1、探究三多得分，要想解题巧，数学思想离不了高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中
2、一函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系例12022全国甲卷记Sn为数列an的前n项和已知2Snnn2an1.(1)证明：an是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列
3、，求Sn的最小值听课笔记：对 接 训 练1.f(x)ax33x1对于x1，1总有f(x)0成立，则a_二数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合例22022全国乙卷双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F
4、1作D的切线与C交于M，N两点，且cos F1NF235，则C的离心率为()A52 B32 C132 D172听课笔记：对 接 训 练2.已知函数f(x)ex，x0lnx，x0，g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1，0) B0，)C1，) D1，)三分类讨论思想分类讨论的原则分类讨论的常见类型(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论(2)由数学运算要求而引起的分类讨论(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论(5)由参数的变化而引起的分类讨论
5、分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略例32022北京卷设函数f(x)-ax+1，x0(n1，2，3，)，则q的取值范围是_四转化与化归思想转化与化归的原则常见的转化与化归的方法(1)熟悉化原则(2)简单化原则(3)直观化原则(4)正难则反原则(1)直接转化法(2)换元法(3)等价转化法(4)构造法(5)正难则反法转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法例4已知函数f(x)3e|x|.若存在实数t1，)，使得对任意的x1，m，mZ且m1，都有f(xt
6、)3ex，试求m的最大值听课笔记：对 接 训 练4.2022新高考卷(多选)已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)f(x)，若f(322x)，g(2x)均为偶函数，则()Af(0)0 B. g(12)0C. f(1)f(4) D. g(1)g(2)探究三多得分，要想解题巧，数学思想离不了一函数与方程思想例1解析：(1)证明：由已知条件，得Snnann22+n2.当n1时，a1S1.当n2时，anSnSn1nann22+n2-n-1an-1-n-122+n-12，(1n)ann1(n1)an1.等式两边同时除以1n，得an1an1，anan11.an是公差为1的等差数列(2
7、)由(1)可得ana1(n1)a4a13，a7a16，a9a18.a4，a7，a9成等比数列，a72a4a9，即(a16)2(a13)(a18)，a112，Snna1nn-12112nn2-n212n2252n.当n12或n13时，Sn取得最小值，为121222521278.对接训练1解析：若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0即x(0，1时，f(x)ax33x10可化为a3x2-1x3，设g(x)3x2-1x3，则g(x)31-2xx4，所以g(x)在区间(0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g(x)maxg(12)4，从而a4；当x0即x1，0)时，f(x)ax3
8、3x10可化为a3x2-1x3，设g(x)3x2-1x3，且g(x)在区间1，0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上a4.答案：4二数形结合思想例2解析：由题意，知点N在双曲线的右支上，不妨设点N在第一象限，如图设切点为点A，连接DA，则DAMN，易知|DA|a，|DF1|c，则|AF1|c2-a2b.过点F2作F2BMN交直线MN于点B，则F2BDA.又因为点D为F1F2的中点，所以|F2B|2|DA|2a，|F1B|2|AF1|2b.由cos F1NF235，得sin F1NF245，tan F1NF243，所以|F2N|F2BsinF1NF25a2，|BN|F2Bt
9、anF1NF23a2，所以|F1N|F1B|BN|2b3a2.由双曲线的定义，得|F1N|F2N|2a，则2ba2a，即ba32.所以双曲线C的离心率e 1+b2a2 1+94132.故选C.答案：C对接训练2.解析：函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C.答案：C三分类讨论思想例3解析：当a0时，f(x)ax1(xa)是(，a)上的增函数，没有最小值，不符合题意当0a2时，f(x)ax1(xa)是(，a)上的减函数，f(x)(x
10、2)2(xa)在a，2上是减函数，在(2，)上是增函数，其最小值是当x2时的函数值，即f(x)minf(2)0，要使f(x)存在最小值，则f(a)aa1a210，解得1a1.又0a2，所以0a1，则a的一个取值可以为0.当a2时，f(x)ax1(x0，可得a1S10，q0.当q1时，Snna10；当q1时，Sna11-qn1-q0，即1-qn1-q0(nN*)，则有1-q0，1-qn 0，或1-q0，1-qn0，由得1q1，由得q1.故q的取值范围是(1，0)0，+答案：(1，0)0，+四转化与化归思想例4解析：当t1，)且x1，m时，xt0，f(xt)3exextext1ln xx.原命题等
11、价转化为：存在实数t1，)，使得不等式t1ln xx对任意x1，m恒成立令h(x)1ln xx(1xm)h(x)1x10，函数h(x)在1，)上为减函数，又x1，m，h(x)minh(m)1ln mm.要使得对任意x1，m，t值恒存在，只需1ln mm1.h(3)ln 32ln 1e3eln 1e1，h(4)ln 43ln 1e4e2ln 1e1，又函数h(x)在1，)上为减函数，满足条件的最大整数m的值为3.对接训练4解析：因为f(322x)，g(2x)均为偶函数，所以f(322x)f(322x)，g(2x)g(2x)令t322x，则x34-t2，所以f(t)f(3t)，即f(x)f(3x)
12、对两边求导，得f(x)f(3x)，即g(x)g(3x)0，所以g(x)的图像关于点(32，0)对称，即g(32)0.又因为g(2x)g(2x)，所以g(x)的图像关于直线x2对称，所以g(x)的周期为4(232)2，所以g(32)g(12)0，所以B正确因为f(2x)f(2x)，所以f(2x)f(2x)C，其中C为常数，所以f(2x)f(2x)C，所以f(x)的图像关于点(2，C2)对称又因为f(x)f(3x)，所以f(x)的图像关于直线x32对称，所以f(x)的周期为4(232)2，所以f(1)f(1)，f(4)f(2)又因为f(x)f(3x)，所以f(1)f(2)，所以f(1)f(4)，所以C正确g(x)的图像不关于直线x12对称，所以D错误因为f(0)f(2)C2，所以当C0时，f(0)0，当C0时，f(0)0，所以A错误故选BC.答案：BC7
