1、河南省博爱英才学校2021届高三数学上学期第三次考试试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则的子集个数为（ ）ABCD2若复数，则复数的虚部是( )ABCD3下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ）ABCD4如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为( )ABCD5已知，则的值域为( )ABCD6已知正项等比数列满足：
2、，则( )ABCD7设、满约束条件，则的最小值是( )ABCD8函数的部分图像大致为A BC D9设是两平面，是两直线下列说法正确的是（ ）若，则若，则若，则若，则ABCD10函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度11已知椭圆和双曲线，若椭圆的离心率，椭圆和双曲线渐近线的交点与椭圆其中一个焦点的连线垂直于轴则双曲线其中一条渐近线的斜率为( )ABCD12已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是（ ）A1 B0 C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知，则 14已
3、知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为 15已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，则的最小值是 16已知正三棱柱的侧面积为，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线与所成角的余弦值等于 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示若130140分数段的人数为2人（1）估计这所学校成绩在90140分之间学生的参赛人数；（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组若选出的两人成绩之
4、差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率18（12分）在中，角，所对的边分别为，若，（1）求；（2）当时，求的面积19（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，（1）证明：；（2）设点在线段上，且，若的面积为，求四棱锥的体积20（12分）已知函数，.（1）求函数的极值点；（2）若恒成立，求的取值范围.21（12分）已知是椭圆的左、右焦点，圆（）与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）过正半轴上一点的直线与圆相切，与椭圆交于点，若，求直线的方程请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修44：坐标
5、系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若的值域为，求2021届高三上学期第三次考试文科数学试题答案1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 C 7 A 8 C 9 D 10 B11【答案】D【解析】设椭圆的半焦距为，双曲线的半焦距为，双曲线的一条渐近线与椭圆的交点，所以双曲线的渐近线的斜率为12 【答案】A13【答案】14【答案】15【答案】16【答案】【解析】设正三棱柱的底面
6、边长为，高为，球的半径为，由题意知，即，底面外接圆半径，由球的截面圆性质知，当且仅当时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知，即为异面直线与所成角或补角，所以17【答案】（1）；（2）【解析】（1）设分之间的人数是，由分数段的人数为2人，可知，得（2）依题意，第一组共有人，记作、；第五组共有2人，记作、从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：、设事件：选出的两人为“黄金搭档组”，若两人成绩之差大于20，则两人分别来自第一组和第五组，共有8种选法，故18【答案】（1）；（2）【解析】，即，则（2），由正弦定理，可得，所以19【答案】（1）见解析；（2）【解析】证明：（1），平面平面，交
7、线为，平面，从而，平面，平面，（2）设，则，由（1）知平面，取中点，连结，则，且由（1）知平面，平面，由，解得，在中，到的距离，到平面的距离，四棱锥的体积20【答案】（1）极大值点为，无极小值点.（2）.【解析】（1）的定义域为，当时，所以在上单调递增，无极值点；当时，解得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值点，为，无极小值点.（2）由条件可得恒成立，则当时，恒成立，令，则，令，则当时，所以在上为减函数.又，所以在上，；在上，.所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以.21【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意，得，所以，所以椭圆为，将点代入，解得，则，所以椭圆的标准
8、方程为（2）由题意知直线的斜率存在，设斜率为，（），则直线方程为，设，直线与圆相切，则，即，联立直线与椭圆方程，消元得，因为，所以，即，所以，解得，即，所求直线方程为22【答案】（1）；（2）或【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为：，转换为极坐标方程为：（2）曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为：，所以：，整理出公共弦的直线方程为：，故：，解得或，转换为极坐标为或23【答案】（1）或；（2）见解析【解析】（1）当时，当时，不等式可化为：，即，故，当时，不等式可化为：，即，故，当时，不等式可化为，即，故，综上，不等式的解集是或（2）根据绝对值三角不等式可知，的值域是，故，故，当且仅当，即时取等号时，由基本不等式可得
