1、导数与函数的单调性专项练一、单选题 1函数（）的单调递增区间是（）ABCD和2函数的单调递增区间（）ABCD3下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）ABCD4函数，则（）A为偶函数，且在上单调递增B为偶函数，且在上单调递减C为奇函数，且在上单调递增D为奇函数，且在上单调递减5函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（）ABCD6设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（）ABCD7若函数在上单调递增，则实数a的取值范围()ABCD8已知函数，不等式的解集为（）ABCD9已知关于x的方程有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）ABCD10已知函数，若有解，则实数的
2、取值范围为（）ABCD11已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是()ABCD12若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（）ABCD13对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD14已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD15若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）ABCD二、填空题 16若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是_17函数f(x)lnxax(a0)的单调递增区间为_.18若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是_.19若函数在内单调递增，则实数的取值范围是_.20设函数f（x）=ex+aex（a为常数）若f（x）为奇函数，则a
3、=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_三、解答题 21已知函数，若，求的单调区间.22已知函数，(1)当时，求的单调区间；(2)若在定义域内单调递增，求的取值范围23已知函数(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明；24已知函数，其中，(1)讨论的单调性；(2)当时，是的零点，过点作曲线的切线，试证明直线也是曲线的切线25已知函数，（且）.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.26已知函数(1)当时，讨论的单调区间；(2)当时，若有两个零点，且，求证：.1B【详解】（），令，解得，故在上单调递增，故选：B2C【详解】
4、解：因为函数，所以，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故选：C.3A【详解】对于A，函数的定义域是R，且，是R上的增函数，满足题意；对于B，函数是R上的减函数，不满足题意；对于C，函数的定义域是，不满足题意；对于D，函数在定义域R上不是单调函数，不满足题意故选：A4A【详解】函数定义域为R，且，所以为偶函数，故排除选项C，D；又当时，则在上单调递增，故选项A正确，选项B错误，故选：A5A【详解】由题意，函数，可得，若时，当时，可得，在上单调递减，此时函数在没有最小值，不符合题意；当时，令，即，即与的交点，画出函数与的图象，如图所示，结合图象，可得存在，使得，当时，单调递减；当时，单调递增，此
5、时函数在上有最小值，符合题意，综上可得，实数a的取值范围是.故选：A.6A【详解】解：因为对任意，恒成立，所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以，又，表示点与点的连线的斜率，由图可知即，故选：A7A【详解】由题可知，恒成立，故，即故选：A8B【详解】解：因为，所以，所以在上单调递减，则等价于，解得，即原不等式的解集为.故选：B.9C【详解】解：令，因为函数在上递增，所以函数在上递增，又，所以存在，使得，所以在上函数有唯一的零点，即方程有唯一的解，又因为关于x的方程有三个不同的实数根，所以当时，原方程要有两个不同的实数根，当时，由得，则，则与
6、的图像有两个交点，设，当时，当时，所以函数在上递减，在上递增，所以，当时，当时，结合图像可知，则故选：C10D【详解】解：因为的定义域为R，所以函数为奇函数，因为，所以函数在R上单调递增.因为有解，即有解，所以有解，由函数在R上单调递增，可得有解.解法一：令，则.当时，函数在R上单调递增，符合题意；当时，不符合题意；当时，令，得；当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，因此，解得.综上，实数的取值范围为.解法二:若，则有解. 令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，故，即.若，则有解，易知恒小于零，所以，即.若，则，不符合题意.综上，实数的取值范围为.解法三：若，如图，在同一平面直角坐标
7、系内作出与的图象，当直线与函数的图象相切时，设切点为，则切线方程为，再结合切线过原点得，故，由有解，得函数的部分图象在直线的下方，所以，数形结合可知.若，易知函数的图象必有一部分在直线的下方，符合题意.若，由函数的单调性可知，不符合题意.综上，实数的取值范围为. 故选：D11A【详解】由题意知方程有两个不同的实数根，令，作出的图象如图所示，数形结合可知直线与函数的图象在上有两个不同的交点当直线与函数的图象相切时，设切点为，则，则，当时，则，由可得，得，故选：A12B【详解】函数在区间 内有意义， 则，设则 ，( 1 ) 当 时， 是增函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使 在区间内内单调递增
8、， 则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立； 因为时，所以与矛盾，此时不成立. ( 2 ) 当时，是减函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递减，则需使 对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，所以，又，所以.综上，的取值范围是故选：B13C【详解】，即，令，由题意得在上单调递减，故，即在上恒成立，则，故选：C14A【详解】解：由已知可得即为，设，则，当时，显然，当时，在上也成立，所以时，在上单调递减，恒成立；当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，于是，存在，使得，不满足，舍去此情况，综上所述，.故选：A.15A【详解】， 若时，当时，；当时，；则在上单调递减；在上单调递
9、增.所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极大值，满足条件.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极小值，不满足条件.当时，在上恒成立，即在上单调递增.此时无极值.综上所述：满足条件故选：A16【详解】，由于函数有三个单调区间，所以有两个不相等的实数根，所以.故答案为：17【详解】由题意，知f(x)的定义域为(0，)，由f(x)a0(a0)，得0x，f(x)的单调递增区间为.故答案为：.18【详解】函数，所以在区间上有极值点等价于在有零点，所以，得，时先减后增
10、，所以，当时，函数的导函数等于0时值只有1，两边的单调性相同，所以，故答案为：19【详解】因函数在内单调递增，则，即，整理得，当时，则成立，当时，而，当且仅当，即时取“=”，则有，当时，而，当且仅当，即时取“=”，则有，综上得，所以实数的取值范围是.故答案为：20 -1; .【详解】若函数为奇函数,则，对任意的恒成立.若函数是上的增函数,则恒成立,.即实数的取值范围是21f(x)的单调递增区间为（,），（，+）；单调递减区间为（，）.【详解】由，令，得，当时，当时，所以单调递增区间为；单调递减区间为.22(1) 时，函数 的单调增区间是 ，递减区间为 ;(2)的取值范围为 【解析】（1）将代入
11、，对求导，根据导数正负，确定函数增减即可；（2），根据题意函数单调增，所以需要在上恒成立，利用参变分离即可求解.（1）当 时， .令 ，即 ，解得 : ；令 ，即 ，解得 :； 在时取得极小值，亦为最小值，即 . 当 时，函数的单调增区间是，递减区间为.（2）在R上单调递增， 恒成立，即在恒成立，R时,，. 即 的取值范围为.23(1)的单增区间为；单减区间为，(2)证明见解析【解析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；（2）若选，不等式转化为证明，变形为证明，通过构造函数，即可证明；若选，首先根据函数有两个极值点，证得，再变换为，通过构造函数，利用导数，即可证明.（
12、1），当时，令，解得；令，解得或，所以的单增区间为；单减区间为，（2）证明：由题意知，是的两根，则，将代入得，要证明，只需证明，即，因为，所以，只需证明，令，则，只需证明，即，令，所以在上单调递减，可得，所以，综上可知，证明：设，因为有两个极值点，所以，解得，因为，所以，由题意可知，可得代入得，令，当，所以在上单调递减，当，所以在上单调速增，因为，所以，由，可得，所以，所以，所以，即24(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析【解析】（1）求出函数的导函数，对分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）依题意可得，求出函数的导函数，即可得到切线的方程，假设曲线在点的切线与斜率相等，即可
13、得到、，代入切线的方程中，计算可得；（1）解：因为定义域为，所以，当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有减区间；当时，令时，且，令得，所以的增区间为令得，所以的减区间为（2）解：当时，是的零点，所以即由得，由得所以过点作曲线的切线的方程为（*）假设曲线在点的切线与斜率相等，所以，所以，即把代入（*）式得所以点在切线上所以直线也是曲线的切线25(1)增区间为，减区间为(2)【解析】（1）直接对函数进行求导，根据导数与0的关系即可得结果；（2）将已知转化为在有两个不等实根，变形可得，令，利用的单调性及其图象即可得结果.（1）当时，当时，当时；故的单调递增区间为，递减区间为.（2）由题意知在有
14、两个不等实根，令，所以在上单调递增，在上单调递减；又，作出的图象如图所示：由图可知，解得且，即a的取值范围为.26(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1）代入，求导，取或进行讨论即可.（2）利用参变分离，得到有两个不同的零点，进而设，讨论，利用导数讨论的单调性，进而得到的范围，得到，同理，通过参变分离，利用，即可证明，最后结论得证.（本题也可以利用部分参数分离进行证明，详见方法二）（1）当时，所以，当时，在上增，在上减；当时，在上减，在上增.（2）方法一：参数分离有两个不同的零点令，则令得当时，所以：在递增；当时，所以：在递减.显然时，.作出的图象如下：所以：，所以：，所以，；下面证明：.要证：，因为所以：由（1）得.所以，原不等式得证.综上所述：.方法二：部分参数分离零点.从而为的图像与交点的横坐标.对给定的a，令使得，即，得，存在且唯一，此时的图像与有唯一交点.又，由（1）得，当时，所以，（这里要说明）又因为成立.
