1、第三讲圆锥曲线大题备考微专题1直线与圆锥曲线的位置关系保分题已知抛物线y22px(p0)的顶点为O，焦点坐标为12，0.(1)求抛物线方程；(2)过点(1，0)且斜率为1的直线l与抛物线交于P，Q两点，求线段|PQ|的值提分题例1 2022北京卷已知椭圆E：x2a2+y2b21(ab0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为23.(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|MN|2时，求k的值听课笔记：技法领悟解决直线与圆锥曲线的问题时要注意基本方法的应用如联立消元、根与系数的关系、弦长公式、中点弦中的点差法等巩
2、固训练1已知双曲线E：x2y2b21(b0)的离心率为2.(1)求双曲线E的方程；(2)设点P(0，3)，过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B，求直线PA，PB的斜率之和微专题2定点、定值问题提分题例2 2022湖北八市3月联考设椭圆C：x2a2+y2b21(ab0)的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率e32，短轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点听课笔记：例3 2022山东临沂三模已知双曲线C：x2a2-y2b21(a0，b0)的左、右焦点分
3、别为F1，F2，离心率为32，A为C的左顶点，且AF1 AF25.(1)求C的方程；(2)若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M、N.求证：点M与点N的横坐标之积为定值听课笔记：技法领悟1直线过定点问题的解题策略：(1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置(2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件2圆锥曲线中定值问题的解题策略：(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元、选择消元、对称消元等巩固训练21.2022河北石家庄二中模拟已知P(1，2)在抛物线C：y22px上(
4、1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点22022湖南怀化一模如图，矩形ABCD的长AB23，宽BC12，以A、B为左右焦点的椭圆M：x2a2+y2b21(ab0)恰好过C、D两点，点P为椭圆M上的动点(1)求椭圆M的方程，并求PAPB的取值范围；(2)若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M、N两点(点C与M、N两点不重合)，且直线CM、CN的斜率分别为k1、k2，试证明k1k22k为定值微专题3最值、范围问题提分题例4 2022全国甲卷设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N
5、两点当直线MD垂直于x轴时，|MF|3.(1)求C的方程；(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为，.当取得最大值时，求直线AB的方程听课笔记：例5 已知双曲线C：x2a2-y2b21(a0，b0)的右焦点为F(3，0)，过点F与x轴垂直的直线l1与双曲线C交于M，N两点，且|MN|4.(1)求C的方程；(2)过点A(0，1)的直线l2与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若|GH|DE|，求实数的取值范围听课笔记：技法领悟1圆锥曲线中最值问题的解题策略把要求最值的几何量或代数表达式表示为某一个参数的函数(
6、解析式)，利用函数的单调性、不等式知识求最值2圆锥曲线中范围问题的解题策略(1)函数法：将要求的量用已知参数表示出来，转化为关于这个参数的值域问题，利用函数性质、配方法、基本不等式法求解(2)不等式法：构造关于要求的参数的不等式，通过解不等式求范围巩固训练31.2022江苏苏州三模已知双曲线C：x2a2-y2b21(a0，b0)过点(22，1)，渐近线方程为y12x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点(1)求双曲线C的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值22022山东肥城模拟已知椭圆C：x2a2+y2b21(ab0)，四点P1(2，32)，P2
7、(0，1)，P3(1，22)，P4(1，22)中恰有三点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点Q(2，0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求OMN面积的取值范围第三讲圆锥曲线微专题1直线与圆锥曲线的位置关系保分题解析：(1)y22px焦点坐标为p2，0，p212，p1，抛物线的方程为y22x.(2)设直线l方程为xy1，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立x=y+1y2=2x，消元得y22y20，120，y1y22，y1y22，|PQ|1+12|y1y2|1+12y1+y22-4y1y21+1222-4-226.线段|PQ|的值为26.提分题例1解析：(1)由题意，
8、得b=1，2c=23，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=3，椭圆E的方程为x24y21.(2)由题意可设直线BC的方程为y1k(x2)联立得方程组x24+y2=1，y-1=kx+2消去y并整理，得(4k21)x2(16k28k)x16k216k0，则(16k28k)24(4k21)(16k216k)0，解得k0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，x1x216k2+8k4k2+1，x1x216k2+16k4k2+1.直线AB的方程为yy1-1x1x1，则直线AB与x轴交点M的坐标为(-x1kx1+2k，0)同理得点N的坐标为(-x2kx2+2k，0)|MN|2，|-x2kx2+2-x
9、1kx1+2|2，|x1x2|kx1x22(x1x2)4|，x1+x22-4x1x2|kx1x22(x1x2)4|.将代入，得(16k2+8k4k2+1)2416k2+16k4k2+1k216k2+16k4k2+1-216k2+8k4k2+142.整理，得k24k0.又k0，所以k24且k23，因此，可得x1x22k3-k2，x1x2-43-k2.kPAkPBy1+3x1+y2+3x2kx1+4x1+kx2+4x22k4x1+x2x1x22k8k3-k2-43-k22k2k0.微专题2定点、定值问题提分题例2解析：(1)由已知可得2b=2e=a2-b2a=32，解得a=2b=1，故椭圆C的方程
10、为x24y21；(2)设直线BP的方程为yk1(x2)(k10且k112)，直线DP的方程为yk2x1(k20且k212)，则直线DP与x轴的交点为N-1k2，0，直线AD的方程为y12x1，则直线BP与直线AD的交点为M4k1+22k1-1，4k12k1-1，将yk2x1代入方程x24y21，得(4k221)x28k2x0，则点P的横坐标为xP-8k24k22+1，点P的纵坐标为yPk2 -8k24k22+111-4k224k22+1，将点P的坐标代入直线BP的方程yk1(x2)，整理得(12k2)(12k2)2k1(12k2)2，12k20，2k14k1k22k21，由M，N点坐标可得直线
11、MN的方程为：y4k1k24k1k2+2k2+2k1-1(x1k2)2k1k2x+2k12k2-12k1k2x+2k2-1-4k1k22k2-1，即y2k1k22k2-1(x2)1，则直线MN过定点(2，1)例3解析：(1)易知点A(a，0)、F1(c，0)、F2c，0，AF1-c+a，0，AF2(ca，0)，所以，ca=32AF1AF2 =a2-c2=-5，解得a2，c3，则bc2-a25，所以，双曲线C的方程为x24-y251.(2)分以下两种情况讨论：当直线lx轴时，直线l的方程为x2，此时点M、N的横坐标之积为224；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，由题意可知直线l不与
12、双曲线C的渐近线平行或重合，即k52，设点M(x1，y1)、N(x2，y2)，联立y=kx+m5x2-4y2=20可得(54k2)x28kmx4m2200，则64k2m24(54k2)(4m220)0，可得4k2m25，则m0，不妨设点M、N分别为直线l与直线y52x、y52x的交点，联立y=kx+my=52x可得x1m52-k，联立y=kx+my=-52x可得x2m52+k，此时，x1x2m2k2-544m24k2-54m2m24.综上所述，点M与点N的横坐标之积为定值巩固训练21解析：(1)P点坐标代入抛物线方程得42p，p2，抛物线方程为y24x.(2)证明：设AB：xmyt，将AB的方
13、程与y24x联立得y24my4t0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24t，所以016m216t0m2t0，kPAy1-2x1-1y1-2y12414y1+2，同理：kPB4y2+2，由题意：4y1+2+4y2+22，4(y1y24)2(y1y22y12y24)，y1y24，4t4，t1，故直线AB恒过定点(1，0)2解析：(1)由题意得c3.又点C(3，12)在椭圆M：x2a2+y2b21上，所以3a2+14b21，且a2b23，所以a2，b1，故椭圆M的方程为x24y21.设点P(x，y)，由A(3，0)，B(3，0)得PAPBx23y2x231x243x242
14、.又x2，2，所以PAPB2，1.(2)设过点B且斜率为k的直线方程为yk(x3)，联立椭圆M方程得(14k2)x283k2x12k240.设两点M(x1，y1)、N(x2，y2)，故x1x283k21+4k2，x1x212k2-41+4k2.因为k1k2y1-12x1-3+y2-12x2-3y1x2+x1y2-3y1+y2-12x1+x2+3x1x2-3x1+x2+3，其中y1x2x1y22kx1x23k(x1x2)-8k1+4k2，y1y2-23k1+4k2，故k1k2-8k1+4k2+6k1+4k2-43k21+4k2+312k2-41+4k2-24k21+4k2+32k3，所以k1k2
15、2k3为定值微专题3最值、范围问题提分题例4解析：(1)方法一由题意可知，当xp时，y22p2.设M点位于第一象限，则点M的纵坐标为2p，|MD|2p，|FD|p2.在RtMFD中，|FD|2|MD|2|FM|2，即p22+2p29，解得p2.所以C的方程为y24x.方法二抛物线的准线方程为xp2.当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p.此时|MF|pp23，所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)设直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，则k1tan ，k2tan .由题意可得k10，k20.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，y10，y20，A(x3，y3)，B(x4，y4)，y
16、30，y40.设直线AB的方程为yk2(xm)，m为直线AB与x轴交点的横坐标，直线MN的方程为yk1(x1)，直线MD的方程为yk3(x2)，直线ND的方程为yk4(x2)联立得方程组y=k1x-1，y2=4x，所以k12x2-2k12 +4xk120，则x1x21.联立得方程组y=k2x-m，y2=4x，所以k22x2-2mk22 +4xk22m20，则x3x4m2.联立得方程组y=k3x-2，y2=4x，所以k32x2-4k32 +4x4k320，则x1x34.联立得方程组y=k4x-2，y2=4x，所以k42x2-4k42 +4x4k420，则x2x44.所以M(x1，2x1)，N(1
17、x1，-2x1)，A(4x1，-4x1)，B(4x1，4x1)所以k12x1x1-1，k2x1x1-1，k12k2，所以tan ()tan-tan1+tantank1-k21+k1k2k21+2k2211k2+2k2.因为k12k2，所以k1与k2同号，所以与同为锐角或钝角当取最大值时，tan ()取得最大值所以k20，且当1k22k2，即k222时，取得最大值易得x3x416x1x2m2，又易知m0，所以m4.所以直线AB的方程为x2y40.例5解析：(1)由题意得3a2-4b2=1a2+b2=3，解得a2=1，b2=2.故C的方程为x2y221.(2)显然直线l2斜率存在，设直线l2的方程
18、为ykx1，D(x1，y1)，E(x2，y2)，联立y=kx-1x2-y22=1，得(2k2)x22kx30，因为l2与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，故2-k20x1x2=3k2-20，解得2k2，此时有x1x22kk2-2.|DE|1+k2|x1x2|1+k2x1+x22-4x1x2，1+k2223-k22-k2，由y=kx-1y=2x，解得xG1k-2，同理可得xH1k+2，所以|GH|1+k21k-2-1k+2221+k22-k2.因为|GH|DE|，故GHDE13-k2.因为2k2，故330，当直线l斜率不存在时，则直线l：x2，易知点M到y轴的距离为xM2当直线l斜率存在时
19、，设l：ykxmk12，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x24-y2=1y=kx+m，整理得(4k21)x28kmx4m240，64k2m216(4k21)(m21)0，整理得4k2m21，则x1x28km4k2-18kmm28km，则xMx1+x224km0，即km4，即xM2，此时点M到y轴的距离大于2；综上所述，点M到y轴的最小距离为2.2解析：(1)由对称性可知：P3，P4都在椭圆C上，对于椭圆在第一象限的图象上的点(x，y)，易知y随x的增大而减小，故P1，P2中只有P2符合所以P2，P3，P4三点在椭圆上，故b1，将P3代入椭圆方程得a2，所以椭圆方程为：x22y21.(2)由已知直线l斜率不为0，故设方程为：xmy2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x=my+2x22+y2=1，联立方程得：m2+2y24my20，16m28(m22)8(m22)0，即m22，y1y24mm2+2，y1y22m2+2，SOMN122|y1y2|y1y2|16m2m2+22-8m2+222m2-2m2+2；令m2-2t0，则m2t22，令SOMN22tt2+422t+4t222t4t22，当且仅当t2，m26时取等号，OMN面积的取值范围为(0，22.
