1、易错点29 双曲线及其性质一、单选题1. 若椭圆x2m+y2n=1(mn0)和双曲线x2ay2b=1(ab0)有相同的焦点F1,F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是A. maB. 12(ma)C. m2a2D. ma2. 与圆x2+y2=1及圆x2+y28x+7=0都外切的圆的圆心轨迹是A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的左支D. 双曲线的右支3. 已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，O为坐标原点，P为渐近线上的一点若等腰三角形PFO的面积为2，且OPPF，则双曲线的方程为A. x2y2=1B. x22y22=1C. x23y23=1D. x24y24=14
2、. 若方程x29k+y2k1=1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是A. k9B. k9C. 1k9且k5D. 5k0,b0的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为A. B. C. D. 8. 已知A是双曲线E：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左顶点，B是该双曲线的一条渐近线上一点，若线段AB的中垂线为该双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的渐近线方程为A. y=33xB. y=3xC. y=2xD. y=12x二、填空题9. 已知双曲线x2a2y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点M，若F1MF2=4，则双曲
3、线的离心率为_10. 已知命题p：方程x22my2m1=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线y25x2m=1的离心率e1,2；若“pq”为真命题，“pq”为假命题，则实数m的取值范围为_11. 已知圆C：x+52+y2=36和点B5,0，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是_12. 已知双曲线x2y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该双曲线的右支上，且MF2=3，则MF1=_.三、解答题13. 已知条件p：“曲线C1：x2m1+y25m=1表示焦点在x轴上的椭圆”，条件q：“曲线C2：x2mt+y2mt1=1表示双曲线”(1)若条件p成立，求m的取值
4、范围；(2)若条件p，q都成立且p是q的必要不充分条件，求t的取值范围14. 已知双曲线C1的离心率等于52，且与椭圆C2：x29+y24=1有公共焦点，(1)求双曲线C1的方程；(2)若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆C2的焦距，求该抛物线方程15. 已知条件p：“存在xR，3x2+(2a1)x+30)表示双曲线”(1)若p与q同时成立，求实数a的取值范围；(2)若s是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围16. 已知F1,F2分别为双曲线xa22y2b2=1(a0,b0)的左，右焦点，P为双曲线右支上的一点(1)若PF1=2PF2且为等腰三角形，求该双曲线的离心率；(2)若且，求该双曲线的
5、离心率的取值范围一、单选题1若椭圆x2m+y2n=1(mn0)和双曲线x2ay2b=1(ab0)有相同的焦点F1,F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是A. maB. 12(ma)C. m2a2D. ma【答案】A【解析】解：椭圆x2m+y2n=1(mn0)和双曲线x2ay2b=1(a0,b0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|PF2|=2a，|PF1|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2(|PF1|PF2|)24=ma故选A2与圆x2+y2=1及圆x2+y28x+7=0都外切的圆的圆心轨迹是A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的
6、左支D. 双曲线的右支【答案】C【解析】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1；圆x2+y28x+7=0的圆心为F(4,0)，半径为3，依题意得|PF|=3+r，|PO|=1+r，则|PF|PO|=(3+r)(1+r)=20,b0)的右焦点为F，O为坐标原点，P为渐近线上的一点若等腰三角形PFO的面积为2，且OPPF，则双曲线的方程为A. x2y2=1B. x22y22=1C. x23y23=1D. x24y24=1【答案】D【解析】解：依题意得双曲线的渐近线方程为y=bax，b=2a，又SPOF=14c2=2，c=22，又a2+b2=c2，解得a=2
7、，b=2，双曲线C的标准方程为x24y24=1故选D4若方程x29k+y2k1=1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是A. k9B. k9C. 1k9且k5D. 5k0k90,解得k9故选B5已知双曲线8kx2ky2=8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为A. 1B. 1C. 1365D. 1365【答案】B【解析】解：双曲线8kx2ky2=8，化为y28kx21k=1，双曲线的一个焦点为(0,3)，8k1k=32，解得k=1故选B6与椭圆x236+y220=1有公共焦点，且过点P(4,6)的双曲线方程为A. y24x212=1B. x24y212=1C. y212x24=1D. x2
8、12y24=1【答案】B【解析】解：根据题意，椭圆的方程为x236+y220=1，其焦点在x轴上，且c2=3620=16，则其焦点坐标为(4,0)，设要求双曲线的方程为：x2a2y2b2=1，又由过点P(4,6)且焦点坐标为(4,0)，则有16a236b2=1a2+b2=16解可得：a2=4b2=12,故要求双曲线方程为x24y212=1；故选B7已知双曲线C:x2a2y2b2=1a0,b0的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：双曲线焦点到渐近线的距离等于实轴长，即点F(c,0)到直线bxay=0的距离等于2a，即|bc|a2+b2
9、=2a，即b=2a，可得e2=c2a2=1+b2a2=5，即e=5故选C8已知A是双曲线E：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左顶点，B是该双曲线的一条渐近线上一点，若线段AB的中垂线为该双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的渐近线方程为A. y=33xB. y=3xC. y=2xD. y=12x【答案】B【解析】解：设线段AB的中点为C，线段AB的中垂线为该双曲线的另一条渐近线，AOC=BOC，由双曲线的几何性质知，AOC=xOB，AOC+BOC+xOB=，xOB=3，该双曲线的渐近线方程为y=3x，故选B二、填空题9已知双曲线x2a2y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F
10、1作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点M，若F1MF2=4，则双曲线的离心率为_【答案】3【解析】解：如图：|MF1|MF2|=2a，设|MF2|=t，则|MF1|=2a+t，sinMF1F2=|ON|OF1|=ac，在MF1F2中，由正弦定理得|MF2|sinMF1F2=|F1F2|sinF1MF2，即tac=2c22，t=22a，|MF2|=22a，|MF1|=(22+2)a，由余弦定理得4c2=8a2+(12+82)a2222a(22+2)a224c2=12a2，c2=3a2，e=3故答案为：310已知命题p：方程x22my2m1=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线y25x2
11、m=1的离心率e1,2；若“pq”为真命题，“pq”为假命题，则实数m的取值范围为_【答案】13,15)【解析】解：已知命题p：方程x22my2m1=1表示焦点在y轴上的椭圆，若p为真命题，那么1m02m01m2m，实数m的取值范围：0m13；命题q：双曲线y25x2m=1的离心率e(1,2)，若q为真命题，那么e2=5+m5(1,4)，实数m的取值范围：0m15，又“pq”为真命题，“pq”为假命题，所以命题p、q一真一假，若p真q假，则0m13m0或m15，那么m的取值范围为；若p假q真，m0或m130m15，那么m的取值范围为13,15)，实数m的取值范围：m13,15)故答案为13,1
12、5)11已知圆C：x+52+y2=36和点B5,0，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是_【答案】x29y216=1【解析】解：由圆的方程可知，圆心C(5,0)，半径等于6，设点M的坐标为(x,y)，BP的垂直平分线交CQ于点M，|MB|=|MP|.又|MC|PM|=6，|MC|MB|=65m5m0,解得3m5，即m的取值范围3,5；(2)若条件q成立，则mtmt10，解得tmt+1，由p是q的必要不充分条件，则可得m|tmt+1m|3m5，即t3t+15，且等号不同时成立，解得3t4，即t的取值范围为3,414已知双曲线C1的离心率等于52，且与椭圆C2：x29
13、+y24=1有公共焦点，(1)求双曲线C1的方程；(2)若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆C2的焦距，求该抛物线方程【答案】解：(1)由椭圆C2：x29+y24=1得c=94=5，焦点在x轴上，ca=52，a=2，b=1，所以双曲线方程为x24y2=1(2)椭圆C2：x29+y24=1的焦距为2c=25，p=25，抛物线方程为y2=45x或x2=45y15已知条件p：“存在xR，3x2+(2a1)x+30)表示双曲线”(1)若p与q同时成立，求实数a的取值范围；(2)若s是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围【答案】解：(1)若p成立，则=2a124330，解得a72若q成立，则a22a+8
14、2a+80,得4a4若p和q同时成立，则a724a4， 解得4a4.a的取值范围是a|4a4(2)解：若s成立，则a3ta4t0，即3ta4t由s是q的充分不必要条件，a|3ta4ta|4a4.，t0，3t4， 解得t43，t的取值范围是t|t43.16、已知F1,F2分别为双曲线xa22y2b2=1(a0,b0)的左，右焦点，P为双曲线右支上的一点(1)若PF1=2PF2且为等腰三角形，求该双曲线的离心率；(2)若且，求该双曲线的离心率的取值范围【答案】解：(1)因为|PF1|=2|PF2|且PF1F2为等腰三角形，所以|PF1|=|F1F2|=2c，|PF2|=c，因为|PF1|PF2|=2a，所以2cc=2a，得c=2a，所以该双曲线的离心率e=ca=2;(2)因为，把x=c代入xa22y2b2=1(a0,b0)，得y2b2=c2a21=c2a2a2=b2a2，所以y=b2a，所以|PF2|=b2a，在RtPF1F2中，因为，所以，所以b2a2c，即c22aca20，所以e22e10，解得：e1+2或e12(舍去)，所以该双曲线的离心率的取值范围为1+2,+)
