1、2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第四章 数列B卷 培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知等差数列且，则数列的前13项之和为（ ）A26B39C104D522已知数列满足，且.若，则正整数（ ）A24B23C22D213“十二平均律”是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的振动数之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍.设第8个音的频率为，则频率为的音是（ ）A第3个音B第4个音C第5个音D第6个
2、音4我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在律学新说中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍.已知#的频率为，的频率为，则（ ）ABCD5已知正项数列满足，是的前项和，且，则（ ）ABCD6已知是上的奇函数，则数列的一个通项公式为（ ）ABCD7已知数列满足，则（ ）ABC35D8已知正项数列满足，则（ ）A对任意的，都有B对任意的，都有C存在，使得D对任意的，都有二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分
3、，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列说法正确的是（ ）A若为等差数列，为其前项和，则，仍为等差数列B若为等比数列，为其前项和，则，仍为等比数列C若为等差数列，则前项和有最大值D若数列满足，则10已知数列的前项和为，且，（，为常数），则下列结论正确的有（ ）A一定是等比数列B当时，C当时，D11已知正项数列的前项和为，若对于任意的，都有，则下列结论正确的是（ ）ABC若该数列的前三项依次为，则D数列为递减的等差数列12已知数列：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设
4、数列的前项和为，.若，则_.14在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充如数列，扩充一次后得到，扩充两次后得到，以此类推设数列，（为常数），扩充次后所得所有项的和记为，则_15在数列中，则数列的前20项之和为_16已知正项数列中，数列的前n项和为，则的值是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18已知数列的前项和为，点在直线上，数列满足：且，前11项和为154（1）求数列，的通项公式（2）令，数列前项和为，求使不等式对一
5、切都成立的最大正整数的值19已知数列各项都是正数，对任意都有数列满足，（1）求证：是等比数列，是等差数列；（2）设，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围20在数列中，已知，（1）证明：数列为等比数列；（2）是否存在正整数m、n、k，且，使得、成等差数列？若存在，求出m、n、k的值；若不存在，请说明理由21已知数列的前项和为，公比为2的等比数列的前项和为，并且满足（）求数列，的通项公式；（）已知，规定，若存在使不等式成立，求实数的取值范围22已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已
6、知等差数列且，则数列的前13项之和为（ ）A26B39C104D52【答案】A【解析】由等差数列的性质可得：，所以由可得：，解得：，所以数列的前13项之和为，故选：A2已知数列满足，且.若，则正整数（ ）A24B23C22D21【答案】B【解析】解：由，得，所以数列为首项，公差的等差数列，所以.由，得，.令得，所以，所以，故选：B.3“十二平均律”是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的振动数之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍.设第8个音的频率为，则频率为的音是（ ）A第3
7、个音B第4个音C第5个音D第6个音【答案】C【解析】由题意知，这13个音的频率构成等比数列，设这13个音的频率分别是，公比为，则，得，所以，令，解得.故选:C.4我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在律学新说中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍.已知#的频率为，的频率为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意知从左到右的音频恰成一个公比为的等比数列，由等比数列性质知，所以，故选：D.5已知正项数列满足，是的前项和，且，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由题得
8、，两式相减得，所以，所以，所以，因为数列是正项数列，所以，所以，所以，所以数列是一个以为首项，以为公差的等差数列.令得，解之得，所以.故选：A6已知是上的奇函数，则数列的一个通项公式为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题已知是上的奇函数，故，代入得：， 函数关于点对称，令，则，得到，倒序相加可得，即，故选：A7已知数列满足，则（ ）ABC35D【答案】A【解析】因为，所以， 因此，同理，则，因此，其中，则，则故选：A8已知正项数列满足，则（ ）A对任意的，都有B对任意的，都有C存在，使得D对任意的，都有【答案】D【解析】解：，可取，则由得，故选项A，B错误；令，则，故在上单调递增，在上单调递减
9、，即，当且仅当时等号成立，即，累乘可得，故选项C错误，选项D正确故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列说法正确的是（ ）A若为等差数列，为其前项和，则，仍为等差数列B若为等比数列，为其前项和，则，仍为等比数列C若为等差数列，则前项和有最大值D若数列满足，则【答案】ACD【解析】对于A中，设数列的公差为，因为，可得，所以，构成等差数列，故A正确；对于B中，设数列的公比为，当时，取，此时，此时不成等比数列，故B错误；对于C中，当，时，等差数列为递减数列，此时所有正数项的和为的最大值，故C
10、正确；对于D中，由，可得，所以或，则，所以，所以.因为，所以，可得，所以，故D正确.故选：ACD10已知数列的前项和为，且，（，为常数），则下列结论正确的有（ ）A一定是等比数列B当时，C当时，D【答案】BC【解析】由，得，故，则，当时，有，则，即，故当时，数列为首项为，公比为的等比数列；当时不是等比数列，故A错误；当时，故B正确；当时，则，故C正确；当时，而，故，则D错误；故选：BC.11已知正项数列的前项和为，若对于任意的，都有，则下列结论正确的是（ ）ABC若该数列的前三项依次为，则D数列为递减的等差数列【答案】AC【解析】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；由，所以，故B错误
11、；根据等差数列的性质，可得，所以，故，故C正确；由，因为，所以是递增的等差数列，故D错误.故选：AC.12已知数列：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】BCD【解析】对A，故A不正确；对B，故B正确；对C，由，可得，故C正确；对D，该数列总有，则，故，故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设数列的前项和为，.若，则_.【答案】【解析】当时，解得：；当时，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，；经检验：时，满足；综上所述：，解得：.故答案为：.14在一个有限数列的每相邻两项之间插
12、入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充如数列，扩充一次后得到，扩充两次后得到，以此类推设数列，（为常数），扩充次后所得所有项的和记为，则_【答案】【解析】扩充次后所得数列为，因此从到是等差数列，项数为，且中间项为；从到也是等差数列，项数为，且中间项为；根据等差数列的性质可得.故答案为：15在数列中，则数列的前20项之和为_【答案】210【解析】因为，所以有：由此可得出：，所以从第一项起，依次相邻两奇数项的和为2，从第二项起，依次相邻两偶数项的和组成以8为首项，16为公差的等差数列，所以数列的前20项之和为：，故答案为：21016已知正项数列中，数列的前n
13、项和为，则的值是_【答案】3【解析】解：因为，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，所以，所以，所以数列的前n项和，则故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，当时，可得，两式相减求得，又由时，符合上式，即可求解；（2）由，得到，结合裂项法求和，即可求解.（1）解：由题意，数列满足，当时，可得，两式相减，可得，所以，又由当时，符合上式，所以数列的通项公式为.（2）解：由，则，所以，所以.18已知数列的前项和为，点在直线上，数列满足：且，
14、前11项和为154（1）求数列，的通项公式（2）令，数列前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值【答案】（1），；（2）12【解析】解：（1）由题意，得，即，故当时，时，当时，又，为等差数列，即，（2），单调递增，故，令，得，使不等式对一切都成立的最大正整数的值为1219已知数列各项都是正数，对任意都有数列满足，（1）求证：是等比数列，是等差数列；（2）设，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为，所以时，两式相减得：，即，又（），所以，又，（因为），所以，即，所以是等比数列，设，则由得，所以，又，所以，所以，为等差数列（2）由（1）
15、，对任意，都有恒成立，则恒成立，是递增数列，为奇数时，为偶数时，综上20在数列中，已知，（1）证明：数列为等比数列；（2）是否存在正整数m、n、k，且，使得、成等差数列？若存在，求出m、n、k的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）证明：由，得，从而，又，故数列为等比数列；（2）由（1）可得，则，假设存在正整数m、n、满足题意，则，即，则两边同除以得，（*）由得，；所以为奇数，而与均为偶数，故（*）式不能成立；即不存在正整数m、n、k，且，使得、成等差数列21已知数列的前项和为，公比为2的等比数列的前项和为，并且满足（）求数列，的通项公式；（）已知，规定，若存在使不等式成立，求实数的取值范围【答案】（），；（）.【解析】（）由题设，即，可得，又等比数列的公比为2，故，即，当时，即，当时，上有，即，而，是常数列且，即；（）由题意，对有解，则，令，故，当时，；当时，知：为的最小项，22已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由题意：，当时，得，即，当时，满足上式，所以（2）因为，所以，所以
