1、微专题25椭圆中与面积有关的定点、定值问题1.已知椭圆1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若PF1PF22，则PF1F2的面积是_2椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上且直线AB过F2，若F1AB的面积为2，则|y1y2|的值为_3已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，动直线l：yxm与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml，F2Nl.则四边形F1MNF2的面积为_4已知椭圆G的方程为1.斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)，则PAB的面积是_5已知椭圆C：1，点B是其下顶点，过点
2、B的直线交椭圆C于另外一点A(点A在x轴下方)，若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线yx于点M，N，则OMON_6焦点在x轴的椭圆C过点P(，)，且与直线l：yx交于A，B两点，若PAB的面积为2，则椭圆C的标准方程为_7.如图，已知椭圆C：1(ab0)过点(0，1)和，圆O：x2y2b2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A，B两点，OAB的面积为时，求直线l的方程8已知椭圆：1(ab0)，过原点的两条直线l1和l2分别与交于点A，B和C，D，得到平行四边形ACBD.(1)当四边形ACBD为正方形时，求该正方形的
3、面积S.(2)若直线l1和l2关于y轴对称，上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值(3)当四边形ACBD为菱形，且圆x2y21内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式微专题251答案：.解析：由题意，PF1PF24，所以PF1F2的三边长分别为3，1，2，显然PF1F2是直角三角形，所以S12.2答案：.解析：F1AB的面积SF1F2|y1y2|3|y1y2|2，所以|y1y2|.3答案：.解析：将直线l的方程yxm代入椭圆C的方程3x24y212中，得7x28mx4m2120.由直线与椭圆C仅有一个公共点知，64m228(
4、4m212)0，化简得m27.设d1F1M，d2F2N，又|d1d2|MN，所以S|d1d2|(d1d2)|m|.4答案：.解析：设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m；因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB，所以PE的斜率k1，解得m2.此时方程为4x212x0，解得x13，x20，所以y11，y22.所以AB3，此时，点P(3，2)到直线AB：xy20的距离为d，所以PAB的面积SABd.5答案：6.解析：设P(x0，y0)，则1，即y024.设M(xM，yM)，
5、由A，P，M三点共线，即，所以(x03)(yM1)(y01)(xM3)，又点M在直线yx上，解得M点的横坐标xM，设N(xN，yN)，由B，P，N三点共线，即，所以x0(yN2)(y02)xN，点N在直线yx上，解得N点的横坐标xN.所以OMON|xM0|xN0|2|xM|xN|2226.6答案：1.解析：由题意，设椭圆的方程为mx2ny21，其中0mn.则有mn.另一方面，联立消去x得y22my3m10.因为OPAB，所以PAB的面积即为OAB的面积，所以S|y1y2|2，所以6m23m0，解得m或者m.因为0mn，所以m，n.椭圆C的方程为1.7答案：(1)y21；(2)yx.解析：(1)
6、因为椭圆C过点(0，1)和，代入椭圆方程，得解得所以椭圆C的标准方程是y21.(2)因为切点在第一象限，所以可设直线l为ykxm(k0，m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y，得(12k2)x24kmx2m220，所以因为直线l与圆O相切，圆心O到直线l的距离d1，所以m21k2.线段AB的长为lAB，所以OAB的面积SlABd，即，所以16(1k2)k23(12k2)2，即(2k23)(2k21)0，所以k2，k，所以m，直线l的方程为yx.8答案：(1)；(2)直线l1和l2的斜率分别为和，此时d12d22；(3)1.解析：(1)因为四边形ACBD为正方形，所以直线l
7、1，l2的方程为yx和yx.点A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)为方程组的实数解，解得x12x22.根据对称性，可得正方形ACBD的面积S4x12.(2)由题意，不妨设直线l1的方程为ykx(k0)，于是直线l2的方程为ykx.设P(x0，y0)，于是有1，又d1，d2，d12d22，将y02b2代入上式，得d12d22，对于任意x0a，a，上式为定值，必有k20，即k，因此，直线l1和l2的斜率分别为和，此时d12d22.(3)设AC与圆x2y21相切的切点坐标为(x0，y0)，所以x02y021，则切线AC的方程为x0xy0y1.点A，C的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)为方程组的实数解当x00或y00时，ACBD均为正方形，椭圆均过点(1，1)，于是有1.当x00且y00时，将y(1x0x)代入1，整理得(b2y02a2x02)x22x0a2xa2(1b2y02)0，于是x1x2，同理可得y1y2.因为ACBD为菱形，所以AOCO，得0，即x1x2y1y20，所以0，整理得a2b2a2b2(x02y02)因为x02y021，得a2b2a2b2，即1.综上，a，b满足的关系式为1.
