1、高考关于数列的考查大都是以一道综合型的解答题进行，着重考查等差数列和等比数列的基础知识以及数列求和方法的应用能力同时呈现出淡化递推数列的考查趋势由于数列内容与函数、不等式等内容关系密切，又是初等数列与高等数列的一个重要衔接点，并且数列综合问题的解决过程往往体现多种数学方法和数学能力，所以它是考查数学思维能力和数学思想方法的好素材在湖南高考命题中常以压轴题形式出现，其题型结构是将函数、导数、数列与不等式有机综合，2012年出现在第三个大题在考查等差数列、等比数列的基础知识的同时，侧重考查运算求解能力推理论证能力、探究思维能力和创新意识，并将转化化归思想、分类整合思想、函数与方程思想渗透到整个解答
2、过程第17讲 等差数列和等比数列1考题展望等差数列与等比数列是高考必考知识，通常以客观题考查其通项公式、前n项和公式和基本性质的灵活应用，以解答题考查等差数列和等比数列为载体的数列综合性问题，考查应用函数与方程思想，转化化归思想和合情推理，探究与论证的能力2高考真题考题1(2012 江西)设数列an，bn都是等差数列若 a1b17，a3b321，则 a5b5_【解析】35 设an，bn的公差分别为 d1，d2，则(a12d1)(b12d2)21 即(a1b1)2(d1d2)21 即 d1d27 a5b5(a3b3)2(d1d2)35.【命题立意】本题考查等差数列的性质及整体代入的数学思想2高考
3、真题考题1(2012 江西)设数列an，bn都是等差数列若 a1b17，a3b321，则 a5b5_【解析】35 设an，bn的公差分别为 d1，d2，则(a12d1)(b12d2)21 即(a1b1)2(d1d2)21 即 d1d27 a5b5(a3b3)2(d1d2)35.【命题立意】本题考查等差数列的性质及整体代入的数学思想2高考真题考题1(2012 江西)设数列an，bn都是等差数列若 a1b17，a3b321，则 a5b5_【解析】35 设an，bn的公差分别为 d1，d2，则(a12d1)(b12d2)21 即(a1b1)2(d1d2)21 即 d1d27 a5b5(a3b3)2(
4、d1d2)35.【命题立意】本题考查等差数列的性质及整体代入的数学思想考题2(2012 湖北)定义在(，0)(0，)上的函数 f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称 f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)|x|；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为()A B C D【解析】C 设等比数列an的公比为 q，则an2的公比为q2，|an|的公比为|q|，其余的数列不是等比数列【命题立意】本题考查等比数列的概念和等比数列的证明，判定是否为等比数列，需要通过运用等比数列的定义
5、进行判断【解析】C 设等比数列an的公比为 q，则an2的公比为q2，|an|的公比为|q|，其余的数列不是等比数列【命题立意】本题考查等比数列的概念和等比数列的证明，判定是否为等比数列，需要通过运用等比数列的定义进行判断考题3(2012 江西)已知数列an的前 n 项和 Sn12n2kn(其中 kN*)，且 Sn 的最大值为 8.(1)确定常数 k，求 an；(2)求数列92an2n的前 n 项和 Tn.【解析】(1)当 nkN*时，Sn12n2kn取最大值，即 8Sk12k2k212k2，故 k216，因此 k4，从而 anSnSn192n(n2)又 a1S172，所以 an92n(nN*
6、)(2)设 bn92an2n n2n1，Tnb1b2bn122 322n12n2 n2n1 12Tn12 222 323n12n1 n2n 得：12Tn112 122 12n1 n2n 1 12n112 n2n Tn4n22n1.【命题立意】本题主要考查：(1)数列前 n 项和的概念，求数列通项以及数列的函数特性；(2)数列求和的方法；(3)考生的运算能力得：12Tn112 122 12n1 n2n 1 12n112 n2n Tn4n22n1.【命题立意】本题主要考查：(1)数列前 n 项和的概念，求数列通项以及数列的函数特性；(2)数列求和的方法；(3)考生的运算能力1等差数列的主干知识(1
7、)等差数列的通项公式 ana1(n1)d 和anam(nm)d.(2)等差数列的公差 dana1n1 和 danamnm.(3)等差数列的前 n 项和公式：Sn（a1an）n2n（a2an1）2；Snna1n（n1）2d；SnAn2Bn(A、B 为常数)(4)等差数列的性质m、n、p、qN*，若 mnpq，则 am、an、ap、aq 的关系为 amanapaq，特别地 a1ana2an1.ananb(a，b 是常数)是an成等差数列的充要条件，(n，an)是某直线上的一群孤立的点数列an的前 n 项和 SnAn2Bn 是an成等差数列的充要条件若an和bn均是等差数列，则mankbn仍为等差数
8、列，其中 m，k 为常数等差数列中依次 k 项和成等差数列，即 Sk、S2kSk、S3kS2k、，成等差数列，公差为 k2d.2等比数列的主干知识(1)等比数列的通项公式为 ana1qn1 和 anamqnm，(2)等比数列的前 n 项和公式Snna1 （q1），a1（1qn）1qa1anq1q（q1）.(3)等比数列的性质m、n、p、qN*，若 mnpq，则 am、an、ap、aq 的关系为 amanapaq，特别地 a1ana2an1.若an和bn均是等比数列，则manbn仍为等比数列，其中 m 为非零常数等比数列中依次 k 项和成等比数列，即 Sk、S2kSk、S3kS2k、，成等比数列
9、，其公比为 qk.等比数列中依次 k 项积成等比数列，记 Tn为前 n 项积，即 Tk、T2kTk、T3kT2k、，成等比数列，其公比为 qk2.1等差数列与等比数列的通项公式，前 n 项和公式及应用例1(1)(2012 辽宁)在等差数列an中，已知 a4a816，则该数列前 11 项和 S11()A58 B88 C143 D176【解析】a4a816，2a616，a68 S1111（a1a11）211a688.B1等差数列与等比数列的通项公式，前 n 项和公式及应用例1(1)(2012 辽宁)在等差数列an中，已知 a4a816，则该数列前 11 项和 S11()A58 B88 C143 D
10、176【解析】a4a816，2a616，a68 S1111（a1a11）211a688.(2)(2012 全国新课标)已知数列an为等比数列，a4a72，a5a68.则 a1a10()A7 B5 C5 D7【解析】设数列an的公比为 q.由a4a72a5a6a4a78得a44a72或a42a74(2)(2012 全国新课标)已知数列an为等比数列，a4a72，a5a68.则 a1a10(D)A7B5C5D7【解析】设数列an的公比为 q.由a4a72a5a6a4a78得a44a72或a42a74 Da18q312或a11q32 a18a101 或a11a108 a1a107.(3)已知an是等
11、比数列，a22，a514，则 Sna1a2an(nN*)的取值范围是【解析】因为an是等比数列，所以可设 ana1qn1.因为 a22，a514，所以a1q2a1q414，解得a14q12.(3)已知an是等比数列，a22，a514，则 Sna1a2an(nN*)的取值范围是_4，8)_【解析】因为an是等比数列，所以可设 ana1qn1.因为 a22，a514，所以a1q2a1q414，解得a14q12.4，8)所以 Sna1a2an41（12）n11288(12)n.因为 0(12)n12，所以 4Sn8.【点评】熟记等差数列和等比数列的主干知识，依题设情境，恰当地运用方程思想将题设条件转
12、化为首项a1 和公差 d，公比 q 的方程而实现问题解答所以 Sna1a2an41（12）n11288(12)n.因为 0(12)n12，所以 4Sn0 且 a1a2a1a4a2a5a4a536，则 a3【解析】a1a2a1a4a2a5a4a5a1(a2a4)a5(a2a4)2a1a32a5a32a3(a1a5)4a3236 又 an0，a33.2等差数列与等比数列的性质及应用例2(1)等差数列an中，an0 且 a1a2a1a4a2a5a4a536，则 a3_3_【解析】a1a2a1a4a2a5a4a5a1(a2a4)a5(a2a4)2a1a32a5a32a3(a1a5)4a3236 又 a
13、n0，a33.3(2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S33，则S9S6()A2 B.73C.83D3【解析】由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6 也成等比数列 S63S3，S9S64S3，S97S3 S9S673，故选 B.(2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S33，则S9S6(B)A2B.73C.83D3【解析】由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6 也成等比数列 S63S3，S9S64S3，S97S3 S9S673，故选 B.B(3)等差数列an的前 n 项和为 Sn，S918，S1352，等比数列bn中，b5a5，b7a7，则b15 的值为【解析】因
14、为 S992(a1a9)9a518，S13132(a1a13)13a752，所以 a52，a74，又 b5a5，b7a7，所以 q22，b15b7q841664.64(3)等差数列an的前 n 项和为 Sn，S918，S1352，等比数列bn中，b5a5，b7a7，则b15 的值为【解析】因为 S992(a1a9)9a518，S13132(a1a13)13a752，所以 a52，a74，又 b5a5，b7a7，所以 q22，b15b7q841664.【点评】等差数列和等比数列的运算求解型问题的算法思想是先考虑能否应用性质，然后再转化为a1，d，q的方程求解3等差数列和等比数列的综合应用例3(2
15、012 广东)设数列an的前 n 项和为 Sn，满足2Snan12n11，nN*，且 a1，a25，a3 成等差数列(1)求 a1 的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 1a1 1a2 1an32.【解析】(1)a1，a25，a3 成等差数列，2(a25)a1a3 又2a12S1a2221，2(a1a2)2S2a3231 a22a13，a36a113 因此 4a1167a113，从而 a11.(2)由已知：n2 时，2Sn1an2n1 2Snan12n11 2anan1an2n 于是 an13an2n(n2)而由(1)知，a22a1353a12 因此对一切正整数
16、n，有 an13an2n an12n13(an2n)又a1213 an2n是以 3 为首项，3 为公比的等比数列 故 an2n3n，即 an3n2n.(3)an3n2n33n12n3n12(3n12n1)3n1 1an 13n1 1a1 1a2 1an113 132 13n11 13n11332.【点评】本题考查递推数列的通项公式，等比数列的前 n 项和及用放缩法证明不等式的方法，意在考查转化与化归思想的运用(3)an3n2n33n12n3n12(3n12n1)3n1 1an 13n1 1a1 1a2 1an113 132 13n11 13n1130 知，A(n)，B(n)，C(n)均大于 0
17、，于是 B（n）A（n）a2a3an1a1a2anq（a1a2an）a1a2anq，C（n）B（n）a3a4an2a2a3an1q（a2a3an1）a2a3an1q，即B（n）A（n）C（n）B（n）q，所以三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列 充分性：若对于任意 nN*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列，则 B(n)qA(n)，C(n)qB(n)，于是 C(n)B(n)qB（n）A（n），得 an2a2q(an1a1)，即 an2qan1a2qa1.由 n1 有 B(1)qA(1)，即 a2qa1，从而 an2qan10.因为 an0，
18、所以an2an1a2a1q，故数列an 是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，综上所述，数列an 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 nN*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列【点评】根据三个数成等差数列B(n)A(n)C(n)B(n)，以及这个式子对任意 nN*恒成立进行证明；根据充要条件的概念，必要性和充分性分别加以证明即可故数列an 是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，综上所述，数列an 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 nN*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列【点评】根据三个数成等差数列B(n
19、)A(n)C(n)B(n)，以及这个式子对任意 nN*恒成立进行证明；根据充要条件的概念，必要性和充分性分别加以证明即可备选题例5已知等差数列an的首项为 a，公差为 b，等比数列bn的首项为 b，公比为 a，其中 a，b 都是大于 1 的正整数，且 a1b1，b2a3.(1)求 a 的值；(2)若对于任意的 nN*，总存在 mN*，使得am3bn 成立，求 b 的值；(3)令 cnan1bn，数列cn中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由【解析】(1)由已知，得 ana(n1)b，bnban1.由 a1b1，b2a3，得 ab，aba，故 b
20、3.再由 aba2b，得(a2)ba，故(a2)bb，即(a3)b0.由 b3，得 a30，即 a3.于是 2a(n2)b2n14b，这与 b3 矛盾这时等式不成立 综上所述，当b4时，不存在连续三项成等比数列；当b4时，数列cn中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18、30、50.【点评】由于数列问题的求解过程往往体现多种数学思想与方法，本例充分说明这一点本例在求解过程中同时还体现了推理论证，抽象概括，分析探究的数学思维能力1解决等差数列有关问题的常用思想方法(1)数形结合的思想通项的几何意义，由 ana1(n1)d 可变形为 andn(a1d)若 d0，则 ana1 是常数函数；若
21、d0，则 an 是 n 的一次函数(n，an)是直线 ydx(a1d)上一群孤立的点单调性：d0 时，an为单调递增数列；d0并且 S110，若 SnSk 对 nN*恒成立，则正整数k 构成的集合为()A5 B6C5，6 D7C【解析】等差数列an中由 S100，S110 得，S1010（a1a10）20a1a100a5a60，S1111（a1a11）20a1a112a60，故可知 a50，a60，等差数列an是递减数列且 a60，所以 S5S6Sn，即 k5 或 6，故选 C.4已知数列an满足 a15，anan12n，则a7a3()A2 B4 C5 D.52【解析】由已知得：an1an2a
22、nan1 2n12n 2，即an2an2 数列 a1，a3，a5，a7，是一个以 5 为首项，2 为公比的等比数列 a7a34，选 B.B4已知数列an满足 a15，anan12n，则a7a3()A2 B4 C5 D.52【解析】由已知得：an1an2anan1 2n12n 2，即an2an2 数列 a1，a3，a5，a7，是一个以 5 为首项，2 为公比的等比数列 a7a34，选 B.5等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3 成等差数列，则等比数列an的公比为【解析】设等比数列an的公比为 q(q0)，由 4S2S13S3，得 4(a1a1q)a13(a1a1qa1q
23、2)，即 3q2q0，q13(q0 舍)135等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3 成等差数列，则等比数列an的公比为【解析】设等比数列an的公比为 q(q0)，由 4S2S13S3，得 4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)，即 3q2q0，q13(q0 舍)6在等差数列an中，若 a1a5a94，则tan(a4a6)【解析】由等差数列的性质可知：a1a5a93a5 而 a4a62a5 a4a623(a1a5a9)234 6 tan(a4a6)tan6 33.336在等差数列an中，若 a1a5a94，则tan(a4a6)【解析】由等差数列的性质可知：a1a5
24、a93a5 而 a4a62a5 a4a623(a1a5a9)234 6 tan(a4a6)tan6 33.7(2012 浙江)设公比为 q(q0)的等比数列an的前 n 项和为 Sn.若 S23a22，S43a42，则 q【解析】S4S2a3a43(a4a2)a2(qq2)3a2(q21)q1(舍去)或 q32.327(2012 浙江)设公比为 q(q0)的等比数列an的前 n 项和为 Sn.若 S23a22，S43a42，则 q【解析】S4S2a3a43(a4a2)a2(qq2)3a2(q21)q1(舍去)或 q32.8已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn32an1(nN*)(1)求
25、数列an的通项公式；(2)在数列bn中，b15，bn1bnan，求数列bn的通项公式【解析】(1)当 n1 时，S1a132a11，a12 当 n2 时，Sn32an1，Sn132an11 an(32an1)(32an11)，an3an1 又 a10，故 an10，anan13 数列an是以 2 为首项，3 为公比的等比数列 an23n1(nN*)(2)由 bn1bnan 得：bn1bn23n1 当 n2 时，bnbn123n2 b2b1230，b3b2231，b4b3222，bnbn123n2 bnb12(3031323n2)bn3n14(n2，nN*)当 n1 时，31145b1，故 bn
26、3n14(nN*)9(2012陕西)设an是公比不为1的等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 a5，a3，a4 成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意 kN*，Sk2，Sk，Sk1 成等差数列【解析】(1)设数列an的公比为 q(q0，q1)，由 a5，a3，a4 成等差数列，得 2a3a5a4，即 2a1q2a1q4a1q3，由 a10，q0 得 q2q20，q12 或 q21(舍去)，q2.(2)证明：对任意 kN*，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak1 2ak1ak1(2)0，对任意 kN*，Sk2，Sk，Sk1 成等差数列10已知数列an为等差
27、数列，公差 d0，由an中的部分项组成的数列 ab1，ab2，abn，为等比数列，其中 b11，b25，b317.(1)求数列bn的通项公式；(2)记 TnCn1b1Cn2b2Cn3b3Cnnbn，求 Tn 关于 n 的表达式【解析】(1)由题意知 a52a1a17，即(a14d)2a1(a116d)a1d2d2，d0，a12d，数列abn的公比 qa5a1a14da13，abna13n1 又 abna1(bn1)dbn12a1，由得 a13n1bn12a1，a12d0，bn23n11.(2)TnCn1b1Cn2b2Cnnbn Cn1(2301)Cn2(2311)Cnn(23n11)23(Cn13Cn232Cnn3n)(Cn1Cn2Cnn)23(13)n1(2n1)234n2n13.
