1、第四节三角恒等变换一、教材概念结论性质重现1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C()同名相乘，符号反；S()异名相乘，符号同；T()分子同，分母反2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3是的二倍角3常用公式(1)降幂扩角公式：cos2，sin2.(2)升幂公式：1cos 22cos2，
2、1cos 22sin2.(3)公式变形：tan tan tan()(1tan tan )(4)辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中sin ，cos .4常见的配角技巧2()()，()，.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(4)当是第一象限角时，sin()(5)存在角，使得sin 22sin 成立()2sin 20cos 10cos 16
3、0sin 10()ABCDD解析：sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30.故选D3cos2sin2_.解析：根据二倍角公式有cos2sin2cos .4化简：_.4sin 解析：原式4sin .5若tan ，tan()，则tan _.解析：因为tan ，tan()，所以tan tan().考点1公式的简单应用基础性1(2020山东九校联考)已知点A在圆x2y24上，且xOA，则点A的横坐标为()ABCDA解析：设点A(x0，y0)，因为点A在圆上，所以xy4.因为xOA，coscoscoscossinsi
4、n.又因为cos xOA，即cos ，所以x0.故选A2(2020沈阳三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”，在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18，则()A4B1C2D1C解析：由题意，2sin 18m，所以m24sin218，则2.3.()A4B2C2D4D解析：4.4(2020全国卷)若sin x，则cos 2x_.解析：因为sin x，所以cos 2x12sin2x.应用三角恒等变换公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为
5、：“同名相乘，符号反”(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用考点2三角函数的化简求值问题综合性考向1给值求值问题(1)(2020全国卷)已知(0，)，且3cos 28cos 5，则sin ()ABCDA解析：由3cos 28cos 5，得6cos28cos 80，即3cos24cos 40，解得cos 或cos 2(舍去)又因为(0，)，所以sin .故选A(2)(2020山东师范大学附中高三质评)若sin cos(2)，则tan 2()ABCDC解析：因为sin cos (2)cos ，所以tan ，所以tan 2.故选C(3)若，
6、且3cos 2sin，则sin 2的值为_解析：cos 2sinsin2sincos.代入原式，得6sincossin.因为，所以cos，所以sin 2cos 2cos2 1.给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)(3)将已知条件代入所求式子，化简求值考向2给值求角问题已知cos ，cos()，且0，则_.解析：因为0，所以0.又因为cos()，所以sin().因为cos ，0，所以sin .所以cos cos()cos cos()sin sin().因为0，所以.已知三角函数值求角的解题步骤(1)根据条件确定所求角的范围；(2)
7、确定待求角的某种三角函数值，为防止增解，最好选取在上述范围内单调的三角函数；(3)结合三角函数值及角的范围求角1(2019全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()ABCDB解析：由2sin 2cos 21，得4sin cos 2cos2.又因为，所以2sin cos .又因为sin2cos21，所以sin .2已知tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，则()AB或C或DD解析：由题意得tan tan 30，tan tan 40，所以tan()，且tan 0，tan 0.又由，得，所以(，0)，所以.3(2020泰安高三一轮检测)已知，sin()，sin，则cos_.解析
8、：因为，所以，.因为sin ()，sin，所以cos()，cos，所以coscoscos()cossin()sin.考点3角的变换与式的变换综合性考向1角的变换(1)(2020全国卷)已知sin sin1，则sin()ABCDB解析：因为sin sinsin sin cos cos sin sin sin cos sin cos sin 1，所以sin .故选B(2)(2020济南一模)已知cos，则sin2的值为_解析：sin2.(3)化简： _.1解析：1.本例(2)中条件改为“cos(75)”，求cos(302)的值解：因为cos(75)，所以sin(15)cos(75)，所以cos(3
9、02)12sin2(15)12.应用角的变换求值策略解决此类问题应明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2()()，()()，406020，2等考向2式的变换计算：sin 10.解：原式sin 10sin 10sin 102cos 10.应用式的变换求值策略解决此类问题应明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦函数化为正切函数，或者把正切函数化为正弦、余弦函数1(2020石家庄模拟)若cos (1tan 10)1，则的一个可能值为()A75B50C40D10C解析：因为cos (1tan 10
10、)1，所以cos cos 40，所以的一个可能值为40.故选C2(2020百校联盟1月联考)已知，都是锐角，cos()，sin()，则sin ()ABCDA解析：因为，都是锐角，所以0，0，所以sin .故选A考点4三角恒等变换的综合应用应用性已知函数f (x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求函数f (x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若(0，)，且f ，求tan的值解：(1)因为f (x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，所以函数f (x)的最小正周期T.令2k4x2k，kZ，得x，kZ.
11、所以函数f (x)的单调递减区间为，kZ.(2)因为f ，所以sin1.又(0，)，所以.所以.故.因此，tan2.三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f (x)化为asin xbcos x的形式(2)构造f (x).(3)和角公式逆用，得f (x)sin(x)(其中为辅助角)(4)利用f (x)sin(x)研究三角函数的性质(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范1(2020北京卷)若函数f (x)sin(x)cos x的最大值为2，则常数的一个取值为_解析：因为f (x)cos sin x(sin 1)cos xsin(x)，其中tan ，所以2，解得sin 1，故可取.2已知角的顶
12、点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(3，)(1)求sin 2tan 的值；(2)若函数f (x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数g(x)f 2f 2(x)在区间上的值域解：(1)因为角的终边经过点P(3，)，所以sin ，cos ，tan .所以sin 2tan 2sin cos tan .(2)因为f (x)cos(x)cos sin(x)sin (cos xcos sin xsin )cos (sin xcos cos xsin )sin cos xcos2cos xsin2cos x，所以g(x)cos2cos2xsin 2x1cos 2x2sin1.因为
13、0x，所以2x.所以sin1.所以22sin11.故函数g(x)在区间上的值域是2,1.已知，求sin的值四字程序读想算思求sin的值1.解答本题可能会用到哪些公式？2.条件中既有“切”又有“弦”，如何处理？三角恒等变换1.转化与回归；2.数形结合1.两角和的正弦、正切公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系等；2.通常要切化弦sin(sin 2cos 2)1.弦切互化及“1”的代换；2.拆角凑角；3.构造图形思路参考：利用同角三角函数关系求值解：由，解得tan 或tan 2.当tan 时，可能为第二象限角或第四象限角若为第二象限角，sin ，cos ，所以sin 2，cos 2.若为第四象限角
14、，则sin ，cos ，sin 2，cos 2.把sin 2，cos 2代入求值，得sin(sin 2cos 2).当tan 2时，可能为第一象限角或第三象限角若为第一象限角，则sin ，cos ，所以sin 2，cos 2.若为第三象限角，则sin ，cos ，所以sin 2，cos 2.把sin 2，cos 2代入求值，sin(sin 2cos 2).所以sin.思路参考：根据万能公式sin 2，cos 2求值解：由，解得tan 或tan 2.根据公式sin 2，cos 2，可得当tan 时，sin 2，cos 2；当tan 2时，sin 2，cos 2，两种情况的结果都是sin(sin
15、2cos 2).思路参考：利用同角三角函数基本关系中“1”的代换解：由，解得tan 或tan 2.sin(sin 2cos 2)(2sin cos cos2sin2).将tan 或tan 2代入上式均有sin.思路参考：把正切转化为正弦、余弦的比值，得到与的正余弦值的关系解：因为，所以sin coscos sin.又，所以sinsinsincos cossin .由，得sin cos，cos sin，把2拆分为，可得sinsinsin coscos sin.思路参考：令，则2.将原问题进行转化，然后构造几何图形求解解：令，则2.原题可转化为：已知，求sin()的值如图，构造RtABC，其中BC
16、1，CD2，AD1，tan ，tan ，sin()sin ，满足题意在ABD中，BD，AB，AD1，由余弦定理得cos .所以sin()sin .1本题考查两角和的正弦、正切公式，三角恒等变换，基本解题方法是利用有关公式直接求值(如解法1)也可根据题目条件恰当选用“1”的代换、拆角凑角、数形结合等方法在求解过程中，注意综合运用数学思想方法分析与解决问题2基于课程标准，解答本题一般需要掌握运算求解能力、转化化归能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养3基于高考数学评价体系，本题涉及两角和的正弦、正切公式等知识，渗透着转化与化归、数形结合等思想方法，有一定的综合性，对培养创造性思维能力起到了积极的作用若tan3，则()A3B3CDA解析：(方法一)因为tan3，所以tan .所以3.(方法二)同方法一求得tan .因为sin 2，cos 2.所以3.
