1、题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量及其运算高考要求 1理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘 2了解空间向量的基本定理；3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；4理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念5 握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件知识点归纳 1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：;运算律：加法交换律：加法结合律：数
2、乘分配律：3 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使4 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线5 共线向量定理：空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 其中向量叫做直线的方向向量6空间
3、直线的向量参数表示式：或，中点公式 7向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有或 上面式叫做平面的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设是不共面的四点，则对
4、空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：11向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：12向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影 的长度13空间向量数量积的性质： （1）（2）（3）14空间向量数量积运算律：（1）（2）（交换律）（3）（分配律）题型讲解 例1 证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O
5、，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y +z分析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理解：依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得=+x1 +y1=+x1（）+y1（）=（1x1y1）+x1+y1，取x=1x1y1、y=x1、z=y1，则有=x+y+z，且x+y+z=1点评：向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可用以证明点共（线）面本题的结论，可作为证明空间四点共
6、面的定理使用例2 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离解：如下图，因为ACD=90，所以 =0同理，=0因为AB与CD成60角，所以，=60或120因为=，所以2=222222=2222=3211cos，=2或，所以=2或，即B、D间的距离为2或例3 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：（1）BD1平面ACB1；（2）BE=ED1证明：（1）我们先证明BD1AC = + +， = +，=（ + +）（+）=+ =|2|2=11=0BD1AC同理可证BD1AB1，于是BD1平
7、面ACB1（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则= = ，即2=, 四点共面，所以，D1B与平面ACB1之交点E，就是D1B与MB1的交点 由2=知， ，D1EEB=21BE=ED1点评：利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题例4 如图，点A是ABD所在平面外一点，G是BCD的重心，求证： 分析：想方设法把向量逐步用有关的向量的表示，直至用它们表示为止证明：例5 下列命题中不正确的命题个数是若A、B、C、D是空间任意四点，则有+ +=； |=|+|是、共线的充要条件 若、共线，则与所在直线平行 对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x
8、+y+z（其中x、y、zR），则P、A、B、C四点共面A1 B2 C3 D4解：易知只有是正确的，对于，若O平面ABC，则、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面答案：C例6 A是BCD所在平面外一点，M、N分别是ABC和ACD的重心，若BD=4，试求MN的长 解：连结AM并延长与BC相交于E，连结AN并延长与CD相交于E，则E、F分别是BC及CD的中点现在= = = （）= （）=（ ）=（）=|= |= BD=点评：本题的关键是利用重心这一特殊位置逐步进行转化例7 设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别
9、是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点求证：M、N、P、Q四点共面 证明： = ， = ，=2，=2又 = （+），（*）A、B、C及A1、B1、C1分别共线，=2，=2代入（*）式得= （2+2）=+，、共面M、N、P、Q四点共面小结：1若表示向量1，2，n的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则123n=2应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算3空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示，这三个向量也称为一个基底在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时，往往把它们用同一个基底来表示，从而实现解题的目的4要用向量法解题，所涉及判
10、断位置或长度或所成角的向量，一般应能用关系明确的向量表示，或较容易用坐标表示，否则应考虑用其它方法来解学生练习 1在以下四个式子中正确的有+，（），（），|=|A1个 B2个 C3个 D0个解析：根据数量积的定义，是一个实数，+无意义实数与向量无数量积，故（）错，|=|os，|，只有（）正确 答案：A2设向量、不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是A+，B+，C+，D+，+，解析：由已知及向量共面定理，易得+，不共面，故可作为空间的一个基底，故选C 答案：C3在平行六面体ABCDABCD中，向量、是A有相同起点的向量B等长的向量C共面向量D不共面向量解析：=，、共面 答案：C4平行六面体A
11、BCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 =， =， =，则下列式子中与相等的是A + + B + +C +D +解析：= + =+ （+）= + = + ，故选A 答案：A5O、A、B、C为空间四个点，又、为空间的一个基底，则A O、A、B、C四点共面，但不共线 B O、A、B、C四点不共线CO、A、B、C四点中任意三点不共线DO、A、B、C四点不共面解析：由基底意义，、三个向量不共面，但A、B、C三种情形都有可能使、共面只有D才能使这三个向量不共面，故应选D 答案：D6已知四边形ABCD中，=2，=5+68，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_解析：=+，=+，两式相加，得
12、2=（+）+（+）+（+）E是AC的中点，故+=同理，+=2= +=（2）+（5+68）=6+610=3+35 答案：3+357已知+3与75垂直，且4与72垂直，则，=_解析：由条件知（+3）（75）=7|215|2+16=0，及（4）（72）=7|2+8|230=0两式相减得46=23|2，= |2代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|=|cos，=，=60 答案：608试用向量证明三垂线定理及其逆定理已知： PO、PA分别是平面的垂线和斜线，OA是PA在内的射影，求证：PAOA证明：设直线上非零向量，要证PAOA，即证 =0 =0， =0，=（+）=+=0=0，即PAOA点评：向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具在应用过程中，常需要通过加、减法对向量进行转换，当然，转换的方向是有利于计算向量的数量积9在空间四边形ABCD中，求证：+ +=0证法一：把拆成+后重组，+=（ +）+=+=（+）+（+）=+ = （+）=0证法二：设=，= ，=，则+=（）（）+（）+（）（）=+=0点评：把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变证法一中体现了向量的拆分重组技巧，要求较高；证法二设定三个向量为基底，而原式中所有向量化归为关于、的式子，化简时的思路方向较清楚课前后备注
