1、对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数yax与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数知识梳理1对数的概念一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.2对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga10，logaa1，N(a0，且a1，N0)(2)对数的运算性质如果a0，且a1
2、，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(3)换底公式：logab(a0，且a1，b0，c0，且c1)3对数函数的图象与性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称常用结论1logablogba1，logab.2如图给出4个对数函数的图象则ba1dc0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大3对数函数ylogax(a0且a1
3、)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)对数函数ylogax(a0，且a1)在(0，)上是增函数()(3)函数yloga与函数yln(1x)ln(1x)是同一个函数()(4)函数ylog2x与y的图象重合()教材改编题1函数yloga(x2)2(a0且a1)的图象恒过定点答案(3,2)解析loga10，令x21，x3，yloga122，原函数的图象恒过定点(3,2)2计算：(log29)(log34).答案4解析(log29)(log34)4.3若函数ylogax(a0，a1
4、)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a.答案或2解析当a1时，loga4loga2loga21，a2；当0ab1，若logablogba，abba，则ab.答案6解析设logbat，则t1，因为t，所以t2，则ab2.又abba，所以b2b，即2bb2，又ab1，解得b2，a4.所以ab6.(2)计算：lg25lg50lg2lg500(lg2)2.答案4解析原式2lg5lg(510)lg2lg(5102)(lg2)22lg5lg51lg2(lg52)(lg2)23lg51lg2lg52lg2(lg2)23lg52lg21lg2(lg5lg2)3lg52lg21lg23(lg5lg2)14.
5、题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，且a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A0a1b1B0ba11C0b1a1D0a1b11.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，解得b1.综上有0b1.(2)若方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为答案解析若方程4xlogax在上有解，则函数y4x和函数ylogax在上有交点，由图象知解得0a.教师备选已知x1，x2分别是函数f(x)exx2，g(x)lnxx2的零点，则lnx2的值为()Ae2ln2Beln2C2D4答案C解析根据题意，已知x1，x2分别是
6、函数f(x)exx2，g(x)lnxx2的零点，函数f(x)exx2的零点为函数yex的图象与y2x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x1，)，函数g(x)lnxx2的零点为函数ylnx的图象与y2x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，lnx2)，又由函数yex与函数ylnx互为反函数，其图象关于直线yx对称，而直线y2x也关于直线yx对称，则点(x1，)和(x2，lnx2)也关于直线yx对称，则有x1lnx2，则有lnx2x12.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点
7、等)排除不符合要求的选项(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解跟踪训练2(1)已知函数f(x)logaxb的图象如图所示，那么函数g(x)axb的图象可能为()答案D解析结合已知函数的图象可知，f(1)b1，则g(x)单调递增，且g(0)b10，故D符合题意(2)(2022广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且lnx1，ln(x21)，lgx3，则()Ax1x2x3Bx1x3x2Cx2x3x1Dx2x1x3答案D解析画出函数yx，ylnx，yln(x1)，ylgx的图象，如图所示数形结合，知x2x1x3.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较指数式、对
8、数式大小例3(1)设alog3e，be1.5，c，则()AbacBcabCcbaDaclog3ea.又clog342，acb.(2)(2022昆明一中月考)设alog63，blog126，clog2412，则()AbcaBacbCabcDcba答案C解析因为a，b，c都是正数，所以log361log32，log6121log62，log12241log122，因为log32，log62，log122，且lg3lg6log62log122，即，所以abc.命题点2解对数方程不等式例4若loga(a1)loga(2)0，a1)，则实数a的取值范围是答案解析依题意loga(a1)loga(2)log
9、a1，或解得acbBabcCbacDcba答案B解析alog231，b2log53log591，c1，ab，abc.2若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上单调递减，则a的取值范围为()A1,2) B1,2C1，) D2，)答案A解析令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数f(x)在(，1上单调递减，则有即解得1a2，即a1,2)思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成跟踪训练3(1)若实数a，b，c满足loga2logb2logc20，则下列关系中正确的是()Aab
10、cBbacCcbaDacb答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得0，即log2clog2blog2a0，可得cba1时，函数f(x)logax在2，)上单调递增，无最值，不满足题意，故0a1.当x2时，函数f(x)logax在2，)上单调递减，f(x)f(2)loga2；当0x2时，f(x)logax4在(0,2)上单调递增，f(x)f(2)loga24，则loga2loga24，即loga22logaa2，即2,0bcBacbCcbaDcab答案D解析alog7blog7，clog87log8a，所以cab.2若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数且f(2)1，则f(x
11、)等于()Alog2xB.CD2x2答案A解析函数yax(a0，且a1)的反函数是f(x)logax，又f(2)1，即loga21，所以a2.故f(x)log2x.3(2022昆明模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L110lg(单位：分贝，L10，其中I011012是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是()A(，107) B1012，105)C1012，107) D(，105)答案C解析由题意可得，0
12、10lg50，即0lgIlg(11012)5，所以12lgI7，解得1012If(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)答案C解析由题意得或解得a1或1a0，a1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa1B0c1C0a1答案BC解析由图象可知函数为减函数，0a1，令y0得loga(xc)0，xc1，x1c，由图象知01c1，0c0时，yexex在(0，)上单调递增，因此yln(exex)在(0，)上单调递增，故C项正确；由于f(x)在(0，)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(，0上单调递减，所以f(x)的
13、最小值为f(0)ln2，故D项正确7(2022海口模拟)log3lg25lg4的值等于答案解析原式lg52lg2222lg52lg2222(lg5lg2)22222.8函数f(x)log2的最小值为答案解析依题意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x2，当log2x，即x时等号成立，所以函数f(x)的最小值为.9设f(x)log2(axbx)，且f(1)1，f(2)log212.(1)求a，b的值；(2)当x1,2时，求f(x)的最大值解(1)因为f(x)log2(axbx)，且f(1)1，f(2)log212，所以即解得a4，b2.(2)由(1)得f(x)log2(
14、4x2x)，令t4x2x，则t4x2x2，因为1x2，所以22x4，所以2，即2t12，因为ylog2t在2,12上单调递增，所以ymaxlog2122log23，即函数f(x)的最大值为2log23.10(2022枣庄模拟)已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(2)当a1时，求使f(x)0的x的解集解(1)f(x)是奇函数，证明如下：因为f(x)loga(x1)loga(1x)，所以解得1x1时，yloga(x1)是增函数，yloga(1x)是减函数，所以当a1时，f(x)在定义域(1,1)内是增函数，f(x)0即loga(x1
15、)loga(1x)0，loga0，1，0，2x(1x)0，解得0x0的x的解集为(0,1)11设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0Babab0Cab0abDab0log0.210，blog20.3log210，ablog0.30.4log0.310，01，ababxyBzyxCxy，xzDzx，zy答案D解析设2x3ylog4zk0，则xlog2k，ylog3k，z4k，根据指数、对数函数图象易得4klog2k，4klog3k，即zx，zy.13(2022沈阳模拟)函数f(x)|log3x|，若正实数m，n(mn)满足f(m)f(n)，且f(x)在区间m2，n上的最大值
16、为2，则nm等于()A.B.C.D.答案A解析f(x)|log3x|，正实数m，n(mn)满足f(m)f(n)，0m1n，且|log3m|log3n|，log3mlog3n，log3mlog3n0，解得mn1，又f(x)在区间m2，n上的最大值为2，易知f(m2)log3m22，此时nm.14(2022惠州模拟)若函数f(x)loga有最小值，则实数a的取值范围是答案(1，)解析令ux2ax2，则u有最小值，欲使函数f(x)loga有最小值，则有解得1a，即实数a的取值范围为(1，)15(2022丽水模拟)已知loga(a1)0且a1)，则a的取值范围是答案解析loga(a1)log(a1)a
17、当a1时，lg(a1)lg a0，loga(a1)log(a1)a，不符合题意；当0a1时，lg a0，lg(a1)lg alglg 10，lg(a1)lg alg a(a1)lg，loga(a1)log(a1)a(0a0，由于ylg x(x0)单调递增，21.又0a1，解得a2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)x2m有实根，求实数m的取值范围解(1)当k4时，f(x)log2(2x4)由f(x)2，得log2(2x4)2，得2x44，得2x8，解得x3.故不等式f(x)2的解集是(3，)(2)因为函数f(x)log2(2xk)(kR)的图象过点P(0,1)，所以f(0)1，即log2(1k)1，解得k1.所以f(x)log2(2x1)因为关于x的方程f(x)x2m有实根，即log2(2x1)x2m有实根所以方程2mlog2(2x1)x有实根令g(x)log2(2x1)x，则g(x)log2(2x1)xlog2(2x1)log22xlog2log2.因为11，log20，所以g(x)的值域为(0，)所以2m0，解得m0.所以实数m的取值范围是(，0)
