1、试卷第 1页，总 4页深圳明德实验学校 2021 届高三数学 12 月月度检测学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1集合1,2,9,8,2,5,6,7,AB则 AB（）A2,5B5,6C1,2,5,6,7,8,9D2,62若复数 z 满足(1 i)3iz(其中i 是虚数单位)，则（）A z 的实部是 2B z 的虚部是 2iC12iz D5z 3已知1311531log,log,363abc，则,a b c 的大小关系是（）AbacB acbCcbaDbca4832()xx二项展开式中的常数项为（）A56B112C-56D-1125已知斜率为1的直线l 与双曲线C：22221xyab(0
2、a，0b)相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为3(1)M，.则C 的离心率为（）A2B52C3D626已知函数 422(1)f xxaxax 为偶函数，则 fx 的导函数()fx 的图象大致为()ABCD7已知等差数列na的前 n 项和为nS，31567aaa，则23S（）A121B161C141D1518已知函数2()f xxa，2()xg xx e=，若对于任意的2 1,1x ，存在唯一的11 2,2x ，使得12()()f xg x，则实数 a 的取值范围是（）A（e，4）B（e14，4C（e14，4）D（14，4二、多选题9空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指
3、数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表:试卷第 2页，总 4页AQI 指数值0 5051100101150151 200201 300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市 12 月 1 日 20日 AQI 指数变化趋势，则下列叙述正确的是（）A这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100B这 20 天中的中度污染及以上的天数占 13C该市 12 月的前半个月的空气质量越来越好D总体来说，该市 12 月，上旬的空气质量比中旬的空气质量好10将函数 f（x）2sinx（sinx3cosx）1 图象向右平移 3 个单位得函数 g（x）的图象，则下列命题中正确的是（
4、）Af（x）在（4，2）上单调递增B函数 f（x）的图象关于直线 x56对称Cg（x）2cos2xD函数 g（x）的图象关于点（2，0）对称11如图，长方体1111ABCDA B C D的底面是正方形，12AAAB，E 是1DD 的中点，则（）A1B EC为直角三角形B1/CEA BC三棱锥11CB CE的体积是长方体体积的 16D三棱锥111CB CD的外接球的表面积是正方形 ABCD 面积的6 倍试卷第 3页，总 4页12某同学在研究函数 211f xxx 的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为 222200 1100f xxx，则下列结论正确的是（）A函数 fx 在区间,0上
5、单调递减，1,上单调递增B函数 fx 的最小值为2，没有最大值C存在实数t，使得函数 fx 的图象关于直线 xt对称D方程 2f x 的实根个数为 2三、填空题13设各项均为正数的等比数列 na中，若480S，28S，则公比 q _.14已知函数 yf x在1x 处的导数值为 2，则 0121limxfxfx _.15在ABC中，点 F 为线段 BC 上任一点（不含端点），若20,0AFxAByAC xy，则 12xy的最小值为_16设抛物线220ypx p的焦点为1,0F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足为,C D，若4AFBF，则 AB _
6、.CDF的面积为_.四、解答题17在锐角 ABC中，,a b c 分别是角,A B C 所对的边，且 32 sinacA.（1）求角C 的大小；（2）如果6ab，4CA CB,求c 的值.18在234,4a a a 成等差数列;123,2,S SS成等差数列;12nnaS 中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列 na中，前n 项和为nS，已知12a，且.(1)求数列 na的通项公式；(2)若21 lognnbna，记数列242nnb的前 n 项和为nT，证明2nT.试卷第 4页，总 4页19如图，在 ABC中，2AB，1cos3B，点 D 在线段 BC 上()若34ADC
7、，求 AD 的长；（）若2BDDC，ACD的面积为 4 23，求 sinsinBADCAD的值20已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为菱形，,PDPB H为 PC 上的点，过 AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N，且/BD平面 AMHN.(1)证明:MNAH；(2)当 H 为 PC 的中点，3,PAPCAB PA与平面 ABCD 所成的角为 60，求平面 ABCD 与平面 AMHN 所成锐二面角的大小.21已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点是,0,F cP 椭圆上的一动点，且 PF 的最小值是 1，当 PF 垂直长轴时，3|2PF.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)
8、设直线l 与椭圆C 相切，且交圆22:4O xy于,M N 两点，求MON面积的最大值，并求此时直线l 方程.22函数 11xxf xx ek e.（1）当1k 时，求 fx 的单调区间；（2）当0 x，k2时，证明：0f x 试卷第 5页，总 1页答案第 1页，总 4页深圳明德实验学校 2021 届高三数学 12 月月度检测参考答案1C2D3D4B5A6A7B8B 9AD10AC11ACD12ABD133.14415816 254517解：（1）32 sinacA由正弦定理得：3sin2sinsinACA又sin0A，3sin2C，ABC是锐角三角形，3C；（2）由4CA CB 得cos4a
9、bC，由（1）知1cos2C，则8ab，又由余弦定理得：2228abc，22228()28cababab，6ab，8ab 236 16812c2 3c.18设等比数列的公比为(0)q q，（1）选：因为234,4a a a 成等差数列，所以32442aaa，因为12a，所以22332131412,2,2aa qq aa qq aa qq，所以234224qqq，即 22211qqq.又0q，解得2q=，所以2nna.选：因为123,2,S SS成等差数列，所以 21322SSS，即 12112322aaaaaa，化简得234aa，所以2242qq，即220qq，又0q，解得2q=，所以2nna
10、.选：因为12nnaS，所以2124aS，因为na 是等比数列，则212aqa，所以2nna.（2）因为2nna，所以22(1)log(1)log 2(1)nnnbnann n，所以22222422(21)112(1)(1)nnnbnnnn，所以22222111112 122223(1)nTnn2222221111112 12 1223(1)(1)nnn.222(1)n因为 n+N 时，220(1)n，所以2nT.19（I）在三角形中，1cos3B，2 2sin3B 在ABD中，由正弦定理得 sinsinABADADBB，又2AB，4ADB，2 2sin3B 83AD（II）2BDDC，2AB
11、DADCSS，又423ADCS，4 2ABCS，1sin2ABCSAB BCABC，6BC，1sin2ABDSAB ADBAD，1sin2ADCSAC ADCAD，2ABDADCSS，sin2sinBADACCADAB，在 ABC中，由余弦定理得2222cosACABBCAB BCABC4 2AC，sin24 2sinBADACCADAB答案第 2页，总 4页20（1）连结 ACBD、且 ACBDO，连结 PO.因为，ABCD 为菱形，所以，BDAC，因为，PDPB，所以，POBD，因为，ACPOO且 ACPO、平面 PAC，所以，BD 平面 PAC，因为，AH 平面 PAC，所以，BDAH，
12、因为，/BD平面 AMHNBD，平面 PBD，且平面 AMHN 平面 PBDMN，所以，/BDMN，所以，MNAH.（2）由（1）知 BDAC且 POBD，因为 PAPC，且O 为 AC 的中点，所以，POAC，所以，PO 平面 ABCD，所以 PA 与平面 ABCD 所成的角为PAO，所以60PAO，所以，13,22AOPAPOPA，因为，3PAAB，所以，36BOPA.以,OA OD OP 分别为,x y z 轴，如图所示建立空间直角坐标系，记2PA，所以，33(0,0,0),(1,0,0),0,0,0,033OABD，13(0,0,3),0,22PH 所以，2 3330,0,0,322B
13、DAH，记平面 AMHN 的法向量为(,)nx y z，所以，00n BDn AH 即2 30333022yxz，令2x，解得0,2 3yz，所以，(2,0,2 3)n.因为 PO 平面 ABCD，所以(0,0,3)OP 是平面 ABCD 的一个法向量记平面 ABCD 与平面 AMHN 所成角为锐二面角是，则|3cos|cos,|2|n OPn OPn OP.答案第 3页，总 4页因为 是锐角，所以平面 ABCD 与平面 AMHN 所成角为 6.21（1）由题意，点 P 椭圆上的一动点，且|PF 的最小值是 1，得1ac，因为当 PF 垂直长轴时，可得3|2PF，所以232ba，即223ba，
14、又由222abc，解得2,3ab，所以椭圆C 的标准方程为22143xy.（2）由题意知切线l 的斜率一定存在，否则不能形成MON，设切线l 的方程为 ykxt，联立22143ykxtxy，整理得2223484120kxktxt，因为直线l 与椭圆C 相切，所以222(8)4 344120ktkt，化简得2234tk，则2234tk，因为点O 到直线l 的距离2|1tdk，所以222|2 42 41tMNdk，即24|1MNt，故MON的面积22114|4|12211|4tSMNdtttt，因为22304tk，可得23t，即3t，函数1|ytt在 3,)上单调递增，所以14 3|3tt，当|3
15、t 时取等号，则434 33S，即MON面积的最大值为3.当|3t 时，此时0k，所以直线的方程为3y .22（1）单调递减区间为,0，单调递增区间为0,；（2）证明见解析.【分析】（1）由1k 得到 11xxf xx ee 求导由 0fx，0fx求解.（2）求导 1xfxexk，分1k，12k讨论求解.【详解】（1）当1k 时，11xxf xx ee，.所以 xfxx e当 0fx时，0 x；当 0fx时，0 x.所以 fx 的单调递减区间为,0，单调递增区间为0,.（2）因为 11xxf xx ek e，所以 1xfxexk.答案第 4页，总 4页当1k，0 x 时，0fx恒成立，所以 f
16、x 单调递增，所以 0f xf，而 010f，所以 0f x 恒成立；12k，0 x 时，由 0fx可得1xk；由 0fx可得01xk.所以 fx 在0,1k 单调递减，在1,k 单调递增，所以 1min11kfxf kke .设 1112()xg xxex，则 110 xgxe ，所以 g x 在1,2 单调递减，故 min230g xge，所以 min110kf xke ，从而 0f x.综上，当0 x，k2时，0f x.【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当 f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为 f(x)0(或 f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到2、利用导数证明不等式常构造函数(x)，将不等式转化为(x)0(或0)的形式，然后研究(x)的单调性、最值，判定(x)与 0的关系，从而证明不等式.
