1、四三角函数与平面向量【必 记 结 论】1.诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)22正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限2三种三角函数的性质函数ysin xycos xytan x图象单调性在-2+2k，2+2k(kZ)上单调递增；在2+2k，32+2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在-2+k，2+k(kZ)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴；x2k(kZ)对称中心：(2k，0
2、)(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：k2，0(kZ)3.三角函数图象的变换由函数ysin x的图象变换得到yA sin (x)(A0，0)的图象的两种方法4两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin ()sin cos cos sin .cos ()cos cos sin sin .tan ()tantan1tantan.sin ()sin ()sin2sin2(平方正弦公式)cos()cos ()cos2sin2.5二倍角、辅助角及半角公式(1)二倍角公式sin22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan22tan1-tan2.1sin2(sin cos
3、 )2.1sin 2(sin cos )2.(2)辅助角公式ya sin xb cos xa2+b2(sin x cos cos x sin )a2+b2sin (x)，其中角的终边所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan ba(a0)确定(3)半角公式sin 2 1-cos2cos 2 1+cos2tan 2 1-cos1+cos1-cossinsin1+cos.6正、余弦定理及其变形定理正弦定理余弦定理内容asinAbsinBcsinC2Ra2b2c22bc cos A；b2a2c22ac cos B；c2a2b22ab cos C变形(1)a2R sin A，b2R sin B，c2R
4、 sin C；(2)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)a sin Bb sin A，b sin Cc sin B，a sin Cc sin A；(5)a+b+csinA+sinB+sinCasinA2Rcos Ab2+c2-a22bc；cos Bc2+a2-b22ac；cos Ca2+b2-c22ab7.平面向量数量积的坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角结论几何表示坐标表示模|a|aa|a|x12+y12数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos ababcos x1x
5、2+y1y2x12+y12x22+y22ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)x1x2+y1y2x12+y12x22+y22【易 错 剖 析】易错点1不清楚向量夹角范围【突破点】数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当ab0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意隐含的情况易错点2忽视正、余弦函数的有界性【突破点】许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性易错点3忽视三角函数值对角的范围的限制【突破点】在解决三角函数中的求值问
6、题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是注意挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围易错点4图象变换方向或变换量把握不准确【突破点】图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移个单位另外注意根据的符号判定平移的方向【易 错 快 攻】易错快攻一忽视向量的夹角范围致误典例1已知向量a，b均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为()A6B23C3D56听课笔记：易错快攻二函数图象平移的方向把握不准典例2将函数ysin (2x)的图象沿x轴向左平移6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为()A3B6C0 D4听课笔记：四三角函数与平面向量典例1解析：因为(a2b)a，(b2a)b，所以(a-2b)a=0，(b-2a)b=0.所以a2=2ab，b2=2ab，即a=b，a2=2ab.设a，b的夹角为，则cos abab12，因为0，所以3，即a，b的夹角为3，故选C.答案：C典例2解析：将函数ysin (2x)的图象沿x轴向左平移6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为ysin 2x+6+sin 2x+3+.因为所得函数为偶函数，所以3k2(kZ)，即k6(kZ)，则的一个可能取值为6，故选B.答案：B5
