1、专题18 立体几何空间距离与截面100题任务一:空间中的距离问题1-60题一、单选题1九章算术商功：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥在阳马中，侧棱底面，且，则点到平面的距离为（ ）ABCD2已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）ABCD3在中，若平面，则点到的距离是（ ）AB5CD4在四面体中，PA，PB，PC两两垂直，设，则点P到平面ABC的距离为（ ）ABCD5已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为（ ）AB1C3D26已知棱
2、长为2的正方体，E，F分别为和的中点，则点B到EF的距离为（ ）ABCD7若平面的一个法向量为，点，到平面的距离为（ ）A1B2C3D48已知，则点A到直线的距离为（ ）ABCD9如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（）ABCD10如图所示的三棱锥，平面，若，当取最大值时，点到平面的距离为（ ）ABCD511已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，下列说法中正确的是（）AED1与B1C所成的角大于60B点E到平面ABC1D1的距离为1C三棱锥EABC1的外接球的表面积为D直线CE与平面
3、ADB1所成的角为12如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为棱上的点，且，现有下列结论：当时，平面；存在，使得平面；当时，点C到平面的距离为；对任意，直线与都是异面直线其中所有正确结论的编号为（ ）ABCD13重心是几何体的一个重要性质，我国的国宝级文物东汉铜奔马（又名：马踏飞燕）就是巧妙利用了重心位于支点正上方这一性质而闻名于世.已知正三棱锥的重心是其每个顶点与其所对的面的三角形重心连线的交点.若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则其重心G到底面的距离为（ ）ABCD14三棱锥中，底面ABC，D为AB的中点，则点D到面的距离等于（ ）ABCD15在棱长为的正方体中，分别是，的中点，则点到
4、平面的距离为（ ）ABCD16已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，则点B到平面GEF的距离为（ ）ABCD17如图，在长方体中，是的中点，求到面的距离为（ ）ABCD18如图，在长方体中，E，F分别是平面与平面的对角线交点，则点E到直线AF距离为（ ）ABCD19已知平面，垂足为点，且与相交于点，射线在内，且，则点到直线的距离是（ ）ABCD20定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ）ABCD21如图，在正方体中，、分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（
5、）A点、到平面的距离相等B与为异面直线CD平面截该正方体的截面为正六边形22正方体的棱长为2，G为的中点，则直线BD与平面的距离为( )ABCD23如图，在棱长为1的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（ ）A等于B和EF的长度有关C等于D和点Q的位置有关24如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，其中正确的结论是（ ）A直线MN与AC所成的角为45B直线AM与BN是平行直线C二面角的平面角的正切值为D点C与平面MAB的距离为25在三棱锥中，点是的中点，底面，则点到平面的距离为（ ）ABCD26如图，已知在长方体
6、中，点在棱上，且，在侧面内作边长为2的正方形是侧面内一动点，且点到平面的距离等于线段的长，则当点在侧面上运动时，的最小值是（ ）A12B24C48D6427如图所示，ABCDEFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（ ）ABCD28若正四棱柱的底边长为2，E是的中点，则到平面EAC的距离为（ ）ABCD29已知正方体的棱长为，点为线段上一点，则点到平面的距离为（ ）ABC3D430已知ABC在平面内，不重合的两点P，Q在平面同侧，在点M从P运动到Q的过程中，记四面体M-ABC的体积为V，点A到平面MBC的距离为d，则可能的情况是（ ）AV保持不变，d先
7、变大后变小BV保持不变，d先变小后变大CV先变大后变小，d不断变大DV先变小后变大，d不断变小二、多选题31已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，M为AC的中点，且，则（ ）A平面ACDB平面ABCCO到AC的距离为D二面角的正切值为32如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，底面，则（ ）A平面B直线与底面所成的角为C平面与平面夹角的余弦值为D点C到平面的距离为33如图，在正方体中，点O在线段AC上移动，点M为棱的中点，则下列结论中正确的有（ ）A平面B的大小可以为90C异面直线与的距离为定值D存在实数，使得成立34在直三棱柱中，D是AC的中点，下列判断正确的是（
8、 ）A平面B面面C直线到平面的距离是D点到直线的距离是35关于棱长为的正方体，下列结论正确的是（ ）AB点到平面的距离为C异面直线与所成的角是D二面角的余弦值为36如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，则下列说法正确的是（ ）A坐标是B平面的法向量C平面D点到平面的距离为37正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则（ ）A直线与直线垂直B直线与平面平行C平面截正方体所得的截面面积为D点C到平面的距离为38如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD为矩形，且，点Q是PD的中点，则下列结论描述正确的是（ ）A平面PADBB，Q两点间的距离等于CD
9、C与平面AQC所成的角为60D三棱锥的体积为1239如图，在菱形ABCD中，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（ ）A当，时，点D到直线PQ的距离为B线段PQ的最小值为C平面平面BCDD当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为40已知四面体的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）A异面直线与所成角为B点A到平面的距离为CD四面体的外接球体积为第II卷（非选择题）三、填空题41已知正方体的棱长为1，异面直线与的距离为_.42已知直线过点，点，则点到直线的距离是_43如图，正三角形ABC的边长为2，P是三角
10、形ABC所在平面外一点，平面ABC，且，则P到BC的距离为_.44平面的法向量是，点在平面内，则点到平面的距离为_45在直三棱柱中，则点C到平面的距离为_.46如图，已知，D是中点，则点B到平面的距离是_.47在正方体中，则异面直线AB和的距离为_.48如图所示，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，若点在线段上运动，记，则当_时，点到直线的距离有最小值.49如图，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，点到平面的距离为_50已知正方体的棱长为，点为中点，点在四边形内（包括边界），点到平面的距离等于它到点的距离，直线平面，则的最小值为_.四、解答题51如图，已知三棱柱，平面
11、平面，是边长为2的等边三角形.（1）求二面角的大小的正切值；（2）求直线到平面的距离.52如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.53在长方体中，是面对角线上一点，且.（1）求证：；（2）设异面直线与所成角的大小为，求的值.（3）求点到平面的距离.54如图，在三棱锥中，、分别是线段、的中点，.（1）证明：平面平面；（2）若，求点B到平面MNC的距离.55如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，为的中点，点为的中点.（1）求证：直线平面；（2）求直线到平面的距离.56如图，四边形是边长为3的正方形，平面，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求点到平面的
12、距离.57如图所示的四棱锥中，平面，底面为直角梯形，点为的中点.（1）求证：平面；（2）若四棱锥的体积为2，求点到平面的距离.58如图所示，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直且，且（1）求和面所成的角的正弦；（2）求点C到直线的距离；（3）线段上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线垂直，若存在，求与的比值：若不存在，说明理由59如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，.点E，F分别在棱PA，PB，且.（1）求证：；（2）若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为.（i）求点P与到平面CEF的距离；（ii）试确定点E的位置.60如图，已知在四棱锥中，平面，点在棱
13、上，且，底面为直角梯形，分别是，的中点（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离任务二:几何体截面问题1-40题一、单选题1已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，有下列结论：若为棱中点，则异面直线与所成角的正切值为；若在线段上运动，则的最小值为；若在以为直径的球面上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为；若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为.其中正确结论的个数为（ ）ABCD2已知正方体，平面和线段，分别交于点E，F，G，H，则截面EFGH的形状不可能是（ ）A梯形B正方形C长方形D菱形3如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过APQ的平
14、面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）A当时，为四边形B当时，为等腰梯形C当时，为六边形D当时，的面积为4如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ）A三角形B平面四边形C平面五边形D平面六边形5如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（ ）AAB中点BBC中点CCD中点DBB1中点6正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（ ）A5BCD7正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（）A
15、2+2BCD8在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（ ）A等腰梯形B非矩形的平行四边形C正五边形D正六边形9如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，的平面截该正方体所得的截面记为当时，为四边形；当时，与的交点满足；当时，为六边形；当时，的面积为则下列选项正确的是（ ）ABCD10如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（ ） 当时，S为四边形；当时，S为等腰梯形；当时，S与的交点满足；当时，S为六边形；A1B2C3
16、D411正方体的棱长为，、，分别为，的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）直线与平面平行；平面截正方体所得的截面面积为；直线与直线所成的角的余弦值为；点与点到平面的距离相等.ABCD12如图，正方体中，点，分别是，的中点，过点，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ）ABCD13如图，在正方体中，点P为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（ ）AB三棱锥的体积为定值C过，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形DDP与平面所成角的正弦值最大为14正方体的棱长为4，用经过，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）ABCD15如图，为正方体，
17、任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（ ）A为定值，不为定值B不为定值，为定值C与均为定值D与均不为定值16如图，在正方体中，AB=2，E为棱BC的中点，F为棱上的一动点，过点A，E，F作该正方体的截面，则该截面不可能是（ ） A平行四边形B等腰梯形C五边形D六边形17如图，在棱长为2的正方休中，分别为，的中点，过，三点的平而截正方休所得的截面面积为（ ）A4BCD18正方体的棱长为，分别为的中点.则下列说法错误的是（ ）A直线A1G与平面AEF平行B直线DD1与直线AF垂直C异面直线A1G与EF所成角的余弦值为D平面AEF截正方体所
18、得的截面面积为19如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，令过点且平行于平面的平面被正方体的截面图形为，若在内随机选择一点，则点在正方体内切球内的概率为（ ）ABCD20已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：若点在线段上运动，则始终有；若是棱中点，则直线与是相交直线；若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；为中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为;以上命题为真命题的个数为（ ）A2B3C4D5二、多选题21已知正方体的棱长为，下列结论正确的有（ ）A异面直线与所成角的大小为B若是直线上的动点，则平面C与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是D若此正方体的每条棱所在直线与平面所成
19、的角都相等，则截正方体所得截面面积的最大值是22如图，棱长为1的正方体中为线段上的动点（不含端点）则下列结论正确的是（ ）A直线与所成的角可能是B平面平面C三棱雉的体积为定值D平面截正方体所得的截面可能是直角三角形23如图，在正方体中，点E，F分别为，BC的中点，设过点E，F，的平面为，则下列说法正确的是（ ）A为等边三角形；B平面交正方体的截面为五边形；C在正方体中，存在棱与平面平行；D在正方体中，不存在棱与平面垂直；24（多选）已知正方体，若平面，则关于平面截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A截面形状可能为正三角形B截面形状可能为正方形C截面形状可能为正六边形D截面形状可能为五边形25
20、如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱，上的动点（点不与点，重合），若，则下列说法正确的是A存在点，使得点到平面的距离为 B用过，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C平面D用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为26如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）A直线与是平行直线B直线与所成的角为60C直线与平面所成的角为45D平面截正方体所得的截面面积为27如图，在正方体中，点P为线段上的动点（点P与，不重合），则下列说法正确的是（ ）AB三棱锥的体积为定值C过P，C，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形DDP与平面所成角
21、的正弦值最大为28如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ）AB若为直线上的动点，则为定值C点A到平面的距离为D过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为29如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则以下说法正确的是（ ）A平面截正方体所得截面周长为B上存在点P，使得平面C三棱锥和体积相等D上存在点P，使得平面30如图，正方体的棱长为，分别为，的中点，则（ ）A直线与直线垂直B直线与平面平行C平面截正方体所得的截面面积为D点到平面的距离为第II卷（非选择题）三、填空题31已知正四棱柱中，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为_.3
22、2正三棱锥中，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为_.33已知在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为_34正方体的棱长为1，分别为的中点，下列四个选项直线与直线垂直 直线与平面平行 平面截正方体所得的截面面积为 点和点到平面的距离相等;其中正确的是_35如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点A，的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_ （写出所有正确命题的编号）当时，S为四边形；当时，S为等腰梯形；当时，S与的交点满足；当时
23、，S为六边形四、解答题36如图，在正方体中，分别为和的中点.（1）画出由A，E，F确定的平面截正方体所得的截面，（保留作图痕迹，使用铅笔作图）；（2）求异面直线和所成角的大小.37已知正三棱柱的所有棱长都是1（1）画经过ABC三点的截面（2）过棱BC作和底面成二面角的截面，求此截面面积.38如图，在正方体中，是的中点，分别是，的中点求证：（1）直线平面；（2）平面平面；（3）若正方体棱长为1，过，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积39（1）如图，棱长为2的正方体中，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：_；（2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为_40如图，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、的平面截该正方体所得的截面记为.（1）若，请在图中作出截面（保留尺规作图痕迹）；（2）若（如图），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
