1、河南省南阳市2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.考试时间120分钟，试卷满分150分.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
2、项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，则（ ）A.B.C.D.02.若复数，则（ ）A.B.C.D.3.根据生物学研究结果，人的头发不超过20万根.试证明：在人口为50万的城市中，至少有两个人的头发根数相同.运用反证法证明上述命题时，第一步应先假设（ ）A.50万人口中，至多有三个人的头发根数相同B.50万人口中，头发根数相同的人数大于3人C.50万人口中，有且只有两人的头发根数相同D.50万人口中，每个人的头发根数都不相同4.一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：cm）关于时间（单位：s）的函数为，当时，水面下降的速度为（ ）A.B.C.D.5.已知函数在上是减函数，
3、则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.有三个纸箱，一个装着梨，一个装着苹果，一个装着梨和苹果，包装封好后，制做了“梨”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个纸箱上，由于工作人员失误，结果全贴错了，则下列推理正确的是（ ）A.从贴有“苹果”标签的纸箱里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B.从贴有“梨”标签的纸箱里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的纸箱里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D.从其中一个纸箱里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签7.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A.函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值
4、C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值8.用数学归纳法证明某命题时，若当时，设，那么当时，可表示为（ ）A.B.C.D.9.若在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.10.在复平面内，复数（，）对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）A.B.C.D.11.已知点在曲线上，点在曲线上，设、两点间距离为，则（ ）A.B.C.D.112.已知且，则（ ）A.B.C.D.第卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.图像是特殊的函数语言
5、，恰当地运用在数学研究中常常能带来便利.如图，计算：_.14.已知函数，则曲线在点处的切线方程是_.15.将正整数排成如图：用表示第行第列的那个整数，若，则_.16.已知函数，若存在实数，且，满足，则实数的取值范围是_.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限（为的共轭复数）.（1）求复数；（2）若，求实数的值.18.（本题满分12分）已知函数在处的切线与轴平行.（1）求的值；（2）若函数在上不单调，求实数的取值范围.19.（本题满分12分）记为等差数列的前项和，且，.（1）求；（2）
6、用数学归纳法证明：.20.（本题满分12分）已知，为正实数，且.（1）求证：；（2）求证：.21.（本题满分12分）已知，是的导数.（1）求的极值；（2）令，若的函数图像与轴有三个不同的交点，求的取值范围.22.（本题满分12分）已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，求证：.2021年春期期中考试高二数学（理）参考答案一、选择题15DADBC610CBCBA1112BA二、填空题13.114.15.100916.三、解答题17.【解析】（1）设（，），则，解得，或（舍去）.（2）由（1），所以，即.18.【解析】（1）因为，所以，由题知：，即，故.（2）由（1）知：函数，函数在上不单
7、调，在上有变号零点，在上有解，在上有解，由得或（舍去），故实数的取值范围是.19.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由，得：，解得，所以.（2）证明：（1）当时，不等式显然成立.假设时不等式成立，即.当时，.即时不等式成立.由（1）（2）可知，对于任意，不等式都成立.20.【解析】（1）法一：（综合法）由题，而.（当且仅当时取“=”）法二：（分析法）由题知，欲证，只需证明成立，即成立，亦即证明，即，即成立；而上式显然成立.原命题得证.（2）法一：（综合法）因为由题，为正实数，故，即.所以，即.法二：（分析法）要证，只需证，即即亦即，由题易知，故.所以上式成立，原命题得证.（注：其它证法
8、酌情给分）21.【解析】（1）因为，令，得，所以当时，单调递增，所以当时，单调递减，所以当时，单调递增，所以，.（2）由（1）知，由题知需有三个不同的解，即有三个不同的解.设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，又当时，当时，且，且，.作出函数的简图如图：数形结合可知：.22.【解析】（1）因为，若，所以在内单调递增，在内单调递减.若，由知，.当，即时，此时在内单调递增.当，即时，此时在，内单调递增，在内单调递减.综上所述：当时，在内单调递增，在内单调递减.当时，在，内单调递增，在内单调递减.当时，在内单调递增.（2）由可得，由于，只需证明即可.法一：设，则，设，则所以在上单调递增，因为，所以函数在上有唯一零点，使得，即，亦即；当时，；当时，；所以当时，有最小值，故，即成立.所以当时，.法二：先证明，设，则，由得，易知在上递减，在递增，所以，即，即，（当且仅当时取“=”），同理可得，（当且仅当时取“=”），由+可得：，进而原不等式得证.（注：选用法二应至少证明或之一）
