1、专练15高考大题专练(一)导数的应用命题范围：导数的应用、导数的几何意义12021全国乙卷已知函数f(x)x3x2ax1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线yf(x)过坐标原点的切线与曲线yf(x)的公共点的坐标22021全国甲卷设函数f(x)a2x2ax3lnx1，其中a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若yf(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围32022全国甲卷(文)，20已知函数f(x)x3x，g(x)x2a，曲线yf(x)在点(x1，f(x1)处的切线也是曲线yg(x)的切线(1)若x11，求a；(2)求a的取值范围42022全国乙卷(文)，20已知函数f(x)ax(
2、a1)lnx.(1)当a0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围52022山西省太原市高三模拟已知函数f(x)(xa)2e.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)4e0有三个零点，求a的取值范围专练15高考大题专练(一)导数的应用1解析：(1)由题意知f(x)的定义域为R，f(x)3x22xa，对于f(x)0，(2)243a4(13a).当a时，f(x)0，f(x)在R上单调递增；当a0，则xx2；令f(x)0，则x1xx2.所以f(x)在(，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增综上，当a时，f(x)在R上单调递增；当
3、a时，f(x)在(，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，)上单调递增(2)记曲线yf(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，xxax01)，因为f(x0)3x2x0a，所以切线l的方程为y(xxax01)(3x2x0a)(xx0).由l过坐标原点，得2xx10，解得x01，所以切线l的方程为y(1a)x.令x3x2ax1(1a)x，则x3x2x10，解得x1，所以曲线yf(x)过坐标原点的切线与曲线yf(x)的公共点的坐标为(1，1a)和(1，1a).2解析：(1)由题意，f(x)的定义域为(0，)，f(x)2a2xa，则当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当0x时，f(x)0，f(
4、x)单调递减故函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增(2)由(1)知函数f(x)的最小值为f()，要使yf(x)的图像与x轴没有公共点，只需f(x)的最小值恒大于0，即f()0恒成立，故a2()2a3ln10，得a，所以a的取值范围为(，).3解析：(1)当x11时，f(x1)0.由题意，得f(x)3x21，所以f(1)2，则曲线yf(x)在点(x1，f(x1)处的切线方程为y2(x1).由题意，知直线y2(x1)与曲线g(x)x2a相切，所以2x2x2a，即方程x22xa20有两个相等的实数解，则44(a2)0，解得a3.(2)方法一因为f(x1)xx1，f(x1)3x1，所以
5、曲线yf(x)在点(x1，f(x1)处的切线方程为y(xx1)(3x1)(xx1)，即y(3x1)x2x.因为该切线也是曲线g(x)x2a的切线，所以x2a(3x1)x2x，所以方程x2(3x1)xa2x0有两个相等的实数解，所以(3x1)24(2xa)0，则ax2xx.令h(x)x42x3x2，则h(x)9x36x23x9x(x)(x1).当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，)(，0)0(0，1)1(1，)h(x)000h(x)极小值极大值极小值因为h()，h(1)1，所以h(x)min1.又因为当x(或x)时，h(x)，所以a的取值范围为1，).方法二因为f(x)3x21
6、，所以曲线yf(x)在点(x1，f(x1)处的切线方程为y(xx1)(3x1)(xx1)，即y(3x1)x2x.由g(x)x2a，得g(x)2x.曲线yg(x)在点(x2，g(x2)处的切线方程为y(xa)2x2(xx2)，即y2x2xxa.令则ax2x(9x8x6x1).令m(x)9x48x36x21，则m(x)36x324x212x12x(x1)(3x1).当x或0x1时，m(x)0，此时函数ym(x)单调递减；当x1时，m(x)0，此时函数ym(x)单调递增又m()，m(0)1，m(1)4，所以m(x)minm(1)4，所以a1，即a的取值范围为1，).4解析：(1)当a0时，f(x)l
7、nx(x0)，则f(x).当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0时，xlnx0，所以方程a在(0，)上恰有一个解令g(x)(x0)，则g(x).令h(x)x1(x1)lnx(x0)，则h(x)1lnxlnx.由(1)知，h(x)1，所以h(x)在(0，)上单调递减又h(1)0，所以当x(0，1时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.则当x(0，1时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上单调递减又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，所以a(0，).5解析：(1)函数定义域为R，f(x)e(xa)(xa)，当a0时，f(x)在(，a)和(a，)
8、上递增，在(a，a)上递减；当a0时，f(x)在(，a)和(a，)上递减，在(a，a)上递增综上：当a0时，f(x)的递增区间是(，a)和(a，)，递减区间是(a，a)；当a0时，f(x)的递减区间是(，a)和(a，)，递增区间是(a，a).(2)由(1)知当a0时，f(x)在(，a)和(a，)上递增，在(a，a)上递减，函数极大值f(a)，函数极小值f(a)0，又f(x)0，f(x)，若使f(x)4e0有三个零点，只需4e，解得：ae，当a0时，f(x)在(，a)和(a，)上递减，在(a，a)递增函数极小值f(a)0，函数极大值f(a)，又f(x)，f(x)0，同理只需4e，解得ae，所以a的取值范围是(，e)(e，).
