1、易错点22 数列求和方法一、单选题1. 数列an满足：a1=1，且对任意的nN*都有：an+1=an+n+1，则1a1+1a2+1a3+1a2016=A. 40302016B. 20151008C. 20162017D. 403220172. 已知Sn=12+1+13+2+12+3+1n+1+n，若Sm=9，则m=A. 11B. 99C. 120D. 1213. 13+13+6+13+6+9+13+6+9+30=A. 310B. 1033C. 35D. 20334. 已知数列an满足：an=1n(n+2)，则an的前10项和S10为A. 175264B. 1124C. 175132D. 111
2、25. 数列an的通项，其前n项和为Sn，则S30为A. 470B. 490C. 495D. 5106. 数列112，314，518，7116，(2n-1)+12n，的前n项和Sn的值等于A. n2+1-12nB. 2n2-n+1-12nC. n2+1-12n-1D. n2-n+1-12n7. 已知函数f(x)=lnexe-x，若fe2021+f2e2021+f2020e2021=1010(a+b)，则a2+b2的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知数列an满足，设数列bn满足：bn=2n+1anan+1，数列bn的前n项和为Tn，若恒成立，则实数的取值范围为A. 14,+B.
3、14,+C. 38,+D. 38,+二、填空题9. 已知数列1.11+2,11+2+311+2+3+n，则其前n项的和等于_10. 已知数列an满足an=1+2+3+nn，则数列1anan+1的前n项和为_11. 已知数列an与bn前n项和分别为Sn，Tn，且an0，2Sn=an2+an，nN*，bn=2n+1(2n+an)(2n+1+an+1)，对任意的nN*，kTn恒成立，则k的取值范围是_12. 已知函数f(x)=ax2-1的图象在点A(1,f(1)处的切线与直线x+8y=0垂直，若数列1f(n)的前n项和为Sn，则Sn=_三、解答题13. 已知an是各项均为正数的等比数列，且a1+a2
4、=6,a1a2=a3()求数列an的通项公式；()bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1，求数列bnan的前n项和Tn14. 在公差为d的等差数列an中，a12+a22=a1+a2(1)求d的取值范围；(2)已知d=-1，试问：是否存在等差数列bn，使得数列1an2+bn的前n项和为nn+1？若存在，求bn的通项公式；若不存在，请说明理由15. 已知正项等比数列an的前n项和为Sn，a1=2，2S2=a2+a3(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=2n-1an+2log2an，求数列bn的前n项和已知an是公差不为零的等差数列，满足a3=7，且a2、a4、
5、a9成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn=anan+1，求数列1bn的前n项和Sn一、单选题1数列an满足：a1=1，且对任意的nN*都有：an+1=an+n+1，则1a1+1a2+1a3+1a2016=A. 40302016B. 20151008C. 20162017D. 40322017【答案】D【解析】解：an+1=an+n+1，an+1-an=n+1，即a2-a1=2，a3-a2=3，an-an-1=n，等式两边同时相加得an-a1=2+3+4+n，即an=a1+2+3+4+n=1+2+3+4+n=n(n+1)2，则1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1)
6、，1a1+1a2+1a3+1a2016=2(1-12+12-13+12016-12017)=2(1-12017)=220162017=40322017，故选D2已知Sn=12+1+13+2+12+3+1n+1+n，若Sm=9，则m=A. 11B. 99C. 120D. 121【答案】B【解析】解：1n+1+n=n+1-n，Sn=12+1+13+2+12+3+1n+1+n=2-1+3-2+2-3+n+1-n=n+1-1，Sm=m+1-1=9，解得：m=99，故选B3、13+13+6+13+6+9+13+6+9+30=A. 310B. 1033C. 35D. 2033【答案】D【解析】解：13+1
7、3+6+13+6+9+13+6+9+30=13(1+11+2+11+2+3+11+2+3+10)=23(112+123+134+11011)=23(1-12+12-13+13-14+110-111)=23(1-111)=231011=2033，故选D4、已知数列an满足：an=1n(n+2)，则an的前10项和S10为A. 175264B. 1124C. 175132D. 1112【答案】A【解析】解：数列an满足：an=1n(n+2)，可得an=12(1n-1n+2)，即S10=12(1-13+12-14+19-111+110-112)=12(1+12-111-112)=175264故选：A
8、5、数列an的通项，其前n项和为Sn，则S30为A. 470B. 490C. 495D. 510【答案】A【解析】解：由，可得a1=-12,a2=-1222,a3=32,a4=-1242,，所以S30=-1212+22-232+(42+52-262)+282+292-2302当n=3k(k=1,2，3，10)时，n-22+n-12-2n2=5-6nn=3,6,9,30，即式方括号内的每一组项构成一个以-13为首项，以-18为公差的等差数列，共10项，S30=-12-1310+1092-18=470故选A6、数列112，314，518，7116，(2n-1)+12n，的前n项和Sn的值等于A.
9、n2+1-12nB. 2n2-n+1-12nC. n2+1-12n-1D. n2-n+1-12n【答案】A【解析】解：该数列的通项公式为an=2n-1+12n，Sn=1+3+5+2n-1+12+122+123+12n=n1+2n-12+121-12n1-12=n2+1-12n故选A7、已知函数f(x)=lnexe-x，若fe2021+f2e2021+f2020e2021=1010(a+b)，则a2+b2的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：f(x)=lnexe-x，则f(x)+f(e-x)=lnexe-x+lne(e-x)e-e-x=lne=2，设S=fe2021+f
10、2e2021+f2020e2021，则S=f2020e2021+f2019e2021+fe2021，故2S=22020，S=2020，1010(a+b)=2020，a+b=2a2+b2(a+b)22=2，当且仅当a=b=1时取等号故选B8、已知数列an满足，设数列bn满足：bn=2n+1anan+1，数列bn的前n项和为Tn，若恒成立，则实数的取值范围为A. 14,+B. 14,+C. 38,+D. 38,+【答案】D【解析】解：数列an满足a1+12a2+13a3+1nan=n2+n，n=1时，a1=2，当n2时，a1+12a2+13a3+1n-1an-1=(n-1)2+(n-1)，-得：1
11、nan=2n，即an=2n2，n2，a1=2也满足上式，故：an=2n2，数列bn满足：bn=2n+1anan+1=2n+14n2(n+1)2=141n2-1(n+1)2，则：Tn=141-(12)2+(12)2-(13)2+1n2-1(n+1)2，=14(1-1(n+1)2)，由于Tnnn+1(nN*)恒成立，故：14(1-1(n+1)2)n+24n+4(nN*)恒成立，因为y=n+24n+4=14(1+1n+1)在nN*上单调递减，当n=1时，(n+24n+4)max=38故38，故选：D二、填空题 9、已知数列1.11+2,11+2+311+2+3+n，则其前n项的和等于_【答案】2nn
12、+1【解析】解：由题意可得数列的通项an=11+2+3+n=2n(n+1)=2(1n-1n+1)Sn=1+11+2+11+2+n=2(1-12+12-13+1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+1故答案为2nn+1 10、已知数列an满足an=1+2+3+nn，则数列1anan+1的前n项和为_【答案】2nn+2【解析】解：an=1+2+3+nn=n+12，则1anan+1=4(n+1)(n+2)=41n+1-1n+2，所求数列的前n项和为412-13+13-14+1n+1-1n+2=412-1n+2=2nn+2故答案为2nn+2 11、已知数列an与bn前n项和分别为Sn，Tn，且a
13、n0，2Sn=an2+an，nN*，bn=2n+1(2n+an)(2n+1+an+1)，对任意的nN*，kTn恒成立，则k的取值范围是_【答案】13,+)【解析】解：依题意得当n=1时，2a1=a12+a1，由于an20，解得a1=1;当n2时，2Sn-1=an-12+an-1，因此有：2an=an2-an-12+an-an-1;整理得：an-an-1=1，所以数列an是以a1=1为首项，公差d=1的等差数列，因此an=n，则bn=2n+1(2n+an)(2n+1+an+1)=2n+12n+n2n+1+n+1=12n+n-12n+1+n+1所以Tn=13-17+17-112+.+12n+n-1
14、2n+1+n+1=13-12n+1+n+113故k13故答案为13,+) 12、已知函数f(x)=ax2-1的图象在点A(1,f(1)处的切线与直线x+8y=0垂直，若数列1f(n)的前n项和为Sn，则Sn=_【答案】n2n+1【解析】解：函数f(x)=ax2-1的导数为f(x)=2ax，可得f(x)在x=1处的切线斜率为2a，切线与直线x+8y=0垂直，可得2a=8，即a=4，则f(x)=4x2-1，1f(n)=14n2-1=12(12n-1-12n+1)，可得=12(1-12n+1)=n2n+1故答案为：n2n+1三、解答题13、已知an是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6,a1a2
15、=a3()求数列an的通项公式；()bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1，求数列bnan的前n项和Tn【答案】解：()记正项等比数列an的公比为q，因为a1+a2=6，a1a2=a3，所以(1+q)a1=6，qa12=q2a1，解得：a1=q=2，所以an=2n；()因为bn为各项非零的等差数列，所以S2n+1=(2n+1)bn+1，又因为S2n+1=bnbn+1，所以bn=2n+1，bnan=2n+12n，所以Tn=312+5122+(2n+1)12n，12Tn=3122+5123+(2n-1)12n+(2n+1)12n+1，两式相减得：12Tn=312+
16、2(122+123+12n)-(2n+1)12n+1，即12Tn=312+(12+122+123+12n-1)-(2n+1)12n+1，即Tn=3+1+12+122+123+12n-2-2n+112n=3+1-12n-11-12-2n+112n=5-2n+52n 14、在公差为d的等差数列an中，a12+a22=a1+a2(1)求d的取值范围；(2)已知d=-1，试问：是否存在等差数列bn，使得数列1an2+bn的前n项和为nn+1？若存在，求bn的通项公式；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)公差为d的等差数列an中，a12+a22=a1+a2，a12+(a1+d)2=2a1+d，2a12
17、+(2d-2)a1+d2-d=0，dR，=(2d-2)2-8(d2-d)0解得-1d1d的取值范围为-1,1(2)d=-1，2a12-4a1+2=0，即a1=1，则an=2-n假设存在等差数列bn，则1a12+b1=121a12+b1+1a22+b2=23，即11+b1=1212+1b2=23，解得b1=1b2=6，从而bn=5n-4，此时1an2+bn=1n2+n=1n-1n+1，1a12+b1+1a22+b2+1an2+bn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1，故存在等差数列bn，且bn=5n-4，使得数列1an2+bn的前n项和为nn+1 15、已知正项等比数列
18、an的前n项和为Sn，a1=2，2S2=a2+a3(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=2n-1an+2log2an，求数列bn的前n项和【答案】解：(1)因为2S2=a2+a3，所以2a1+a2=a3，所以q2-q-2=0，解得q=2所以an=2n(2)由题意得bn=(2n-1)(12)n+2n令cn=(2n-1)(12)n，其前n项为Pn，则Pn=1(12)+3(12)2+(2n-1)(12)n12Pn=1(12)2+3(12)3+(2n-3)(12)n+(2n-1)(12)n+1两式相减得：12Pn=12+(12)2+(12)3+(12)n-(2n-1)(12)n+1=12+2141
19、-(12)n-11-12-(2n-1)(12)n+1=32-(12)n-1-(2n-1)(12)n+1所以Pn=3-(2n+3)(12)n，而2(1+2+n)=2n(n+1)2=n(n+1)，所以数列bn的前n项和Tn=3-(2n+3)(12)n+n(n+1) 16、已知an是公差不为零的等差数列，满足a3=7，且a2、a4、a9成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn=anan+1，求数列1bn的前n项和Sn【答案】解：(1)设数列an的公差为d，且d0，由题意得a42=a2a9a3=7，即(7+d)2=(7-d)(7+6d)a1+2d=7,解得d=3，a1=1，所以数列an的通项公式an=3n-2；(2)由(1)得bn=anan+1=(3n-2)(3n+1)，1bn=13(13n-2-13n+1)，则Sn=1b1+1b2+1bn=13(1-14+14-17+13n-2-13n+1)=13(1-13n+1)=n3n+1
