1、乌鲁木齐市第四中学2020-2021学年度期末测试高二年级文科数学（问卷）一、选择题1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式求得集合，从而可求得.【详解】由得，所以或，所以或，又因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合间的交集运算，属于基础题.2.求（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式可计算得出所求代数式的值.【详解】由诱导公式可得.故选：A.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.3.已知复数，则（ ）A. B. C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】根据复数的四
2、则运算以及共轭复数的定义求解即可.【详解】故选：D【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.4.求函数在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】求出和即可.【详解】由可得，所以所以切线方程为：，即故选：A【点睛】本题考查的是导数的几何意义，较简单.5.在空间内、若两个平面互相垂直，则一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直.该命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数（ ）A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先判断原命题为真，逆命题为真，根据原命题与逆否命题真假关系相同，逆命题与否命题真假关系相同，即可得到结果.【详解】由题意
3、可知，该命题的原命题是真命题；可知其逆否命题为真命题；该命题的逆命题是：“若一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直，则两个平面互相垂直”，根据面面垂直的判定定理可知该命题是真命题；故逆命题为真命题；由于逆命题与否命题是互为逆否命题，故否命题是真命题.故选：D.【点睛】本题主要考查了四种命题的真假判断，互为逆否命题的真假关系，属于基础题6.是的（ ）A. 充要条件B. 必要条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由可选出答案.【详解】因为所以是的充分不必要条件故选：C【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，属于基础题.7.函数在2，5上单调，则a的取值
4、范围（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】二次函数的对称轴为，然后即可建立不等式求解.【详解】因为二次函数的对称轴为，且在2，5上单调所以或，即或故选：D【点睛】本题考查的是二次函数的单调性，较简单.8.已知等差数列其前n项和为，若，则（ ）A. 54B. 27C. 9D. 6【答案】B【解析】【分析】把等差数列通项公式代入所给等式可得，再利用等差数列的前项和公式即可得解.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式及前项和公式.属于基础题.9.下列函数中是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出四个选项中的定义域，求出，即可选出正
5、确答案.【详解】解：A：函数定义域为，关于原点对称，则函数为奇函数，A错误；B：函数定义域为，则函数为非奇非偶函数，B错；C：函数定义域为，关于原点对称，则函数为偶函数，C正确；D：函数定义域为关于原点对称， ，则函数为奇函数，D错误；故选:C.【点睛】本题考查了函数奇偶性的求解，属于基础题.10.已知函数可导，且，（ ）A. -3B. 0C. 3D. 6【答案】D【解析】【分析】利用导数的概念对进行整理，可得结论.【详解】.故选：D【点睛】本题主要考查了导数的概念.属于基础题.11.已知（）的图像向左移个单位后关于y轴对称，再向下移2个单位后对称中心在x轴上.则 的值为（ ）A. ，2B.
6、C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数图像的平移变换得到平移后的解析式，然后再根据对称性求出的值即可.【详解】将的图像向左移个单位后得到的函数为由图像关于y轴对称可得所以，因为，所以将的图像向下移2个单位后对称中心在x轴上，则故选：D【点睛】本题考查的是三角函数的图像变换和对称性，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.12.已知函数则成立的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出不等式即可算出答案.【详解】由可得所以成立的概率是故选：A【点睛】本题考查的是几何概型，较简单.二、填空题13.已知,，用表示=_.【答案】【解析】【分析】由得，然后根据计算即可
7、.【详解】因为，所以故答案为：【点睛】本题考查的是对数的运算法则和换底公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.14.求曲线方程经过伸缩变换后的曲线方程_【答案】【解析】【分析】由伸缩变换可知 ，代入曲线后就是变换后的曲线方程.【详解】由伸缩变换可知 ，代入曲线，可得，所以伸缩变换后的曲线方程是.故答案为：.【点睛】本题考查了根据伸缩变换求变换后的解析式，解本题的关键是分清变换前，后的变量，否则容易出错. 属于基础题型.15.若函数,在上单调且有一个零点，k的取值范围_【答案】【解析】【分析】由条件可得，然后解出即可.【详解】因为函数在上单调且有一个零点，所以，即，解得故答案为：【点睛】本题考查
8、的是零点存在性定理的应用，较简单.16.定义在R上的函数满足及，当0，1上时，则=_ .【答案】【解析】【分析】由函数满足及，可得，即函数的周期为4，再求解即可.【详解】因为函数满足及，则，即，则，所以，即函数的周期为4，则，故答案为：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及周期性，重点考查了函数性质的应用，属中档题.三、解答题17.已知正项等比数列，；（1）求的通项公式；（2）设，求其前n项和为.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据条件可解出、，然后即可求出；（2），然后即可求出.【详解】（1）因为是正项等比数列，所以，所以因为，所以，因为，所以所以（2）所以【点睛】常见数列的求和
9、方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18.已知函数，若恒成立，求a的取值范围.【答案】【解析】【分析】结合二次函数图象的特征，求出对称轴为，分，三种情况进行讨论，结合函数的单调性求出最大值，令最大值小于等于零，即可求出a的取值范围.【详解】解：，图象开口向下，对称轴为，当时，在单调递减，当时，解得，即；当时，在先增后减，当时，解得，即；当时，在单调递增，当时，解得，即，综上所述，【点睛】本题考查了二次函数的区间上最值的求解，考查了不等式恒成立问题.本题的关键是通过讨论对称轴的取值范围确定函数的最大值.19.已知函数 ；（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）当时
10、，求的最小值以及取得最小值时x的值.【答案】（1）周期单调递减区间；（2）当时.【解析】【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简整理函数的表达式，然后即可求出周期和单调递减区间；（2），由余弦函数图像求解最值即可【详解】（1）最小正周期为由得所以的单调递减区间为（2）由得，所以当即 时的最小值为.【点睛】三角函数在闭区间内上的最值问题的步骤：（1）换元，令，其中（2）画出三角函数的函数图像（3）由图像得出最值20.已知曲线的极坐标为和直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）求曲线和直线交点的极坐标.【答案】（1），；（2）、.【解析】【分析】（1）在曲线的极坐标方
11、程的两边同时乘以，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线的参数方程中消去参数，可得出直线的普通方程；（2）将直线与曲线的直角坐标方程联立，求出交点坐标，再化为极坐标即可.【详解】（1）在曲线的极坐标方程的两边同时乘以，得，所以，曲线的直角坐标方程为.在直线的参数方程中消去参数，可得直线的直角坐标方程为；（2）联立直线与曲线的直角坐标方程，即，解得或，所以，直线与曲线的交点坐标为、，化为极坐标为、.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的相互转化，考查计算能力，属于基础题.21.已知椭圆的离心率为，且，抛物线的通径与椭圆的右通径在同
12、一直线上.（1）求椭圆与抛物线的标准方程；（2）过抛物线焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，为椭圆的左焦点，求.【答案】（1）椭圆，抛物线；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意求出、的值，进而可求得的值，由此可求得椭圆的标准方程，设抛物线的标准方程为，根据抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上求出的值，由此可求得抛物线的标准方程；（2）设点、，可知直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得的面积.【详解】（1）由题意可得，可得，则，所以，椭圆的标准方程为.设抛物线的标准方程为，由于抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上，则，因此，抛物线的
13、标准方程为；（2）设点、，可知直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，消去得，由韦达定理得，因此，.【点睛】本题考查椭圆与抛物线标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.22.设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由，可得，令，利用导数可得 的减区间为，增区间为，求得函数的极值与最值，从而可得结果.【详解】（1）因为，所以函数定义域为，当时，令，得或（舍去）.当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，令，其中，则，令，得，当时，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 又，且，由于函数在上有两个零点，故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
