1、2011届高考数学专题 立体几何数学试卷一、填空题(共 小题，每小题 分)1. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_.2. 一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是 3. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。4. 如图，正方体中，、分别为、的中点，则与所成角的大小为 二、解答题(共 小题，每小题 分)5. （14分）如图，矩形中，为上的点，且，（）求证：平面；（）求证：平面；（）求三棱锥的体积ABCDEFG6. 如图，已知正方形所在平面，、分别是，的中点，（1）求证：面；（2）求证：面面7. 如图，平面，分
2、别为的中点（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值8. （12分）如图，垂直于矩形所在的平面，、分别是、的中点 （I）求证：平面； （）求证：平面平面； （）求二面角的大小；9. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点。（）求证：（）求证：10. （2009江西卷理）（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.11. （2009江苏卷）（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF平面ABC； （2）平
3、面平面.12. 如图，在四棱锥中，且DB平分，E为PC的中点，, （）证明 （）证明（）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值13. 如四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABC=90，AD/BC，CB侧面PAB，PAB是等边三角形，BC=1，DA=AB=2BC，F是线段AB的中点。 （1）求证：DFPF； （2）求PC与平面PDF所成的角。14. （12分）如图, 在直三棱柱中，,，点是的中点，（1）求证：；（2）求证：。（3）求二面角的正切值。15. 如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 （）证明：ABPC（）若，且平面平面， 求三棱锥体积。16. 如图，在五面体中
4、，四边形为平行四边形，平面，求：（）直线到平面的距离；（）二面角的平面角的正切值17. （14分）在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上（）求证：；（）若，为的中点，求三棱锥的体积第18题图18. (t2分)如图，分别是三棱锥的棱的中点，过三点的平面交于。()求证：四边形是平行四边形；()已知，试在棱上找一点，使平面平面，并说明理由。19. 如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： （）求三棱锥的侧面积。20. （12分）如图所示，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，低面ABCD是正方形，AC与交于点O， （1）求证：AC平面SBD； （2）当点P在线段MN
5、上移动时，试判断EP与AC的位置关系，并证明你的结论。21. 已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求此几何体的体积V的大小;（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由（一、二、五中必做，其它学校选做）.三、选择题(共 小题，每小题 分)22. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为 （A） （B） （C） （D）23. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 （A） （B） （C）三棱锥的体积为定值 （D）24. 若直线
6、，且直线平面，则直线与平面的位置关系是 ABC或D与相交或或25. 已知m、n是不同的直线，、是不同的平面，给出下列命题：/,则/；,/,则；，/，/，则；若与为异面直线，/，/，则/。其中真命题的个数为（ ）个。A.0 B. 1 C. 2 D. 326. 设是平面内的两条不同直线；是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是A. B. C. D. 27. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积和体积为( )侧视主视俯视65A. B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. D.以上都不正确28. 如图，在半径为3的球面上有三点，=90，,球心O到平面的
7、距离是，则两点的球面距离是 A. B. C. D.229. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是30. 已知是不重合的直线，是不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D且答案一、填空题1. 解析：由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱，两个底面是等腰的三角形，且底边为2，等腰三角形的高位a，侧棱长为3，结合面积公式可以得到 ，解得a=2. 3. 解析：作BC的中点N，连接AN，则AN平面BCC1B1， 连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，B1NBM，AB1BM.即异面直线所成的角的大小是904
8、. 二、解答题5. 解析：（）证明：平面， 平面，则 (2分)又平面，则平面 (4分)ABCDEFG（）证明：依题意可知：是中点平面，则，而是中点 (6分) 在中，平面 (8分)（）解法一：平面，而平面 平面，平面 (分) 是中点，是中点且 平面， (10分) 中， (11分) (12分)解法二： (12分)6. 解析：（1）中点为，连、，分别为中点，即四边形为平行四边形，又面，面面（2），中，又且面又面由（1）知面又面面面7. （）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD（）解析：在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面
9、ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是 在中， ，所以8. 解析：解法一：（I）设为的中点，连结， 为的中点，为的中点，=(/)=(/)=(/) （） （）过点向作垂线，垂足为，连结， 解法二：分别以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，（I） （）设平面的一个法向量为 （）平面的一个法向量为 9. 解析： 又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）连结交于点，并连结EO， 四边形为平行四边形为的中点 又为的中点 在中EO为中位线， 10.
10、解析：方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC。又因为P A平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD。（2）由（1）知，又，则是的中点可得，则设D到平面ACM的距离为，由即，可求得，设所求角为，则，。（1） 可求得PC=6。因为ANNC，由，得PN。所以。故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则， 所
11、以所求角的大小为。（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。11. 解析：本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。12. （1）证明：设，连结EH，在中，因为AD=CD，且DB平分，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故,又,所以（2）证明：因为，所以由（1）知，,故(3) 解析：由可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。由,在中，,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。13. 解析：（1）证明：CB侧面PAB，PF平面PAB，P
12、FBC， 又PAB是等边三角形，F是线段AB的中点，PFAB， PF平面ABCD， 而DF平面ABCD，DFPF。5分（2）方法一： 作CHDF，垂足为H，连接PH， 由（1）知：PF平面ABCD。 平面PDF平面CDF，CH平面PDF，PH是PC在平面PDF上的射影，CPH是PC与平面PDF所成的角。CB侧面PAB，AD/BC，DA侧面PAB，DAF，BFC，PBC都是直角三角形， BC=1，则DA=AB=2，AF=FB=1，在三角形DFC中，DF=可求得直角三角形PHC中，PC与平面PDF所成的角为12分方法二：如图，以F为原点，建立空间直角坐标系。 BC=1，则DA=AB=2，AF=FB
13、=1，PF=从而C（1，1，0）、D（2，1，0）、P（0，0）设为平面PDF的法向量，由，可求得设PC与平面PDF所成的角为PC与平面PDF所成的角为 12分14. 解析:证明：（1）在直三棱柱，底面三边长， ， 又直三棱柱中 ， 且 而； （2）设与的交点为，连结， 是的中点，是的中点， ， ， . （3）过点C作CFAB于F，连接C1F 由已知C1C垂直平面ABC，则C1FC为二面角的平面角 在RtABC中，,则 - 又 即二面角的正切值为 15. 解析：（）因为是等边三角形，,所以,可得。如图，取中点，连结,则,所以平面,所以。 （）作，垂足为，连结因为，所以，由已知，平面平面，故因为
14、，所以都是等腰直角三角形。由已知，得， 的面积因为平面，所以三角锥的体积 16. 解法一:（）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因，故；又平面，由三垂线定理可知，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离。在中，由平面，得AD，从而在中，。即直线到平面的距离为。（）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，为二面角的平面角，记为.在中, ,由得,从而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值为.解法二: （）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0)C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ，面,所以直线AB到面的
15、距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而,此即 解得,知G点在面上,故G点在FD上.,故有 联立,解得, 为直线AB到面的距离. 而 所以（）因四边形为平行四边形,则可设, .由得,解得.即.故由,因,故为二面角的平面角，又,所以 17. 解析：（）证明：三棱柱 为直三棱柱，平面， 又平面， -2分平面，且平面， . 又 平面,平面,，平面，-5分 又平面， -7分（2）在直三棱柱 中，. 平面，其垂足落在直线上, . 在中，,在中， -9分由（1）知平面，平面,从而 为的中点，-11分-14分18. 解析：() 分别是的中点，且 (1分)平面,平面平面 (2分)平面平面
16、，平面 (4分)是的中点，是的中点 (5分)四边形是平行四边形 (6 分)()当时，平面平面 (8分)在上取一点，连接当时， 即当时， (9分)，平面 (10分)平面 (11分)平面平面平面 (12分)19. （I）证明：在中， 又平面平面 平面平面平面 平面 平面（）解析：由（I）知从而 在中， 又平面平面 平面平面，平面 而平面 综上，三棱锥的侧面积，20. 解析：（1）低面ABCD是正方形，O为中心，ACBD 又SA=SC,ACSO,又SOBD=0,AC平面SBD-(6分) （2）连接 又由（1）知，ACBD 且AC平面SBD， 所以，ACSB-（8分） ，且EMNE=E 平面EMN-（
17、10分） 因此，当P点在线段MN上移动时，总有ACEP-（12分）21. 解析：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，即该几何体的体积V为16 -3分（2）解法1:过点B作BF/ED交EC于F，连结AF，则FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角-5分在BAF中，AB=，BF=AF=即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为-7分解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）， 异面直线DE与AB所成的角的余弦值为（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.-8
18、分取BC中点O，过点O作OQDE于点Q，则点Q满足题设. 连结EO、OD，在RtECO和RtOBD中 -10分,以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切切点为Q面,面 面 面ACQ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m -12分解法2: 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则，AQBQ - 点Q在ED上，存在使得-代入得，解得满足题设的点Q存在，其坐标为三、选择题22. A23. D24. D25. A26. 解析：要得到必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必
19、平行于另一个平面。对于选项A，不是同一平面的两直线，显既不充分也不必要；对于选项B，由于与时相交直线，而且由于/m可得，故可得，充分性成立，而不一定能得到/m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B.对于选项C，由于m,n不一定的相交直线，故是必要非充分条件.对于选项D，由可转化为C，故不符合题意。综上选B.27. A28. B解析：AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O是AC的中点。 OC，AC3，BC3，即BCOBOC。，则两点的球面距离29. 解法1 由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C. 解法2 当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选C.30. C
