1、单元检测(十)圆锥曲线一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1方程1(R)所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在x轴上的双曲线D焦点在y轴上的双曲线2已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为()A1By21C1D13已知F是抛物线y24x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|NF|6，则MN的中点到准线的距离为()AB2C3D44已知m是2，8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率为()A或B或CD5设F为
2、抛物线C：y24x的焦点，M为抛物线C上的一点，O为原点若OFM为等腰三角形，则OFM的周长为()A4B21C2或4D1或46设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，直线l在y轴上的截距为1.若|AF1|3|F1B|，且AF2x轴，则此椭圆的长轴长为()AB3CD67已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2yBx2yCx28yDx216y8已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1PF20，若PF1F2的面积为
3、9，则b的值为()A.1B2C3D49若点G是ABC的重心，A(0，1)，B(0，1)，在x轴上有一点M，满足|，(R)，则点C的轨迹方程是()Ay21By21Cy21(x0) Dy21(x0)10如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A.3B2CD11已知双曲线C：1(a0，b0)的上、下焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上支上的一点(不在y轴上)，PF2与x轴交于点A，PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B.若|AB|2b，则双曲线C的离心率的取值范围是()A(1，) B(，)C(1，) D(，)
4、12已知抛物线C：y24x，点D(2，0)，E(4，0)，M是抛物线C异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD，ND，并分别延长交抛物线C于点P，Q，连接PQ.若直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2，则()A4B3C2D1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13若抛物线yax2(a0)的焦点与椭圆y21的上顶点重合，则a_14已知直线ya与双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2.若|PA2|A1A2|，则双曲线C的离心率为_.15已知抛物线C：y24x的焦点为F，则点F的坐标为_；过点F的直
5、线交抛物线C于A，B两点若|AF|4，则AOB的面积为_16已知F1，F2为椭圆y21的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q是F1PF2内切圆的圆心，过点F1作F1MPQ于点M，O为坐标原点，则|OM|的取值范围为_三、解答题(共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，A，B，C是椭圆M：1(ab0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足ACBC，BC2AC.(1)求椭圆M的离心率；(2)若y轴被ABC的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M的方程18(本小题满分12分)全国卷设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的
6、直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程19(本小题满分12分)2022四川省成都月考设椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，线段OA(O为坐标原点)的中点为B.若抛物线C2：yx21的顶点为B，且经过点F1，F2.(1)求椭圆C1的方程；(2)设点B关于点A的对称点为B，过点B作直线与椭圆C1交于点P，Q，且APQ的面积为，求直线PQ的斜率20(本小题满分12分)2022湖北省襄阳市考试在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程mx2ny21(m，nR，m，n0).(1)若mn，直线l过(，2)点被曲线C截得的
7、弦长为2，求直线l的方程；(2)若m，n，过坐标原点斜率k0的直线l3交C于P、Q两点，且点P位于第一象限，点P在x轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求的值21(本小题满分12分)2022四川省乐山月考已知椭圆C：1(ab0)，过点P(1，)，离心率e.(1)求椭圆C的方程(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，若在直线x2上存在点P，使得ABP为正三角形，求点P的坐标22(本小题满分12分)2022河南省洛阳市摸底考试已知椭圆C：1(ab0)过点(1，)，(，)(1)求C的方程；(2)记C的左顶点为M，上顶点为N，点A是C上在第四象限的点，AM，AN分别与y轴，x轴交于P，
8、Q两点，试探究四边形MNQP的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由单元检测（十）圆锥曲线1答案：C解析：1sin1，22sin46，4sin32，方程1（R）所表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线2答案：A解析：由椭圆的定义可知|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|（|AF2|BF2|）4a4，解得a，又离心率e，所以c1，由a2b2c2得b，所以椭圆C的方程为1.3答案：C解析：由题意，F是抛物线y24x的焦点，所以F（1，0），准线方程为x1，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以|MF|NF|x11x216，解得x1x24，所以线段MN的中点的横坐标为2，所以线段MN的中
9、点到该抛物线的准线的距离为213.4答案：B解析：由题意得m216，解得m4或m4.当m4时，曲线方程为x21，故离心率e；当m4时，曲线方程为x21，故离心率e.所以曲线的离心率为或.5答案：D解析：当|MO|MF|，即M在直线x上时，解得M，即|MF|MO|，所以OFM的周长为214.当|MO|OF|时，设M，所以y1，解得M（2，2），所以|MF|1，所以OFM的周长为1111.6答案：D解析：AF2x轴，直线l在y轴上的截距为1，则A（c，2）.|AF1|3|F1B|，则B，1，1，1，b26.2，a3，2a6，故选D.7答案：D解析：由题意可知4，3，所以双曲线的渐近线方程为yx.因
10、为抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，所以2，解得p8，所以抛物线C2的方程为x216y.8答案：C解析：方法一F1，F2是椭圆C：1（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，|PF1|PF2|2a.PF1PF20，PF1PF2，|PF1|2|PF2|24c2，又PF1F2的面积为9，|PF1|PF2|9，（|PF1|PF2|）24c22|PF1|PF2|4a2，364（a2c2）4b2，解得b3.方法二利用椭圆性质可得，SPF1F2b2tanb2tan9，b3.9答案：C解析：设点C（x，y），则G.设M（x0，0），则（x0，1），（xx0，y），（0，2）.由，得（0，2），所以x0由
11、|，得，即x1（xx0）2y2将式代入式，得y21.由已知可得点C不与A，B共线，所以x0.于是点C的轨迹方程为y21（x0）.10答案：B解析：M，N是双曲线的两个顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，双曲线与椭圆的离心率的比值是2.11答案：A解析：设该内切圆在PF1，PA上的切点分别为D，E，则有|AB|AE|，|PD|PE|，|F1B|F1D|.又|PF2|PF1|2a，|AF1|AF2|，所以|PA|AF1|PF1|2a，即2|AB|2a，解得|AB|a.由|AB|2b，即a2b，得，所以e21，从而1e0）的焦点是.因为抛物线ya
12、x2（a0）的焦点与椭圆y21的上顶点重合，所以1，所以a.14答案：或解析：若渐近线的方程为yx，则点P的坐标为.因为|PA2|A1A2|，所以a25a2，则4，所以3，从而离心率e.若渐近线的方程为yx，则点P的坐标为，同理可得离心率e.故双曲线C的离心率为或.15答案：（1，0）解析：由抛物线C：y24x可得p2，故焦点F的坐标为（1，0）.设A（x0，y0），则|AF|x0x014，故x03.根据抛物线的对称性，不妨令点A在第一象限，则y02，则A（3，2），则kAB，故直线AB的方程为y（x1）.由可得3x210x30，故或，则B，所以SAOB|OF|yAyB|1.16答案：（0，）
13、解析：延长PF2，F1M交于N点，连接OM，如图因为点Q是F1PF2内切圆的圆心，所以直线PQ平分F1PF2.因为F1MPQ，所以|PN|PF1|，则M为F1N的中点又因为O为F1F2的中点，所以|OM|F2N|（|PN|PF2|）（|PF1|PF2|）|F1F2|c.所以|OM|的取值范围是（0，）.17解析：（1）因为BC过椭圆M的中心，所以BC2OC2OB.又ACBC，BC2AC，所以OAC是以C为直角的等腰直角三角形，则A（a，0），C，所以1，整理得a23b2，所以c2a2b22b2，所以e.（2）由（1）可知A（a，0），B，ABa，则ABC的外接圆的圆心为AB的中点，半径为ABa
14、，所以ABC的外接圆的方程为a2.令x0，解得ya或y，所以a9，解得a6（也可由垂径定理得，解得a6），所以b212，故椭圆M的方程为1.18解析：（1）由题意得F（1，0），l的方程为yk（x1）（k0）.设A（x1，y1），B（x2，y2），由得k2x2（2k24）xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|（x11）（x21）.由题设知8，解得k1（舍去）或k1.因此l的方程为yx1.（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y2（x3），即yx5.设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为（x3）2（y2）216或（x
15、11）2（y6）2144.19解析：（1）由题意易知B（0，1），A（0，2），F1（1，0），F2（1，0），则b2，c1，得b24，a2b2c25，故椭圆C1的方程为：1.（2）由题意，得B（0，3），直线PQ不与x轴垂直，设直线PQ的方程为ykx3，P（x1，y1），Q（x2，y2），由（5k24）x230kx250，则900k2100（5k24）0k21，x1x2，x1x2，所以SAPQ|AB|x1x2|10，解得，k21，即k，故直线PQ的斜率为.20解析：（1）当mn时，曲线C的方程为x2y24，这是以原点为圆心，r2为半径的圆，直线l过点（，2），当直线l的斜率不存在时，直线l的
16、方程为x，代入圆的方程得y21，y1，直线l被圆所截得弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y2k（x），即kxy2k0，由弦长为2，半弦长为1，圆的半径为2，所以圆心到直线l的距离为，由点到直线的距离公式得，解得k，所以直线l的方程为：yx；综上，所求直线方程为x或yx.（2）设P（x1，y1），R（x2，y2），则Q（x1，y1），E（x1，0），则直线EQ：y（xx1）.代入曲线C的方程mx2ny21并整理得：（4mxny）x22nyx1xnxy4x0，Q，R的横坐标x1，x2是这个方程的两实数根，x2x1，y2（x2x1），y2y1，（2x1，2y1）（
17、x2x1，y2y1）2x1（x2x1）y1（y2y1）2，由于m，n，2n4m110，0.21解析：（1）依题意得，则a22，b21，c21，所以椭圆C的方程为y21.（2）当直线l的斜率不存在时，不存在符合条件的点P.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk（x1）（k0），设线段AB中点为M，将yk（x1）代入y21，整理得（12k2）x24k2x2k220.设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得x1x2，x1x2，则xM，yMk（xM1），故|AB|2.因为ABP为正三角形，所以PMAB，则kPMkAB1，即kPM，直线PM的方程为y（x），将x2代入可得P（2，），点P到直线l的距离为，|PM|AB|，所以2，解得k22，即k，此时P的坐标为（2，）.22解析：（1）依题意，解得a24，b23，故C的方程为1.（2）是定值理由如下：依题意，M（2，0），N（0，），设A（x0，y0），则3x4y12，所以直线AM：，令x0，yP，则|NP|yP；直线AN：，令y0，xQ.则|MQ|2xQ2，又易知NPMQ，所以四边形MNQP的面积为S|NP|MQ|2，所以四边形MNQP的面积为2.
