1、2015-2016学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律得零分1集合M=1，2，3的子集的个数为2不等式|x1|2的解为3设实数a，b满足a2+b2=1，则乘积ab的最大值为4命题“若，则x=1或y=1”的否命题为5已知集合 A=x|x1，B=x|xa，若 AB=B，则实数a的取值范围是6若A=a2，a+1，3，B=a3，2a1，a2+1，AB=3，则a=7不等式的解为8已知：，：12ax3a+2，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是9若集合x|mx2+mx+10，
2、xR=，则实数m的取值范围是10若关于x的不等式组的整数解集为2，则实数k的取值范围是11设x，y是正实数，记S为x，中的最小值，则S的最大值为12设n是一个正整数，定义n个实数a1，a2，an的算术平均值为设集合 M=1，2，3，2015，对 M的任一非空子集 Z，令z表示 Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的z的算术平均值为二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分13实数a1，b1是a+b2的（）A充分不必要条件
3、B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件14设a，bR，下列不等式中恒成立的是（）A BCa2+b22abD15对于实数a，b，c，给出下列命题：若ab，则ac2bc2；若0ab，则；若ab，则a0，b0；若abc0，则其中真命题的个数为（）A0B1C2D316设a，bR，定义运算“”和“”如下：ab= ab=若正数a、b、c、d满足ab4，c+d4，则（）Aab2，cd2Bab2，cd2Cab2，cd2Dab2，cd2三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程17已知全集U=1，2，3，10，A=1，2，3，4，5，B=4，5，6，7，8，C=3，5，7，9，求
4、 AB，AB，（CUA）B，A（ BC）18某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计问净水池的长为多少时，可使总造价最低？19（1）解关于x的不等式：；（2）记（1）中不等式的解集为 A，若 AR+，证明：2a3+4a5a2+120称正整数集合 A=a1，a2，an（1a1a2an，n2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于 A（1）分别判断集合1，3，6与1，3，4，12是否具有性质 P；（
5、2）设正整数集合 A=a1，a2，an（1a1a2an，n2）具有性质 P证明：对任意1in（iN*），ai都是an的因数；（3）求an=30时n的最大值21绝对值|x1|的几何意义是数轴上的点x与点1之间的距离，那么对于实数a，b，|xa|+|xb|的几何意义即为点x与点a、点b的距离之和（1）直接写出|x1|+|x2|与|x1|+|x2|+|x3|的最小值，并写出取到最小值时x满足的条件；（2）设a1a2an是给定的n个实数，记S=|xa1|+|xa2|+|xan|试猜想：若n为奇数，则当x时S取到最小值；若n为偶数，则当x时，S取到最小值；（直接写出结果即可）（3）求|x1|+|2x1|
6、+|3x1|+|10x1|的最小值2015-2016学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律得零分1集合M=1，2，3的子集的个数为8【考点】子集与真子集【专题】计算题；集合【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集【解答】解：集合M=1，2，3有三个元素，集合M=1，2，3的子集的个数为23=8；故答案为：8【点评】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有（2n1）个真子集，属于基础题2不
7、等式|x1|2的解为x|x3或x1【考点】绝对值不等式的解法【专题】计算题；函数思想；转化思想；不等式的解法及应用【分析】利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值然后求解即可【解答】解：|x1|2，x12或x12，x3或x1不等式的解集为x|x3或x1故答案为：x|x3或x1【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方3设实数a，b满足a2+b2=1，则乘积ab的最大值为【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题；函数思想；不等式的解法及应用【分析】根据基本不等式a2+b22ab，可将其变形为ab，代
8、入数据即可得答案【解答】解：a2+b22abab，（当且仅当a=b时成立）又由a2+b2=2，则ab=1，当且仅当a=b=时成立则ab的最大值为：；故答案为：【点评】本题考查基本不等式的变形应用，牢记ab（）2等变形形式4命题“若，则x=1或y=1”的否命题为“若，则x1且y1”【考点】四种命题间的逆否关系【专题】演绎法；简易逻辑【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案【解答】解：命题“若，则x=1或y=1”的否命题为“若，则x1且y1”，故答案为：“若，则x1且y1”【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题5已知集合 A=x|x1，B=x|xa，若 AB=B，则
9、实数a的取值范围是（，1【考点】并集及其运算【专题】计算题；转化思想；定义法；集合【分析】利用并集的定义和不等式的性质求解【解答】解：集合 A=x|x1，B=x|xa，AB=B，a1实数a的取值范围是（，1故答案为：（，1【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用6若A=a2，a+1，3，B=a3，2a1，a2+1，AB=3，则a=1【考点】集合关系中的参数取值问题【专题】计算题；分类讨论【分析】根据题意，由AB=3可得3B，由于B中有3个元素，则分三种情况讨论，a3=3，2a1=3，a2+1=3，分别求出a的值，求出AB并验证是否满足AB=1，3
10、，即可得答案，【解答】解：AB=3，则3B，分3种情况讨论：a3=3，则a=0，则B=3，1，1，A=0，1，3，此时AB=1，3，不合题意，2a1=3，则a=1，此时A=1，0，3，B=4，3，2，此时AB=3，符合题意，a2+1=3，此时a无解，不合题意；则a=1，故答案为1【点评】本题考查集合的交集运算与性质，注意集合中元素的特征：互异性、确定性、无序性7不等式的解为1，6）【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；方程思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】由题意可知，解得即可【解答】解：，解得1x6，故不等式的解集为1，6），故答案为：1，6）【点评】本题考查了不等式的解法，属于基础题
11、8已知：，：12ax3a+2，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（，+）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】根据是的充分不必要条件，结合集合的包含关系，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：，：12ax3a+2，若是的充分不必要条件，则，解得：a，故答案为：（，+）【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题9若集合x|mx2+mx+10，xR=，则实数m的取值范围是0，4【考点】一元二次不等式的解法【专题】分类讨论；转化思想；分类法；不等式的解法及应用【分析】对m分类讨论，利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即
12、可得出【解答】解：当m=0时，不等式化为10，满足x|mx2+mx+10，xR=，m=0适合当m0时，x|mx2+mx+10，xR=，解得0m4综上可得：实数m的取值范围是0，4故答案为：0，4【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10若关于x的不等式组的整数解集为2，则实数k的取值范围是3k2【考点】二元一次不等式组【专题】计算题；分类讨论【分析】首先分析题目已知不等式组的整数解集为2，求k的取值范围，考虑到通过分解因式的方法化简方程组，然后分类讨论当k时和当k时的情况解出方程组含有参数k的解集，然后根据整数解集为2，判断k的取值范围即可【
13、解答】解：关于x的不等式组，变形为当k时：原方程组变形为：，故方程解为，不满足整数解集为2，故不成立当k时：原方程变形为，因为方程整数解集为2，故k2，且k3故3k2，故答案为3k2【点评】此题主要考查一元二次不等式组的解集的问题，题中应用到分类讨论的思想，在解不等式中经常用到题目涵盖知识点少但有一点的计算量，属于中档题目11设x，y是正实数，记S为x，中的最小值，则S的最大值为【考点】函数的最值及其几何意义【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】设a=x，b=，c=y+=+都大于0不妨设ab可得+bca=+a+a即ca对a与的大小分类讨论即可得出最大值【解答】解
14、：设a=x，b=，c=y+=+都大于0不妨设ab则则+bca=+a+aca，当a时，ca，此时c最小；当0a，ca0，此时a最小，S综上可得：S的最大值为：故答案为：【点评】本题考查了不等式的性质、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题12设n是一个正整数，定义n个实数a1，a2，an的算术平均值为设集合 M=1，2，3，2015，对 M的任一非空子集 Z，令z表示 Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的z的算术平均值为2016【考点】数列与函数的综合；众数、中位数、平均数【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】分别讨论1，2，2015为最小值和最
15、大值的集合的个数，再运用等比数列的求和公式求和，最后由集合的非空子集的个数和均值的定义，计算即可得到所求值【解答】解：以1为最小值的集合有22014个，以2为最小值的集合有22013个，以2015为最小值的有20个，则所有M的非空子集的最小值的和为122014+222013+201520；同理，所有M的非空子集的最大值的和为201522014+201422013+120故所有这样的z的和为2016（22014+22013+20）=2016=2016（220151）则所有这样的z的算术平均值为=2016故答案为：2016【点评】本题考查n个数的均值的求法，考查集合的子集个数，以及运算能力和推理能
16、力，属于中档题二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分13实数a1，b1是a+b2的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】实数a1，b1a+b2；反之不成立，例如a=2，b=即可判断出结论【解答】解：实数a1，b1a+b2；反之不成立，例如a=2，b=a1，b1是a+b2的充分不必要条件故选：A
17、【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14设a，bR，下列不等式中恒成立的是（）ABCa2+b22abD【考点】基本不等式【专题】转化思想；试验法；不等式的解法及应用【分析】利用基本不等式的性质即可判断出，注意“一正二定三相等”的法则【解答】解：Aa0时不成立；B.0时不成立；Ca=b时不成立D. = +2，恒成立故选：D【点评】本题考查了基本等式的性质、“一正二定三相等”的法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15对于实数a，b，c，给出下列命题：若ab，则ac2bc2；若0ab，则；若ab，则a0，b0；若abc0，则其中真命题的个数为（）
18、A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；分类讨论；分析法；简易逻辑；不等式【分析】举例说明错误；利用基本不等式的性质推得正确；举例说明错误；利用分析法说明正确【解答】解：若ab，则ac2bc2，错误，当c2=0时，ac2=bc2；若0ab，则，把ab两边同时乘以，得，即正确；当ab0或ba0时，有错误；abc0，则a+c0，b+c0，若成立，则ab+acab+bc，即acbc，也就是ab，此时成立正确真命题的个数是2故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了基本不等式法人性质，是基础题16设a，bR，定义运算“”和“”如下：ab= ab=若正数a、b、c、d满足a
19、b4，c+d4，则（）Aab2，cd2Bab2，cd2Cab2，cd2Dab2，cd2【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可【解答】解：ab=，ab=，正数a、b、c、d满足ab4，c+d4，不妨令a=1，b=4，则ab2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d4，但不满足cd2，故可排除D；故选C【点评】本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程17已知全集U=1，2，3，10，A=1，2，3，4，5，B=4，5，6
20、，7，8，C=3，5，7，9，求 AB，AB，（CUA）B，A（ BC）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】对应思想；定义法；集合【分析】根据集合的运算法则与性质，计算所求的交集、并集与补集即可【解答】解：全集U=1，2，3，10，A=1，2，3，4，5，B=4，5，6，7，8，C=3，5，7，9，AB=1，2，3，4，5，6，7，8，AB=4，5；又UA=6，7，8，9，10，（CUA）B=6，7，8；又BC=5，7，A（ BC）=1，2，3，4，5，7【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目18某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）池的深度一定
21、，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计问净水池的长为多少时，可使总造价最低？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】净水池的底面积一定，设长为x米，则宽可表示出来，从而得出总造价y=f（x），利用基本不等式求出最小值【解答】解：设水池的长为x米，则宽为米总造价：y=400（2x+）+100+20060=800（x+）+120008002+12000=36000，当且仅当x=，即x=15时，取得最小值36000即有净水池的长为15m时，可使总造价
22、最低【点评】本题考查将实际问题中的最值问题转化为数学中的函数最值，运用基本不等式求得最值是解题的关键19（1）解关于x的不等式：；（2）记（1）中不等式的解集为 A，若 AR+，证明：2a3+4a5a2+1【考点】不等式比较大小【专题】分类讨论；函数思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】（1）化为：（a1）（x1）0，对a分类讨论即可得出；（2）由于AR+，因此取A=1，+）则a1，作差2a3+4a（5a2+1）=（2a1）（a21），即可证明【解答】（1）解：化为：（a1）（x1）0，当a1时，不等式的解集为（1，+）；当a=1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为（，1）（2）证明
23、：AR+，取A=1，+）即a1，2a3+4a（5a2+1）=（2a1）（a21）02a3+4a5a2+1【点评】本题考查了分式不等式的解法、“作差法”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题20称正整数集合 A=a1，a2，an（1a1a2an，n2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于 A（1）分别判断集合1，3，6与1，3，4，12是否具有性质 P；（2）设正整数集合 A=a1，a2，an（1a1a2an，n2）具有性质 P证明：对任意1in（iN*），ai都是an的因数；（3）求an=30时n的最大值【考点】数列与函数的综
24、合；子集与交集、并集运算的转换【专题】转化思想；反证法；集合【分析】（1）根据性质P；对任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集1，3，6与1，3，4，12中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（2）运用反证法，结合A具有性质P，即可得证；（3）运用30的质因数分解，结合组合的知识，即可得到n的最大值【解答】解：（1）由于36与均不属于数集1，3，6，数集1，3，4 不具有性质P；由于13，14，112，34，都属于数集1，2，3，6，数集1，3，4，12 具有性质P（2）证明：设正整数集合 A=a1，a2，an（1a1a2an，n2）具有性质 P即有对
25、任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于A运用反证法证明假设存在一个数ai不是an的因数，即有aian与或，都不属于A，这与条件A具有性质P矛盾故假设不成立则对任意1in（iN*），ai都是an的因数；（3）由（2）可知，ai均为an=30的因数，由于30=235，由组合的知识可得2，3，5都有选与不选2种可能共有222=8种，即有n的最大值为8【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查推理能力，以及反证法的运用，组合知识的运用，属于中档题21绝对值|x1|的几何意义是数轴上的点x与点1之间的距离，那么对于实数a，b，|xa|+|xb|的几何意义即为点x与点a、点b的距离之和（1
26、）直接写出|x1|+|x2|与|x1|+|x2|+|x3|的最小值，并写出取到最小值时x满足的条件；（2）设a1a2an是给定的n个实数，记S=|xa1|+|xa2|+|xan|试猜想：若n为奇数，则当x时S取到最小值；若n为偶数，则当x，时，S取到最小值；（直接写出结果即可）（3）求|x1|+|2x1|+|3x1|+|10x1|的最小值【考点】归纳推理【专题】规律型；归纳法；简易逻辑【分析】（1）根据绝对值的几何意义，可得当且仅当x1，2时，|x1|+|x2|取最小值1；当且仅当x=2时，|x1|+|x2|+|x3|取最小值2；（2）归纳可得：若n为奇数，则当x时S取到最小值；若n为偶数，则
27、当x，时，S取到最小值；（3）根据（2）中结论，可得x=时，|x1|+|2x1|+|3x1|+|10x1|取最小值【解答】解：（1）|x1|+|x2|的最小值为1，当且仅当x1，2时，取最小值；|x1|+|x2|+|x3|的最小值2，当且仅当x=2时，取最小值；（2）设a1a2an是给定的n个实数，记S=|xa1|+|xa2|+|xan|归纳可得：若n为奇数，则当x时S取到最小值；若n为偶数，则当x，时，S取到最小值；（3）|x1|+|2x1|+|3x1|+|10x1|=|x1|+2|x|+3|x|+10|x|，共55项，其中第28项为|x|，故x=时，|x1|+|2x1|+|3x1|+|10x1|取最小值： +0+=，故答案为：，【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）
