1、8.2空间点、线、面的位置关系基础篇【基础集训】考点空间点、线、面的位置关系1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A.4B.5C.6D.7答案C2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案B3.(多选题)已知m、n为两条不重合的直线,、为两个不重合的平面,则下列说法正确的是()A.若m,n且,则mnB.若mn,m,n,则C.若mn,n,m,则mD.若mn,n,则m答案BC4.(多选题)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1,E,F
2、分别为AB,BC的中点,异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m,则()A.m=B.直线A1E与直线C1F共面C.m=D.直线A1E与直线C1F异面答案BC5.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是.(填序号)答案6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.教师专用题组【基础集训】考点空间点、线、面的位置关系1.(2018江西期中,4)如图,=l,A,B,C
3、,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案DA,B,MAB,M,又=l,Ml,M,根据公理3可知,M在与的交线上,同理可知,点C也在与的交线上.2.(2019云南腾冲质检三,5)下列说法正确的是()A.若直线l平行于平面内的无数条直线,则lB.若直线a在平面外,则aC.若直线ab,b平面,则aD.若直线ab,b平面,那么直线a就平行于平面内的无数条直线答案D对于选项A,直线l有可能在平面内,A错;对于选项B,直线a在平面外包括两种情形,即a或a与相交,B错;对于选项C,直线a有可能在平面内,C错.故选D.3.(
4、2018湖南衡阳模拟,6)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是()A.直线CC1B.直线C1D1C.直线HC1D.直线GH答案C连接EH,HC1,则EHA1D1.又A1D1FC1,FC1=B1C1=A1D1,FC1EH,且FC1=EH,四边形FC1HE是梯形,EF与HC1相交.故选C.4.(2017河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是SAB和SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能答案B连接SG1并延长交AB于M,连接
5、SG2并延长交AC于N,连接MN.由题意知SM为SAB的中线,且SG1=SM,SN为SAC的中线,且SG2=SN,在SMN中,=,G1G2MN,易知MN是ABC的中位线,MNBC,因此可得G1G2BC,即直线G1G2与BC的位置关系是平行.故选B.5.(2019北京清华大学中学生标准学术能力试卷文,10)已知正四面体ABCD,点E为棱AD的中点,O为BCD的中心,则异面直线EO与CD所成的角等于()A.30B.45C.60D.90答案C在BC上取点F,使CF=BC,在BD上取点G,使DG=BD,连接FG、AF、FE.易知CDFO,所以直线FO与EO所成的角等于异面直线EO与CD所成的角,设正四
6、面体ABCD的棱长为2a,所以EO=a,FO=a,FE=a,EFO中,cosEOF=-,因而EOF=120,所以异面直线EO与CD所成的角为60.6.(2019四川成都一诊,9)在各棱长均相等的四面体A-BCD中,已知M是棱AD的中点,则异面直线BM与AC所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C设四面体A-BCD的棱长为2,取CD的中点N,连接MN,BN,M是棱AD的中点,MNAC,BMN(或其补角)是异面直线BM与AC所成的角.BM=BN=,MN=AC=1,在BMN中,cosBMN=,异面直线BM与AC所成角的余弦值为.7.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且A
7、C=BC=2,ACB=90,F,G分别是线段AE,BC的中点,则异面直线AD与GF所成的角的余弦值为.答案解析取DE的中点H,连接HF,GH.由题意,知HF=AD且HFAD.GFH(或其补角)为异面直线AD与GF所成的角.在GHF中,可求得HF=,GF=GH=,cosHFG=.异面直线AD与GF所成的角的余弦值为.8.(2019河南安阳一模,16)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是底面ABCD的中心,过O点作一条直线l与A1D平行,设直线l与直线OC1的夹角为,则cos=.答案解析如图所示,设正方体的表面ABB1A1的中心为P,容易证明OPA1D,所以直线l即为直线OP,角即为POC
8、1(或其补角).设正方体的棱长为2,则OP=A1D=,OC1=,PC1=,则cosPOC1=.综合篇【综合集训】考法一平面的基本性质及其应用1.(2020广西桂林、崇左、贺州5月联考,9)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,有下列四个结论:AP与CM是异面直线;AP,CM,DD1相交于一点;MNBD1;MN平面BB1D1D.其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.答案B2.(2020河北正定中学第三次阶段质量检测,15)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AD中点,动点P在底面ABCD内(不包括边界),使四面体
9、A1BMP体积为,则C1P的最小值是.答案3.(2020广东六校联盟第三次联考,16)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于.答案考法二求异面直线所成的角4.(2019四川宜宾二诊,10)在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M是棱BB1的中点,N是棱AC的中点,则异面直线A1M与BN所成角的正切值为()A.B.1C.D.答案C5.(2020浙江台州期末,8)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱AA1底面ABC,且AA1=,则异面直线A1B,AC1所成的角的大小为()
10、A.B.C.D.答案D6.(2019江西八校联考,10)在四面体ABCD中,BDAD,CDAD,BDBC,BD=AD=1,BC=2,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案D7.(多选题)(2021届江苏金陵中学月考,11)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则下列四个命题正确的是()A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于B.点C到平面ABC1D1的距离为C.两条异面直线D1C和BC1所成的角为D.三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球半径为答案ABD教师专用题组【综合集训】考法一平面的基本性质及其应用1.(2018山西临汾模拟,5)如图,在三棱台ABC-A
11、1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面,设平面ABC=l,若lA1C1,则这3个点可以是()A.B,C,A1B.B1,C1,AC.A1,B1,CD.A1,B,C1答案D过点B作BDAC,则BDA1C1,连接A1B,C1D,CD,如图所示:则平面可以为平面A1BDC1,则平面ABC=BD=l,且lA1C1,所以这3个点可以是A1,C1,B.故选D.2.如图所示,O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心,M是对角线A1C和截面B1D1A的交点.求证:O1、M、A三点共线.证明连接AC.A1C1B1D1=O1,又B1D1平面B1D1A,A1C1平面AA1C1C,O1平面B
12、1D1A,O1平面AA1C1C.A1C平面B1D1A=M,A1C平面AA1C1C,M平面B1D1A,M平面AA1C1C.又A平面B1D1A,A平面AA1C1C,O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上,即O1、M、A三点共线.3.求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.解析已知:ABAC=A,ABBC=B,ACBC=C,且A,B,C不重合.求证:直线AB,BC,AC共面.证法一:ABAC=A,直线AB,AC可确定一个平面,BAB,CAC,B,C,故BC,因为直线AB,BC,AC都在平面内,直线AB,BC,AC共面.证法二:A不在直线BC上,点A和直线BC可确定一个平面
13、,BBC,B,又A,直线AB,同理可得直线AC,故直线AB,BC,AC共面.证法三:A,B,C三点不在同一条直线,A,B,C三点可以确定一个平面,A,B,直线AB,同理AC,BC,故直线AB,BC,AC共面.4.(2017四川成都联考,18)如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.证明证法一:A,C,E不共线,它们确定一个平面,又Al1,Cl1,l1,同理,l2,又Bl1,Dl2,B,D,l3,同理,l4,故l1,l2,l3,l4四条直线共面.证法二:点A,C,E不共线,它们确定一个平面,又A
14、l1,Cl1,l1,同理,l2,又F,D,E不共线,它们确定一个平面.又Dl3,Fl3,El4,Fl4,l3,l4.而不共线的三点B,C,D可确定一个平面,又B,C,D既在内又在内,故平面与平面重合.l1,l2,l3,l4四条直线共面.评析证法一与证法二是证明共面问题常用的方法,证法一是先确定一个平面,后证明其他的直线也在这个平面内,从而使问题得证;证法二是寻找了两个平面与使得四条直线在内或在内,然后再证明与重合,从而使问题得证.证明本题也可用反证法.5.(2018河南濮阳一高10月月考,18)如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AEEB=CFFB=21,
15、CGGD=31,过E,F,G的平面交AD于H,连接EH.(1)求AHHD;(2)求证:EH,FG,BD三线共点.解析(1)=2,EFAC,又EF平面ACD,AC平面ACD,EF平面ACD,又EF平面EFGH,平面EFGH平面ACD=GH,EFGH.而EFAC,ACGH,=3.AHHD=31.(2)证明:EFGH,且=,=,EFGH,四边形EFGH为梯形,直线EH,FG必相交.设EHFG=P,则PEH,而EH平面ABD,P平面ABD,同理,P平面BCD,而平面ABD平面BCD=BD,PBD.EH,FG,BD三线共点.考法二求异面直线所成的角1.(2019辽宁辽阳一模,7)如图,长方体ABCD-A
16、1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E,F,AB=6,AD=8,AA1=7,则异面直线EF与AA1所成角的正切值为()A.B.C.D.答案A取A1B1的中点G,连接EG,FG,易知EGFG,因为EGAA1,所以异面直线EF与AA1所成角为FEG或其补角,在EFG中,FG=5,EG=7,所以tanFEG=,故选A.2.(2018广东珠海模拟,8)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将DAP绕直线DP翻转至DAP处,若M为线段AC的中点,则异面直线BM与PA所成角的正切值为()A.B.2C.D.4答案A如图,取AD的中点N,连接PN,MN,M是AC的中点,MNC
17、D,且MN=CD,四边形ABCD是矩形,P是AB的中点,PBCD,且PB=CD,MNPB,且MN=PB,四边形PBMN为平行四边形,MBPN,APN(或其补角)是异面直线BM与PA所成的角.在RtAPN中,tanAPN=,异面直线BM与PA所成角的正切值为.故选A.3.(2018湖南永州三模,7)三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC的中点,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案D如图,连接DN,取DN的中点O,连接MO,BO,M是AD的中点,MOAN,BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角,设三棱锥A-BCD的所有棱长为2,则AN=BM=DN
18、=,则MO=AN=NO=DN,则BO=,在BMO中,由余弦定理得cosBMO=,异面直线BM与AN所成角的余弦值为.故选D.4.(2018河南百校联盟联考,11)如图所示,在四棱锥A-BCDE中,三角形ACD与三角形ADE均为正三角形,三角形ACE为直角三角形,四边形BCDE为平行四边形,M,N分别为AB,DE的中点,则异面直线CE与MN所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C取AE的中点P,AC的中点Q,连接DP,DQ,MQ,PQ,由三角形中位线的性质可得四边形DQMN是平行四边形,所以MNQD,又由三角形中位线的性质得PQCE,所以DQP或其补角就是异面直线CE与MN所成的角,设CD=2,则在DQP中,DP=DQ=,PQ=,所以cosDQP=.5.(2020湖北部分重点中学9月摸底考试,15)在正四面体ABCD中,M是棱BD的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值为.答案解析取AD的中点N,连接MN,CN,又因为M是BD的中点,所以MNAB,故CMN或其补角为异面直线AB与CM所成的角. 设AB=2,则MN=1,在BCD中,易求CM=,同理可求CN=,则在CMN中,cosCMN=.又异面直线所成角的取值范围为,所以异面直线AB与CM所成角的余弦值为.
