1、专练45空间向量的应用命题范围：利用向量解决角和距离问题基础强化一、选择题1若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为V1(1，0，1)，V2(3，0，3)，则l1和l2的位置关系是()A平行B相交C垂直D不确定2若a(2，2，2)，b(2，0，4)，则a与b的夹角的余弦值为()ABCD03若直线l的一个方向向量a(2，2，2)，平面的一个法向量b(1，1，1)，则()AlBlClDA，C都有可能4在空间直角坐标系中，已知A(1，2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|，则P点坐标为()A(3，0，0) B(0，3，0)C(0，0，3) D(0，0，3)5若平面，的法向量分别为m(2，
2、3，5)，n(3，1，4)，则()ABC，相交，但不垂直D以上均不正确6.如图所示，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC()A6B6C12D1447.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为()ABCD82022宁夏石嘴山三模在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，BCCD，且ABBCCD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()ABCD92022浙江温州二模如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过EF的平面分别交棱DA、BC于G
3、、H(不同于A、B、C、D)，P、Q分别是棱BC、CD上的动点，则下列命题错误的是()A存在平面和点P，使得AP平面B存在平面和点Q，使得AQ平面C对任意的平面，线段EF平分线段GHD对任意的平面，线段GH平分线段EF二、填空题10已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，5，1)，C(3，7，5)，则顶点D的坐标为_11已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)，则以，为邻边的平行四边形的面积为_12设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则D1点到平面A1BD的距离为_能力提升132022湖北鄂南模拟预测已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为
4、2.以D为坐标原点，以DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴建立空间直角坐标系，动点M(a，b，0)满足直线MD1与AA1所成夹角为，ab的最大值为()ABC1D2142022浙江嘉兴模拟预测如图，在矩形ABCD中，ABBC，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，将EBF，GDH分别沿直线EF，HG翻折形成四棱锥BAEFC，DACGH，下列说法正确的是()A.异面直线EB，GD所成角的取值范围是(0，B异面直线EB，GD所成角的取值范围是(0，C异面直线FB，HD所成角的取值范围是(0，D异面直线FB，HD所成角的取值范围是(0，15若平面的一个法向量n(2，1，
5、1)，直线l的一个方向向量为a(1，2，3)，则与l所成角的正弦值为_16.如图所示，四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC45，BC2，AB2，SASB.求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为_.专练45空间向量的应用1AV1V2，l1l2.2C|a|2，|b|2，ab22(2)0(2)44，cosa，b.3Aa2b，a与b共线，l.4C由题意可设点P的坐标为(0，0，z)由|得解得z3.故选C.5Cm与n不共线，且mn63200，与相交但不垂直6CABBC6，ABC120，AC6，建立如图所示的空间直角坐标系，其中O为AC的中点，则P(0，3，6)
6、，C(0，3，0)|PC|12.7A设BC1，则B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)BC1(0，2，1)，AB1(2，2，1)BC1AB10(2)22(1)13.|BC1|，|AB1|3，cosBC1，AB1.8.A如图，正方体内三棱锥ABCD即为满足题意的鳖臑ABCD，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则B(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，M(，)，则(，)，(1，0，0)，cos，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为.9D对于A，当APEH时，因为AP平面，EH平面，此时AP平面，A对；对于B
7、，当AQFG时，因为AQ平面，FG平面，此时AQ平面，B对；对于C，取AC的中点O，GH的中点为M，设，则有()()，同理可得()()，()，2，22，所以22，所以，22，因为E、F、G、H四点共面，则2211，所以1，所以，222，则(1)，所以，()，可得，即M、E、F三点共线，即GH的中点在EF上，即线段EF平分线段GH，C对；对于D选项，若线段GH平分线段EF，又因为线段EF平分线段GH，则四边形EGFH为平行四边形，事实上，四边形EGFH不一定为平行四边形，故假设不成立，D错10(5，13，3)解析：设D(x，y，z)，由题意得，(x4，y1，z3)(1，12，6)D(5，13，3
8、).117解析：(2，1，3)，(1，3，2)，2367，|，|.又cos，sin，平行四边形的面积S|sin，7.12.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1A1(2，0，0)，DA1(2，0，2)，(2，2，0).设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离是d.13.D正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，可得D1(0，0，2)，AA1DD1(0，0，2)，点M(a，b，0)，则MD1(a，b，2)，由动点M(a，b，0)满足直线MD1与AA1所成夹角
9、为，可得cosMD1，AA1，整理得a2b24，由a2b242ab，可得ab2，当ab时取等号，即最大值为2.14C建立如图所示空间直角坐标系，由题意得，B和D在平面ABCD中的投影分别在BB1和DD1上(如图所示)，因为ABBC，令AB2，则BC2，由比值可知，B的x，y，z坐标比值为12，所以令B坐标为(b，b，2b)，因为B在平面ABCD中的投影在BB1上，所以b(0，)，同理可得D坐标为(2d，2d，2d)，E(，0，0)，G(，2，0)，F(0，1，0)，H(2，1，0)，则(b，b，2b)，(d，d，2d)，cos，解得cos，因为b和d的范围均为(0，)，所以cos，(0，1)，
10、即夹角范围是(0，)，故A，B错误；同理可得cos，0，1)，因为异面直线所成角范围是(0，则夹角范围是(0，.即C正确，D错误15.解析：设直线l与平面所成的角为，则sin.16.解析：如图所示，作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD.由SASB，可得OAOB.又由ABC45，得ABO为等腰直角三角形，OAOB.建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，则A(，0，0)，B(0，0)，C(0，0)，S(0，0，1)，D(，2，0)，(，2，1)，(，0，1)，(0，1).设平面SAB的法向量为n(x1，y1，z1)，由得令z1，得n(1，1，).设直线SD与平面SAB所成角为，则sin|cos，n|.所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为.
