD 是正方形，所以 M 为 AC 的中点，所以 E 为 PA 的中点，故 A 正确；对于 B 项，因为 ABCD，所以PBA 为 PB 与 CD 所成的角，因为 PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 PAAB，在 Rt PAB 中，PAAB，所以PBA4，故 B 错误；对于 C 项，因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PABD，又 ACBD，ACPAA，AC，PA平面 PAC，所以 BD平面 PAC，又 BD平面 BDE，所以平面 BDE平面 PAC，故 C 正确因为 PA平面 BDE
18、E，且 E 为线段 PA 的中点，所以点 P 与点 A 到平面 BDE 的距离相等，所以 D 正确二、填空题5四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有_对【解析】因为 ADAB，ADPA 且 PAABA，可得 AD平面 PAB.同理可得 BC平面 PAB、AB平面 PAD、CD平面 PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面 PAD平面 PAB，平面 PBC平面 PAB，平面 PCD平面 PAD，平面 PAB平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD，共有 5 对答案：56已知平面，且 AB，PC，PD，C，D 是垂足若 PCPD1
19、，CD 2，则平面 与平面 的位置关系是_.【解析】因为 PC，AB，所以 PCAB.同理 PDAB.又 PCPDP，故 AB平面 PCD.设 AB 与平面 PCD 的交点为 H，连接 CH，DH.因为 AB平面 PCD，所以 ABCH，ABDH，所以CHD 是二面角 C-AB-D 的平面角又 PCPD1，CD 2，所以 CD2PC2PD22，即CPD90.在平面四边形 PCHD 中，PCHPDHCPD90，所以CHD90，故平面 平面.答案：垂直7如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABAD2 3，CC1 2，则二面角 C1-BD-C 的大小为_【解析】如图，取 BD 中点
20、O，连接 OC，OC1.因为 ABAD2 3，所以 COBD，CO 6.因为 CDBC，所以 C1DC1B，所以 C1OBD.所以C1OC 为二面角 C1-BD-C 的平面角，所以 tan C1OCC1COC 26 33，所以C1OC30，即二面角 C1-BD-C 的大小为 30.答案：308(2021咸阳高一检测)设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是_(填序号).若直线 m 平行于平面 内的无数条直线，则 m；若直线 m 在平面 外，则 m；若直线 mn，n平面，那么直线 m 就平行于平面 内的无数条直线；，m，mnn；mn，m，n；，n，m，mmn.【解析】若直
21、线 m 平行于平面 内的无数条直线，m 或 m，错；若直线 m 在平面 外，则 m 或 m 与平面 相交，错；若直线 mn，n平面，那么直线 m 就平行于平面 内的无数条直线，正确；，m，mn，直线 n 与平面 可能相交，可能平行，也可能在平面 内，不能得到垂直关系，错；mn，m，n，与 可能平行，可能相交，不一定垂直，错；，m，m，由线面平行的性质定理得 mn，正确答案：三、解答题9如图，在三棱锥 P-ABC 中，PAB 为正三角形，O 为 PAB 的重心，PBAC，ABC60，BC2AB.(1)求证：平面 PAB平面 ABC；(2)在棱 BC 上是否存在点 D，使得直线 OD平面 PAC？
22、若存在，求出BDDC 的值；若不存在说明理由【解析】(1)设 ABm，则 BC2m，在 ABC 中，由余弦定理，得 ACm24m22m2 3 m.因为 AB2AC24m2BC2，所以 ACAB.因为 ACPB，ABPBB，所以 AC平面 PAB.因为 AC平面 ABC，所以平面 PAB平面 ABC.(2)如图所示：取 PA 的中点 E，连接 BE，CE，则点 O 在 BE 上，在平面 BCE 内过点 O 作 CE 的平行线交 BC 于点 D.因为 ODCE，OD平面 PAC，CE平面 PAC，所以 OD平面 PAC.因为 O 为 PAB 的重心，所以 BOOE21，又 BDDCBOOE，所以B
23、DDC 2，所以在棱 BC 上存在点 D，使得直线 OD平面 PAC，此时BDDC 2.10如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA 3.(1)求证：平面 PBE平面 PAB；(2)求二面角 A-BE-P 的大小【解析】(1)如图所示，连接 BD，由 ABCD 是菱形且BCD60知，BCD 是等边三角形因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD.又 ABCD，所以 BEAB.又因为 PA平面 ABCD，BE平面 ABCD，所以 PABE.而 PAABA，因此 BE平面 PAB.又 BE平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB.(2)由(1)知，BE平面 PAB，PB平面 PAB，所以 PBBE.又 ABBE，所以PBA 是二面角 A-BE-P 的平面角在 Rt PAB 中，tan PBAPAAB 3，PBA60，故二面角 A-BE-P 的大小是60.
