1、第3课时等差数列的前n项和课后强化作业一、选择题1.已知等差数列an满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项和S10=（）A.138B.135C.95D.23答案C解析设等差数列an的首项为a1,公差为d. a2+a4=4则a3+a5=10 -得2d=6,d=3.a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d=2a1+43=4,a1=-4,S10=10(-4)+ 3=-40+135=95.故选C.2.在等差数列an中，a2+4a7+a12=100,则2a3+a15等于（）A.20B.100C.25D.50答案D解析a2+a12=2a7,6a7=100,3a7=50.又2a3+a15
2、=2(a7-4d)+a7+8d=3a7=50,故选D.3.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为（）A.24B.26C.25D.28答案B解析设该等差数列为an,由题意，得a1+a2+a3+a4=21,an+an-1+an-2+an-3=67,又a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,4(a1+an)=21+67=88,a1+an=22.Sn=11n=286,n=26.4.(2011江西文，5)设an为等差数列，公差d=-2,Sn为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A18B20C22D24答案B解析本题主要考查等差数列的基
3、本性质以及等差数列通项公式.S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10（-2）=0，所以a1=20.5.已知等差数列an中，a4=9,a7=3,则数列an前n项和的最大值为（）A.8B.24C.45D.64答案D解析设等差数列的公差为d,则a7-a4=3d,3d=-6,d=-2.a1=a4-3d=9+6=15,Sn=15n+(-2)=-n2+16n=-(n-8) 2+64,当n=8时，Sn取最大值64.6.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A.2B.3C.4D.5答案B解析S奇=a1+a3+a5+a7+a9=15，S偶=a2+a4+
4、a6+a8+a10=30，S偶-S奇=5d=15,d=3.7.等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）A.S7B.S8C.S13D.S15答案C解析由已知a2+a8+a11=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为定值，则S13= =13a7也为定值，故选C.8.等差数列an的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=（）A.38B.20C.10D.9答案C解析由等差数列的性质，得am-1+am+12am，2am=am2,由题意，得am0,am=2.又S2m-1=2(2m-1)=
5、38,m=10.二、填空题9.在等差数列an中，a10,d=,an=3,Sn=,则a1=,n=.答案23 3a1+(n-1)解析由题意，得na1+n（n-1） a1=2解得 .n=310.(2011广东理，11)等差数列an前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.答案10解析本题考查等差数列通项公式、前n项和公式以及基本运算能力.设等差数列公差为d，则an=1+(n-1)d,S4=S9,a5+a6+a7+a8+a9=0，a7=0,1+6d=0,d=-.又a4=1+3(-)=,ak=1+(k-1)d,+1+(k-1)d=0，d=-代入，得k=10.11.数列an的前n项和S
6、n=3n-2n2（nN+），则an=,此时Sn与nan的大小关系是.答案-4n+5Snnan解析 n=1时，S1=a1=1;n2时，an=Sn-Sn-1=-4n+5n=1时，也适合上式，故an=-4n+5.Sn-nan=3n-2n2-n(-4n+5)=2n2-2n=2n(n-1)0,故Snnan.12.设Sn为等差数列an的前n项和，若a4=1,S5=10,当Sn取最大值时，n的值为.答案4或5解析由a4=a1+3d=1,S5=5a1+10d=10,得a1=4,d=-1,Sn=4n-=-.（n-）2+,又nN+,当n=4或n=5时，Sn最大.三、解答题13.设an是等差数列，前n项和记为Sn，
7、已知a10=30，a20=50.（1）求通项an;（2)若Sn=242，求n.解析（1）由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组a1+9d=30 ，解得a1=12,d=2,a1+19d=50an=2n+10.（2）由Sn=na1+ d,Sn=242,得方程12n+2=242,解得n=11或n=-22（舍去）.n=11.14.设Sn是等差数列an的前n项和，已知S6=36，Sn=324,若Sn-6=144(n6),求数列的项数n.解析由题意可知a1+a2+a6=36,an+an-1+an-5=324-144, 由+，得（a1+an）+(a2+an-1)+(a6+an-5)
8、=216,6(a1+an)=216,a1+an=36.Sn=18n=324,n=18.15.甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.（1）甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动后几分钟第二次相遇？解析（1）设n分钟后第一次相遇，依题意得2n+5n70,整理得n2+13n-140=0,解得n=7,n=-20(舍去).甲、乙第一次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设n分钟后第二次相遇，依题意，得2n+5n=370，整理得n2+13
9、n-6700，解得n=15,n=-28(舍去).甲、乙第二次相遇是在开始运动后15分钟.16.设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=12,S120,S130，13a+d0将a=12-2d代入两个不等式，消去a得 -d-3.12+4d0 12a+d0(2)解法一：由 S130 13a+d0 a+d0 .a+6d0 a70因为da+d0，可知a1a2a60a7，所以S1,S2,S12中最大的是S6.另法：S12=6(a6+a7)0，S13=13a70，a7-a70.所以S6最大.解法二：Sn=na+d=n(12-2d)+ n(n-1)d=n2+n，二次函数y=x2+x的对称轴方程为x=-=-，由于-d-3，有6-6.5，所以当n=6时，S6最大.
