1、专题四 函数讲义5.2 二次函数与幂函数知识梳理.二次函数与幂函数1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减题型一. 二次函数考点1.二次函数根的分布、恒成立问题1
2、函数f（x）ax2+（a3）x+1在区间1，+）上是递减的，则实数a的取值范围是（）A3，0）B（，3C2，0D3，0【解答】解：函数f（x）ax2+（a3）x+1在区间1，+）上是递减的，当a0时，f（x）3x+1，30，f（x）在R上单调递减，符合题意；当a0时，函数f（x）ax2+（a3）x+1为二次函数，二次函数在对称轴右侧单调递增，不可能在区间1，+）上递减，故不符合题意；当a0时，函数f（x）ax2+（a3）x+1为二次函数，对称轴为x=a32a，二次函数在对称轴右侧单调递减，且f（x）ax2+（a3）x+1在区间1，+）上是递减的，a32a1，解得3a0，实数a的取值范围是3a0
3、综合，可得实数a的取值范围是3，0故选：D2设f（x）x22x+a若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（3，1【解答】解：f（x）的对称轴为x1函数f（x）在区间（1，3）内有零点，0f(1)0，即44a03+a0，解得3a1故答案为（3，13方程mx2（m1）x+10在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（）Am1Bm3+22Cm3+22或0m32D322m1【解答】解：构造函数f（x）mx2（m1）x+1，图象恒过点（0，1）方程mx2（m1）x+10在区间（0，1）内有两个不同的根，m00m12m1f(1)00m0m1(m1)24m0m3+22故选：B
4、4已知命题p：xR，x2+（a1）x+10若命题p是假命题，则实数a的取值范围为（）A1，3B1，3C（1，3）D0，2【解答】解：依题意x2+（a1）x+10对任意实数x都成立，所以（a1）240，解得1a3故选：B5已知函数f（x）ax22x+2，若对一切x12，2，f（x）0都成立，则实数a的取值范围为（）A4，+）B（4，+）C12，+）D（12，+）【解答】解：由题意得，对一切x12，2，f（x）0都成立，即a2x2x2=2x2x2=2（1x12）2+12，而2（1x12）2+1212，则实数a的取值范围为：（12，+）故选：D6已知不等式kx24kx30对任意k1，1时均成立，则x
5、的取值范围为(27，1)(3，2+7)【解答】解：令f（k）kx24kx3（x24x）k3，看作关于k的一次函数，不等式kx24kx30对任意k1，1时均成立，f(1)0f(1)0，即x2+4x30x24x30，解得27x1或3x2+7x的取值范围为(27，1)(3，2+7)故答案为：(27，1)(3，2+7)考点2.二次函数的值域与最值1函数yx22x+3在闭区间0，m上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（）A（，2B0，2C1，2D1，+）【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，当x1时，y最小，最小值是2，当x2时，y3，函数f（x）x22x+3在闭区间0，m上有最大值3，最小
6、值2，则实数m的取值范围是1，2故选：C2求函数yx（xa）在x1，1上的最大值【解答】解：函数y（xa2）2+a24图象开口向下，对称轴方程为x=a2，（1）当a21，即a2时，由图可知，当x1时，ymaxa1；（2）当1a21，即2a2时，由图可知，当x=a2时，ymax=a24；（3）当a21，即a2时，由图可知，当x1时，ymaxa1；故ymax=(a+1)，a2a24，2a2a1，a23已知函数f（x）=mx2(m2)x+m1的值域是0，+），则实数m的取值范围是0，233【解答】解：当m0时，（x）=mx2(m2)x+m1=2x1，值域是0，+），满足条件；当m0时，f（x）的值域
7、不会是0，+），不满足条件；当m0时，f（x）的被开方数是二次函数，0，即（m2）24m（m1）0，233m233，综上，0m233，实数m的取值范围是：0，233，故答案为：0，233，4已知函数f（x）（m2）x2+（m8）x（mR）是奇函数，若对于任意的xR，关于x的不等式f（x2+1）f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（，1）【解答】解：由奇函数的性质可得，f（x）f（x）恒成立，即（m2）x2（m8）x（m2）x2（m8）x，故m20即m2，此时f（x）6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）f（a）恒成立，可得x2+1a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+11，所以a1故答
8、案为：（，1）题型二. 幂函数考点1.幂函数的图像与性质1已知幂函数yx的图象过点(12，4)，则该函数的单调递减区间为（）A（，+）B（，0）C0，+）D（0，+）【解答】解：根据幂函数yx的图象过点(12，4)，得(12)=4，解得2，所以函数yx2，x0；所以函数y的单调递减区间为（0，+）故选：D2幂函数y（m2m5）xm24m+1的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为m3【解答】解：幂函数y（m2m5）xm24m+1的图象分布在第一、二象限，m2m51，且m24m+1为偶数，求得m3，故答案为：33幂函数f(x)=(a1)xm22m3（a，mN）为偶函数，且在（0，+）上是减函数，
9、则a+m3【解答】解：幂函数f(x)=(a1)xm22m3（a，mN），在（0，+）上是减函数，a11，且m22m30，a2，1m3，又mN，m0，1，2，又幂函数f（x）为偶函数，m1，a+m3，故答案为：34已知函数f（x）=xk2+k+2，且f（2）f（3），则实数k的取值范围是（，1）（2，+）【解答】解：因为f（x）=xk2+k+2，且f（2）f（3），所以其在（0，+）上是减函数，所以根据幂函数的性质，有k2+k+20，即k2k20，所以k1或k2故答案为（，1）（2，+）考点2.利用幂函数比较大小1已知a（53）13，b（23）34，c（53）14，则a，b，c的大小关系是（）A
10、bcaBabcCbacDcba【解答】解：对于y=log53x是增函数，故c（53）14a（53）13，而b（23）341=(53)0c（53）14，故bca，故选：A2设a=(34)12，b=(43)14，c=(23)34，则a，b，c的大小顺序是（）AcabBcbaCacbDbca【解答】解：a=(34)12=(916)141，b=(43)141，c=(23)34=(827)141；且08279161，函数y=x14在（0，+）上是单调增函数，所以(827)14(916)14，所以ca；综上知，cab故选：A3已知幂函数f（x）（m1）2xm24m+2（mR），在（0，+）上单调递增设alog54，blog153，c0.50.2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（）Af（b）f（a）f（c）Bf（c）f（b）f（a）Cf（c）f（a）f（b）Df（a）f（b）f（c）【解答】解：幂函数f（x）（m1）2xm24m+2（mR），在（0，+）上单调递增，(m1)2=1m24m+2=0，解得m0，f（x）x2，故选：A
