1、第6讲函数及其表示1函数的概念一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.2函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的 3函数的表示法表示函数的常用方法有 、图像法和 4分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域
2、的并集，值域等于各段函数的值域的并集 考点1 函数的概念名师点睛（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同典例1（2022全国高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（）A（1）（2）B（1）（2）（3）C（1）（3）（4）D（1）（2）（3）（4）2（2021湖南雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，是同一函数的是（）A，B，C，D，举一反三1（2022全国高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（
3、）A至少1个B至多1个C仅有1个D有0个、1个或多个2（2022天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）Ay=x-1和y=By=x0和y=1Cf(x)=x2和g(x)=(x+1)2Df(x)=和g(x)=3（2022全国高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A与B与C与D与 考点2 函数的定义域名师点睛1根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可2求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则
4、复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域3求函数定义域应注意的问题(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接4.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围典例1（2022北京模拟预测）函数的定义域是_2（2022全国高三专题练习）若函数的定义域是，则函
5、数的定义域是（）ABCD3（2022全国高三专题练习）已知函数的定义域为(2,0)，则的定义域为（）A(1,0)B(2,0)C(0,1)D4（2022全国高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（）ABCD举一反三1（2022全国高三专题练习）函数的定义域为（）AB(，3)(3，)C(3，)D(3，)2（2022全国高三专题练习）函数()的定义域是（）ABCD3（2022全国高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）ABCD4（2022全国高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（）ABCD5（2022全国高三专题练习）已知函数的
6、定义域为，则的取值范围是（）ABCD6（2022上海市奉贤中学高三阶段练习）函数的定义域为_.7（2022全国高三专题练习）函数的定义域是，则的取值范围是_8（2022全国高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是_ 考点3 函数解析式名师点睛函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(4)联立方程组法：已知关于f(x)与f或f
7、(x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)典例1.(1)已知f(1)x2，则f(x)的解析式为_(2)若f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2，则f(x)的解析式为_(3)已知函数f(x)满足2f(x)f(x)2x，则f(x)的解析式为_2（2022全国高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式（1）f(x)是一次函数，且满足f(f(x)=4x3；（2）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函数解析式（3）已知f(0)1，对任意的实数x，y都有f(xy)f(x)y(2xy1)举一反三1（2022全国高三专题
8、练习）已知函数，则的解析式为（）ABCD2（2022全国高三专题练习）已知函数f（x1）x2+2x3，则f（x）（）Ax2+4xBx2+4Cx2+4x6Dx24x13（2022全国高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则（）ABCD4（多选）（2022全国高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（）ABCD5（2022山东济南二模）已知函数，则_6（2022全国高三专题练习）已知，且为一次函数，求_7（2022全国高三专题练习）已知函数，则的解析式为_8（2022全国高三专题练习）设函数f(x)对x0的一切实数都有f(x)2f()3x，则f(x)_.9（2022全国高三专题练习
9、）已知定义域为R的函数满足，则_.10（2022全国高三专题练习）（1）已知是二次函数且，求；（2）已知，求. 考点4 分段函数名师点睛1分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验2分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后对讨论结果求并集典例1（2022广东梅州二模）设函数，则（）A2B6C8D102（2022山东潍坊模拟预测）设函数，则（）ABCD3（2022浙江省江山中学高三期中）已知，函数若，则_.4（202
10、2湖南湘潭三模）已知，且，函数，若，则_，的解集为_.举一反三1（2022山东济南一中高三阶段练习）已知函数,则（）A2B9C65D5132（2022重庆八中模拟预测）已知函数，则（）ABCD3（2022安徽安庆二模）已知函数且，则（）ABCD4（2022福建三明模拟预测）已知函数，则_.5（2022辽宁建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为_.6（2022浙江省临安中学模拟预测）设，若，则_，_.7（2022浙江湖州中学高三阶段练习）已知函数fx=ex,x1lnx,x1，则_；方程的解集为_8（2022浙江高三专题练习）已知则_；若，则的取值范围是_.9（2022浙江浙江二模）设
11、，函数则_；若，则实数的取值范围是_第6讲函数及其表示1函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.2函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域3函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法4分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分
12、段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集 考点1 函数的概念名师点睛（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同典例1（2022全国高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（）A（1）（2）B（1）（2）（3）C（1）（3）（4）D（1）（2）（3）（4）【答案】C【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应
13、唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.故选：C.2（2021湖南雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，是同一函数的是（）A，B，C，D，【答案】D【解析】解：对于A选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；对于B选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；对于C选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；对于D选项，的定义域均为，对应关系均为，故是同一函数.故选：D举一反三1（2022全国高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（）A至少1个B至多1个C仅有1个D有0个、1个或多个【答案】B【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，若1在函数f(x)的定义域内
14、，y=f(x)的图象与直线有1个交点，故选：B.2（2022天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）Ay=x-1和y=By=x0和y=1Cf(x)=x2和g(x)=(x+1)2Df(x)=和g(x)=【答案】D【解析】对于A，函数y=x-1定义域是R，函数y=定义域是，A不是；对于B，定义域是，函数y=1定义域是R，B不是；对于C，和对应法则不同，C不是；对于D，f(x)= 和g(x)=定义域都是，并且对应法则相同，D是. 故选：D3（2022全国高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A与B与C与D与【答案】D【解析】对于A：定义域为，定义域为，
15、定义域不同不是同一个函数，故选项A不正确；对于B：定义域为，的定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项B不正确；对于C：的定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项C不正确；对于D：由可得，解得：，所以的定义域为，由可得，所以函数的定义域为且，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D正确，故选：D. 考点2 函数的定义域名师点睛1根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可2求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f(x)的定义域为a
16、，b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域3求函数定义域应注意的问题(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接4.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围典例1（2022北京模拟预测）函数的定义域是_【答案】【解析】由题意可得，解之得则函数的定
17、义域是故答案为：2（2022全国高三专题练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（）ABCD【答案】D【解析】因为函数的定义域是，所以. 故选：D.3（2022全国高三专题练习）已知函数的定义域为(2,0)，则的定义域为（）A(1,0)B(2,0)C(0,1)D【答案】C【解析】由题设，若，则，对于有，故其定义域为.故选：C4（2022全国高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】的定义域为，只需分母不为即可，即恒成立，（1）当时，恒成立，满足题意，（2）当时，解得，综上可得.故选：B.举一反三1（2022全国高三专题练习）函数的定义域为（）AB(，3)
18、(3，)C(3，)D(3，)【答案】C【解析】要使函数有意义，则所以，解得且，所以函数的定义域为(3，).故选：C.2（2022全国高三专题练习）函数()的定义域是（）ABCD【答案】A由题意，得，则，即，.故选：A.3（2022全国高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）ABCD【答案】B【解析】由，得，所以，所以故选：B4（2022全国高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（）ABCD【答案】A【解析】由抽象函数的定义域可知，解得，所以所求函数的定义域为.故选A.5（2022全国高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（）AB
19、CD【答案】C【解析】由题意得：在上恒成立.即时，恒成立，符合题意，时，只需，解得：，综上：，故选：C.6（2022上海市奉贤中学高三阶段练习）函数的定义域为_.【答案】【解析】解：由，得，所以，所以函数的定义域为，故答案为：7（2022全国高三专题练习）函数的定义域是，则的取值范围是_【答案】【解析】由题意可得在上恒成立当时，则恒成立，符合题意；当时，则，解得综上可得，实数的取值范围为故答案为：.8（2022全国高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是_【答案】【解析】当时，即定义域为R；当，要使的定义域为R，则在上恒成立，解得，综上，有，故答案为： 考点3 函数解析式名师点睛函数解
20、析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(4)联立方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)典例1.(1)已知f(1)x2，则f(x)的解析式为_(2)若f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2，则f(x)的解析式为_(3)已知函数f(x)满足
21、2f(x)f(x)2x，则f(x)的解析式为_【答案】(1)f(x)x21(x1)(2)f(x)x2x3(3)f(x)2x【解析】(1)方法一(换元法)：令1t，则x(t1)2，t1，所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)x21(x1)方法二(配凑法)：f(1)x2x211(1)21.因为11，所以函数f(x)的解析式为f(x)x21(x1)(2)(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3，所以f(x)ax2bx3，所以f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.所以所以所以函数f(x)的解析式为
22、f(x)x2x3.(3)(解方程组法)因为2f(x)f(x)2x，将x换成x得2f(x)f(x)2x，由消去f(x)，得3f(x)6x，所以f(x)2x.2（2022全国高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式（1）f(x)是一次函数，且满足f(f(x)=4x3；（2）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函数解析式（3）已知f(0)1，对任意的实数x，y都有f(xy)f(x)y(2xy1)【解】（1）因为f(x)是一次函数，所以设，所以，又因为f(f(x)=4x3，所以，故，解得或，所以或；（2）将代入，得，因此，解得.(3)令x0，得f(y)f(0)y(y1)1y
23、2y=，所以f(y)y2y1，即f(x)x2x1.举一反三1（2022全国高三专题练习）已知函数，则的解析式为（）ABCD【答案】A【解析】令，则 ，所以，所以，故选：A.2（2022全国高三专题练习）已知函数f（x1）x2+2x3，则f（x）（）Ax2+4xBx2+4Cx2+4x6Dx24x1【答案】A【解析】，所以.故选：A3（2022全国高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则（）ABCD【答案】D【解析】令为，则，与联立可解得，故选：D4（多选）（2022全国高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（）ABCD【答案】AD设，由题意可知，所以，解得或，所以或.故选：AD
24、.5（2022山东济南二模）已知函数，则_【答案】【解析】解：因为，所以，.故答案为：.6（2022全国高三专题练习）已知，且为一次函数，求_【答案】或.【解析】因为为一次函数，所以设，所以，因为，所以恒成立，所以，解得：或，所以或，故答案为：或.7（2022全国高三专题练习）已知函数，则的解析式为_【答案】【解析】令，则，且，所以，所以，故答案为：.8（2022全国高三专题练习）设函数f(x)对x0的一切实数都有f(x)2f()3x，则f(x)_.【答案】【解析】因为，可得，由 ，解得.故答案为：.9（2022全国高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，则_.【答案】【解析】因为，所以，同除
25、以2得，两式相加可得，即.故答案为：.10（2022全国高三专题练习）（1）已知是二次函数且，求；（2）已知，求.【解】（1）f（x）为二次函数，f（x）ax2+bx+c（a0），f（0）c2，f（x+1）f（x）x1，2ax+a+bx1，a，b，f（x）x2x+2（2），f（）+2f（x），-2得：3f（x）x， 考点4 分段函数名师点睛1分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验2分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论
26、求解，最后对讨论结果求并集典例1（2022广东梅州二模）设函数，则（）A2B6C8D10【答案】B【解析】解：因为，所以，所以.故选：B.2（2022山东潍坊模拟预测）设函数，则（）ABCD【答案】C【解析】因为，则.故选：C.3（2022浙江省江山中学高三期中）已知，函数若，则_.【答案】或【解析】,当时，得，故；当时，故.故答案为：或.4（2022湖南湘潭三模）已知，且，函数，若，则_，的解集为_.【答案】 【解析】由题可知，则，即，解得，故.当时，解得；当时，恒成立.故不等式的解集为.故答案为：；.举一反三1（2022山东济南一中高三阶段练习）已知函数,则（）A2B9C65D513【答案
27、】A【解析】,故选：A2（2022重庆八中模拟预测）已知函数，则（）ABCD【答案】A【解析】因为，则，所以，故选：A.3（2022安徽安庆二模）已知函数且，则（）ABCD【答案】A【解析】，,由，知.于是.故选:A4（2022福建三明模拟预测）已知函数，则_.【答案】-2【解析】因为，所以故答案为：-25（2022辽宁建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】当时，在上单调递增，又，恒成立；当时，又，恒成立；当时，；恒成立；当时，解得：，；综上所述：不等式的解集为.故答案为：.6（2022浙江省临安中学模拟预测）设，若，则_，_.【答案】 6【解析】若，则，由，得，即，解得：（舍去）或；若，由，得，该方程无解.综上可知，故答案为：； 67（2022浙江湖州中学高三阶段练习）已知函数fx=ex,x1lnx,x1，则_；方程的解集为_【答案】 1 1,e【解析】，故答案为：1；.8（2022浙江高三专题练习）已知则_；若，则的取值范围是_.【答案】 3 【解析】因为，当时，得，当时，得，故的取值范围是故答案为：3；.9（2022浙江浙江二模）设，函数则_；若，则实数的取值范围是_【答案】 2 【解析】，由，则，所以 故答案为：2；
