1、专题27 圆锥曲线点差法必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为M（4，2），则直线AB的斜率为（ ）A1BCD22若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）ABCD3已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则直线的斜率为（ ）ABCD4若直线l与椭圆交于点A、B，线段AB中点P为（1，2），则直线l的斜率为（ ）ABC6D65过点的直线交抛物线于两点，当点恰好为的中点时，直线的方程为（ ）ABCD6以椭圆内一点为中点的弦所在的直线方程是（ ）ABCD7已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线
2、交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（ ）ABCD18已知直线l被双曲线C：y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（ ）Ax+4y9=0Bx4y+7=0Cx8y+15=0Dx+8y17=09已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）ABCD10已知椭圆，点为右焦点，为上顶点，平行于的直线交椭圆于，两点且线段的中点为，则椭圆的离心率为（ ）ABCD11在抛物线中，以为中点的弦所在直线的方程是（ ）ABCD12已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，若，的中点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD13直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点
3、，若为线段中点，则椭圆的标准方程为（ ）ABCD14已知曲线，过点且被点平分的弦所在的直线方程为（ ）ABCD15过点作斜率为的直线与椭圆：()相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（ ）ABCD16过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，若线段的中点的坐标为，则的方程为（ ）ABCD17已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（）ABCD18过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）ABCD第II卷（非选择题）二、填空题19已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为_20椭圆离心率为，直线与
4、椭圆交于，两点，且中点为，为原点，则直线的斜率是_21已知为抛物线的一条长度为8的弦，当弦的中点离轴最近时，直线的斜率为_.22直线与椭圆交于，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则_23已知椭圆，过点（4，0）的直线交椭圆于两点.若中点坐标为（2，1），则椭圆的离心率为_24设、是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线为，若，则_.25已知直线与椭圆相交于，两点，若中点的横坐标恰好为，则椭圆的离心率为_.26在直角坐标系中，是圆的弦，是中点，若，都存在非零斜率，则.类比于圆，在直角坐标系中，是椭圆的弦，是中点，若，都存在非零斜率，则_.三、解答题27已知椭圆：过点，长轴长为.（1）求椭
5、圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程.28已知椭圆C的焦点为，过的直线与椭圆C交于A，B两点.若的周长为.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆中以为中点的弦所在直线方程.29设椭圆过点，离心率为（1）求C的方程；（2）求过点且以M点为中点的弦的方程30已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的两个点，点是线段的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1已知椭圆C：上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点的纵坐标为，则的值是（ ）ABCD22设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是（ ）ABC
6、D3已知椭圆：上有三点，线段，的中点分别为，为坐标原点，直线，的斜率都存在，分别记为，且，直线，的斜率都存在，分别记为，则（ ）ABCD4斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD5已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）ABCD6直线l与抛物线相交于A，B两点，线段AB的中点为M，点P是y轴左侧一点，若线段PA，PB的中点都在抛物线上，则（ ）APM与y轴垂直BPM的中点在抛物线上CPM必过原点DPA与PB垂直7已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆
7、交于，两点，且，则直线的斜率为（ ）ABCD8已知椭圆（）的右焦点为，过点的直线交椭圆于A，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）A B C D9抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长为3，则点的纵坐标的最小值为（ ）ABCD110过点作直线l与双曲线交于P，Q两点，且使得A是的中点，直线l方程为（ ）AB2x+y-3=0Cx=1D不存在11以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，若，则直线的斜率为( )ABCD12过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，椭圆上不同的两点，满足条件：成等差数列，则弦的中垂线在轴上的截距的范围是（ ）ABCD
8、13已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）ABCD14已知圆在椭圆的内部，点为上一动点.过作圆的一条切线，交于另一点，切点为，当为的中点时，直线的斜率为，则的离心率为（ ）ABCD15已知双曲线：，若存在斜率为1的直线与的左右两支分别交于点，且线段的中点在圆：上，则的离心率的最小值为（ ）ABC2D16过抛物线的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M，若，则线段FM的长度为（ ）A1B2C3D417已知抛物线C1：和圆C2：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆C2上一点P作圆的切线MN交抛物线C，
9、于M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k1时的直线方程为（ ）A4x-3y-22=0B4x-3y-16=0C2x-y-11+5=0D4x-3y-26=018已知圆与椭圆相交于两点，若是圆的直径，则椭圆的方程为（ ）ABCD19已知抛物线，直线交抛物线于两点，是的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，且，若，则k为（ ）ABCD220已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则的值是（ ）ABCD第II卷（非选择题）二、填空题21已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B，D两点，且BD的中点为，则C的离心率是_22已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为_.23已知椭圆离
10、心率，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点（A在第一象限），过A作x轴垂线交椭圆于点C，过A作直线AP垂直AB交椭圆于点P，连接BP交AC于点Q，则_24已知椭圆：上存在，两点关于直线对称，且线段的中点在抛物线上，则实数的值为_.25已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是_.26已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_27椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为_28已知圆：与椭圆：相交于、两点，若是圆的直径，则椭圆的方程为_.29已知为椭圆的右焦点.直线与椭圆C相交于A，B两点，A，B
11、的中点为P，且直线OP的斜率，则椭圆C的方程为_.30已知曲线：，点，在曲线上，且以为直径的圆的方程是则_31已知抛物线E：y24x，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上的三个动点，其中x1x2x3且y20，若ABC的重心恰为抛物线E的焦点，且AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离成等差数列，则直线AC的斜率为_.32已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，线段的中点M，O为坐标原点，与的夹角为，且，则_33已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为_.34已知椭圆C：的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点，如
12、果BMN的重心恰好为椭圆的左焦点F，则直线方程为_35已知抛物线上一点到焦点的距离为3，过焦点的直线与抛物线相交于、两点，点到直线的距离为，当取得最大值时，的面积等于_三、解答题36已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2（1）求C的方程（2）已知，若P在线段上，是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求面积的最大值37已知椭圆：，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由.38在平面直角坐标系xO
13、y中，已知椭圆C：（ab0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y=kx（k0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为，点P的坐标为（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）求证：为定值.39已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段中点为.（1）若，点在椭圆上，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围；（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的斜率；若不能，请说明理由.40已知椭圆，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、解答题1已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分别
14、相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E（1）求E的方程；（2）直线交E于R，V两点在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小 并加以证明2已知椭圆的左右焦点分别为，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，线段的中点为.（1）求的标准方程；（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.3已知点，不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于两点（1）若M为线段的中点，证明：；（2）设C的左焦点为F，若M在的角平分线所在直线上，且l被圆截
15、得的弦长为，求l的方程4已知点在椭圆上，且点M到C的左右焦点的距离之和为.（1）求C的方程；（2）设为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O，M)上，求的取值范围.5已知椭圆：.（1）椭圆是否存在以点为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆的左右顶点分别为，点是椭圆上的点，若直线，分别与直线交于，两点，求线段的长度取得最小值时直线的斜率.6已知斜率为的的直线与椭圆交于点 ，线段中点为，直线 在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.（1）求椭圆的方程；（2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点 ，设直线的斜率分别为， ，线段PQ,MN的中点分别为，判断
16、直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.7已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为（1）求抛物线的方程；（2）若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点两点，且点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由8如图，曲线由两个椭圆和椭圆组成，当a、b、c成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”，若猫眼曲线过点，且a、b、c的公比为.（1）求猫眼曲线的方程；（2）任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦AB的中点为M，交椭圆所得弦CD的中点为N，直线OM、直线ON的斜率分别为、，求证：为与k无关的定值；（3）
17、设、为椭圆上的两点，直线OP、直线的斜率分别为、，且，求的最大值.9坐标平面内的动圆与圆外切，与圆内切，设动圆的圆心的轨迹是曲线，直线.（1）求曲线的方程；（2）当点在曲线上运动时，它到直线的距离最小？最小值距离是多少？（3）一组平行于直线的直线，当它们与曲线相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？10已知点在椭圆：（）上，且点到的左、右焦点的距离之和为.（1）求的方程；（2）设为坐标原点，若的弦的中点在线段（不含端点，）上，求的取值范围.11如图，椭圆的右焦点为，过焦点，斜率为的直线交椭圆于、两点（
18、异于长轴端点），是直线上的动点（1）若直线平分线段，求证：（2）若直线的斜率，直线、的斜率成等差数列，求实数的取值范围12在平面直角坐标系中，已知椭圆，直线（1）若椭圆C的一条准线方程为，且焦距为2，求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，直线l过点F，且与FA垂直，交椭圆C于M，N（M在x轴上方），若，求椭圆C的离心率；（3）在（1）的条件下，若椭圆C上存在相异两点P，Q关于直线l对称，求的取值范围（用k表示）13在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，且线段的长为，为椭圆异于顶点，的点，过点，分别作，直线，交于点（1）求椭圆的方程；（2）求证：当在椭圆上运动
19、时，点恒在一定椭圆上；（3）已知直线过点，且与（2）中的椭圆交于不同的两点，若为线段的中点，求原点到直线距离的最小值14在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）求证：为定值；（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.15已知椭圆的右焦点为，右准线为.过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与右准线交于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值
20、；若不存在，请说明理由.16为坐标原点，椭圆：的离心率为，椭圆的右顶点为.设，是上位于第二象限的两点，且满足，是弦的中点，射线与椭圆交于点.（1）求证：直线与直线斜率的乘积为；（2）若，求椭圆的标准方程. 17已知是曲线上的动点，且点到的距离比它到x轴的距离大1.直线与直线的交点为.（1）求曲线的轨迹方程；（2）已知是曲线上不同的两点，线段的垂直垂直平分线交曲线于两点，若的中点为，则是否存在点，使得四点内接于以点为圆心的圆上；若存在，求出点坐标以及圆的方程；若不存在，说明理由.18如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线：的准线的距离为.点是上的定点，是上的两动点，且线段的中点在直线上.（1）求曲
21、线的方程及点的坐标；（2）记，求弦长（用表示）；并求的最大值.19椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且的中点为，线段的垂直平分线为，直线与轴交于点，求的取值范围.20在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若点都在椭圆上，且中点在线段(不包括端点)上.求直线的斜率；求面积的最大值.21已知椭圆方程为，左右焦点分别为，直线过椭圆右焦点且与椭圆交于A、B两点，（1）若为椭圆上任一点，求的最大值，（2）求弦AB中点M的轨迹方程，22已知抛物线的焦点为，若在轴上方该抛物线上有一点，满足直线的倾斜角为，且.
22、（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上另有两点满足，求直线方程.23已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.（1）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；（2）若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，24如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点设直线与直线交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求线段中点的轨迹方程；（3）求证：点的横坐标为定值.25已知抛物线过点，且P到抛物线焦点的距离为2直线过点，且与抛物线相交于A，B两点.（）求抛物线的方程；（）若点Q恰为线段AB的中点，求直线的方程；（）过点作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能
23、，求出直线的斜率；若不能，请说明理由.26椭圆（）的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，若，且.（）求椭圆的方程；（）已知点关于轴的对称点在抛物线上，是否存在直线与椭圆交于，使得的中点落在直线上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出的方程，若不存在，说明理由.271.已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长等于1（1）求椭圆的方程；（2）直线交椭圆于A，B两点，且AB被直线平分.若的面积等于1（O是坐标原点），求l的方程；椭圆的左右焦点分别是，的重心分别是，当原点O落在以CD为直径的圆外部时，求面积的取值范围.28已知抛物线，两条直线，分别于抛物线交于，两点和，两点（1）若线段的中点为，求直线的斜率；（2）若直线，相互垂直且同时过点，求四边形面积的最小值29已知椭圆的一条弦的中点为（1）若直线的斜率为且不过坐标原点，求直线的斜率；（2）若直线过椭圆的右焦点，且不与轴垂直，斜率不为零，试问在轴上是否存在一点，使，且以为直径的圆恰好经过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由30已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：（）直线的斜率与的斜率的乘积为定值.（）若过点，延长线段与交于点，当四边形为平行四边形时，则直线的斜率.
