1、2024年高考数学押题卷(三)时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，B3，6，则图中阴影部分代表的集合为()A1，2B3，4C4，5D2，3，52已知复数z1，z2是关于x的方程x22x30的两根，则z1z2的值为()A3B2C2D33若(12x)2023a0a1xa2x2a2023x2023，则的值为()A1B0CD14如图所示，在平面直角坐标系xOy中，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(
2、开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆盘相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当2rad时，点M与点O之间的距离为()ABC2D5已知函数f(x)若函数g(x)f(x)b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为()A(0，1 B0，1 C(0，1) D(1，)6在数列an中，若an2n2n132n2322n333223n223n13n，则a2023()A3202322023B32202332024C3202422024D232023220247.如图，正四面体ABCD的棱AB与平面平行，且正四面体内的所有点在平面内的射影构成图形面积的最小值是，则该正四面体的棱
3、长为()AB1CD28在ABC中，若|2，|3，则ABC面积的最大值为()ABC1D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9某学校组建了辩论、英文剧场、民族舞、无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知参加无人机社团和参加数学建模社团的学生人数相等，下列说法正确的是()A高一年级学生人数为120B参加无人机社团的学生人数为17C.若按比例分层随机抽样从各社团抽取20人，则从无人机社团抽取的学生人数为3D若甲、乙、丙三人报名参加社团
4、，则共有60种不同的报名方法10抛物线y22px(p0)的准线为l，焦点为F，且经过点A(1，2)，点A关于直线l的对称点为点M，设抛物线上一动点P到直线x2的距离为d，则()Ap4B|PM|d的最小值为21C直线AF与抛物线相交所得弦的长度为4D过点M且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有两条11.如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，圆锥的内接圆柱的底面半径为r，圆柱的体积为V(r)，则()A圆锥的表面积为3B圆柱的体积最大值为C圆锥的外接球体积为Dr1，r2(0，1)，V12若f(x)为函数f(x)的导函数，数列xn满足xn1xn，则称xn为“牛顿数列”已知函数f(x)x21，数列xn
5、为“牛顿数列”，其中x13，则()Axn1(nN*) B数列xn是递减数列Cx1x2xn22n1D关于n的不等式|xn1|的解有无数个答题区题号123456789101112答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知正数x，y满足4x2yxy，则x2y的最小值为_14已知随机变量X，Y，其中XB(6，)，YN(，2)，E(X)E(Y)，P(|Y|6)_.15山东省科技馆新馆(如图1)目前成为济南科教新地标，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和科技无限如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人
6、机在点C测得点A和点B的俯角分别为75，30，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45和60(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为_米16已知函数f(x)(xex1)(lnxx)xex1，g(x)xkex，当实数x0满足f(x0)0时，不等式g(x0lnx02)0恒成立，则实数k的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足a1a3a515，S749.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足bnan3n，求bn的前n项和Tn.解：18(12分)
7、如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，AB2，FAFC，且DABDBF60.(1)求证：AC平面BDEF；(2)求AD与平面ABF所成角的正弦值解：19(12分)已知f(x)sinx(0)，其图象上相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位长度得到函数yg(x)的图象(1)求函数yg(x)的解析式及图象的对称中心；(2)在钝角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若fg()，求的取值范围解：20(12分)某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛(1)下表为某10位同学的预赛成绩：预赛成绩939495969798人数223111求这10位同学预赛成
8、绩的上四分位数(第75百分位数)和平均数；(2)决赛共有编号为A，B，C，D，E的5道题，学生甲按照A，B，C，D，E的顺序依次作答，答对的概率依次为，各题作答互不影响，若累计答错2道题或5道题全部答完则比赛结束，记X为比赛结束时学生甲已作答的题数，求X的分布列和数学期望解：21(12分)已知椭圆C：1(ab0)，圆M：x2y21与x轴的交点恰为C的焦点，且C上的点到焦点距离的最大值为b2.(1)求C的标准方程；(2)不过原点的动直线l与C交于A，B两点，平面上一点D满足(O为坐标原点)，连接BD交C于点E(点E在线段BD上且不与端点重合)，若，试判断直线l与圆M的位置关系，并说明理由解：22
9、(12分)已知函数f(x)aexx.(1)讨论f(x)的极值点个数(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，直线ykxb过点(x1，f(x1)，(x2，f(x2).证明：kf；证明：ba.解：2024年高考数学押题卷(三)1解析：题图中阴影部分代表的集合为U(AB)，因为AB1，2，3，6，所以U(AB)4，5，故选C.答案：C2解析：方法一由x22x30，得x1i或x1i，所以z1z2(1i)(1i)3，故选D.方法二因为复数z1，z2是关于x的方程x22x30的两根，所以由根与系数的关系可得z1z23，故选D.答案：D3解析：在(12x)2023a0a1xa2x2a2023x2023中，令x
10、0得a01；令x，得a0(12)20230.所以0a01，故选A.答案：A4解析：由题意得圆盘的半径r1.因为2radrad，所以线段BM的长等于弧AB的长，等于r，则当2rad时，|BM|2.如图，连接OM，由圆的切线性质，得|MO|，又|BO|1，所以|MO|，故选D.答案：D5解析：函数g(x)f(x)b有四个不同的零点等价于方程f(x)b有四个解，等价于函数yf(x)与yb的图象有四个交点，因为yf(x)，所以当x(，1时，函数f(x)单调递减，且f(x)0，)；当x(1，0时，函数f(x)单调递增，且f(x)(0，1；当x(0，1)时，函数f(x)单调递减，且f(x)(0，)；当x1
11、，)时，函数f(x)单调递增，且f(x)0，).由此可作出函数yf(x)及yb的大致图象，如图由图象知，当0b1时函数yf(x)与yb的图象有四个交点，即实数b的取值范围为(0，1，故选A.答案：A6解析：因为an2n2n132n2322n333223n223n13n2n1()22n3n12n1，所以a20233202422024，故选C.答案：C7解析：根据题意，当CD平面，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边为正四面体的棱长，设正四面体的棱长为a，高是直线CD到AB的距离，距离为：a，射影面积为：aa，解得a1.故选B.答案：B8解析：如图，延长BA至D点，使得，延长AB至E点，使得，连
12、接CE，CD.则()，()，即2，2.所以|2|2，|2|3.所以SABCSECD|sinDCE|1，当DCE时等号成立，则ABC面积的最大值为1，故选C.答案：C9解析：由题中统计图可知，参加民族舞社团的学生人数为12，占高一年级学生人数的10%，所以高一年级学生人数为1210%120，所以参加英文剧场社团的学生人数为12035%42，又参加辩论社团的学生人数为30，所以参加无人机社团的学生人数等于参加数学建模社团的学生人数等于(120423012)218，故A正确，B不正确若按比例分层随机抽样从各社团抽取20人，则从无人机社团抽取的学生人数为203，C正确若甲、乙、丙三人报名参加社团，则每
13、人有5种选法，共有53125(种)不同的报名方法，故D不正确综上所述，选AC.答案：AC10解析：对于A，将A(1，2)代入抛物线方程，得42p，解得p2，故A不正确对于B，由A知，抛物线方程为y24x，其准线l的方程为x1，F(1，0)，如图，过P作l的垂线，垂足为Q，连接PF，MF，由抛物线的定义知|PQ|PF|，所以|PM|d|PM|PQ|1|PM|PF|1|MF|1，当点M，P，F三点共线且点P在点M，F中间时等号成立，由A(1，2)可得M(3，2)，所以|PM|d121，故B正确对于C，因为A(1，2)，F(1，0)，所以AFx轴，设直线AF与抛物线相交所得弦为AB，则由抛物线的对称
14、性，得|AB|2|AF|4，故C正确对于D，设过点M(3，2)的直线为m，则当直线m的斜率等于0时，其方程为y2，显然此时直线m与抛物线有且只有一个公共点当直线m的斜率不存在时，显然直线m与抛物线没有公共点当直线m的斜率存在且不为0时，设其方程为y2k(x3)，k0，代入抛物线方程，整理得ky24y12k80，令164k(12k8)0，解得k1或k，所以直线yx1，y3均与抛物线有且只有一个公共点综上所述，过点M且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有三条，故D不正确综上所述，选BC.答案：BC11解析：对于A，因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，所以圆
15、锥的高为，所以圆锥的表面积S121223，故A正确对于B，设圆柱的高为h，O1，O2分别为圆柱的下、上底面圆的圆心，如图所示，连接BO1，AO1，CO2，由题意可得BO11，AO1，ACO2ABO1，所以，即，解得h(1r)，所以圆柱的体积V(r)r2hr2(1r).令f(r)r2(1r)(0r1)，则f(r)r(23r)，当0r0，f(r)单调递增，当r1时，f(r)0，所以xn121，故xn1，所以xn1xn0，所以xn10(kN*)，所以x1x2xkxk122k122k11成立综上，x1x2xn22n1成立，C正确对于D，|xn1|0，所以2202412024，解得n12(nN*)，所以
16、关于n的不等式|xn1|的解有无数个，故D正确综上所述，选BCD.答案：BCD13解析：由4x2yxy，得1.又x，y是正数，所以x2y(x2y)()1010218，当且仅当，即xy6时等号成立，所以x2y的最小值为18.答案：1814解析：因为XB(6，)，所以E(X)62.因为YN(，2)，所以E(Y)，由E(X)E(Y)，得2，所以该正态曲线关于直线x2对称，所以P(Y2)0.5.又P(|Y|2)0.3，所以P(Y6)P(Y2)0.2.答案：0.215解析：由题意，DCB30，CDB60，所以CBD90，则在RtCBD中，BDCD300，BCCD300.因为DCA75，CDA45，所以C
17、AD60.方法一在ACD中，由正弦定理得，所以AC200.在ABC中，ACBACDDCB753045，由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcosACB(200)2(300)22200300150000，所以AB100，故A，B两点之间的距离为100米方法二cos15sin75sin (4530).ACD中，由正弦定理得，所以AD100(3).在ABD中，ADBCDBCDA604515，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcosADB100(3)230022100(3)300150000，所以AB100，故A，B两点之间的距离为100米答案：10016解析：f(x)(xex1)(lnx
18、x)xex1(elnxx1)(lnxx)elnxx1，令tlnxx，F(t)(et1)tet1.则F(t)tet1.记h(t)tet1，则h(t)(t1)et，t1时，h(t)1时，h(t)0，所以h(t)tet1在(1，)上单调递增，在(，1)上单调递减，所以h(t)h(1)e110，即F(t)0，所以函数F(t)为递增函数当t0时，F(t)(e01)0e010.由题意得t0，lnx0x00，所以lnx0x022，令t0lnx0x02，则t02，所以g(x0lnx02)0恒成立，即t02时，g(t0)0恒成立，即x2时，g(x)xkex0恒成立，即x2时，k恒成立记m(x)(x2)，则km(
19、x)min.因为m(x)0，所以m(x)在2，)上单调递增，所以m(x)minm(2)，故实数k的取值范围为(，.答案：(，17解析：(1)设an的公差为d，因为a1a3a515，S749，所以，所以a11，d2.所以an1(n1)22n1.(2)由题意可知bn(2n1)3n，所以Tn131332533(2n1)3n，3Tn132333534(2n1)3n1，得，2Tn13123223323423n(2n1)3n13(2n1)3n1(2n2)3n16，所以Tn(n1)3n13.18解析：(1)如图，设AC与BD相交于点O，连接FO.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，且O为AC中点又FAF
20、C，所以ACFO.又FOBDO，FO，BD平面BDEF，所以AC平面BDEF.(2)连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且DBF60，所以DBF为等边三角形因为O为BD中点，所以FOBD，又ACFO，BDACO，BD，AC平面ABCD，所以FO平面ABCD.所以OA，OB，OF两两垂直如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.因为四边形ABCD为菱形，DAB60，AB2，所以BD2，AC2.因为DBF为等边三角形，所以OF.所以A(，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，F(0，0，)，所以(，1，0)，(，0，)，(，1，0).设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则，取x1，则y，z
21、1，得n(1，1).设直线AD与平面ABF所成的角为，则sin|cos，n|.19解析：(1)由题意得，f(x)的最小正周期T2，所以2，f(x)sin2x，则g(x)sin 2(x)sin (2x).令2xk(kZ)，得x(kZ)，故函数yg(x)图象的对称中心为(，0)(kZ).(2)由题意得，fsinB，g()sin 2()sin (A)，所以sinBsin (A)，所以BA或AB(舍)，所以C2A.在钝角三角形ABC中，0A，0C，所以0A.4cosA，令tcosA，(t)4t，t(，1)，则(t)在(，)上单调递减，在(，1)上单调递增所以当t，即A时，(t)有最小值4.又45，41
22、7，所以(t)0(*)，x1x2，x1x2，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.由可得A为OD的中点，可得D(2x1，2y1)，且有，所以(x1x2，y1y2)，即点E的坐标为(x1x2，y1y2)，将点E的坐标代入椭圆1，可得(x1x2)2(y1y2)21，化简后，得()()()1(*).易知1，1，代入(*)式可得，0，即3x1x24y1y20，将x1x2，y1y2代入可得，2m24k23，满足(*)式点O到直线l的距离d，由k20，可得2(k21)2，0，所以1，而圆M的半径为1，所以直线l与圆M相离当直线l的斜率不存在时，有x1x2，y1y2，代入3x
23、1x24y1y20，可得3x4y0，又1，所以x1，所以直线l的方程为x，也满足直线l与圆M相离综上，直线l与圆M相离22解析：(1)f(x)e2xaex1，当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增，极值点个数为0.当02时，由f(x)0得，xln或xln.由f(x)0得，xln；由f(x)0得，lnx2时，f(x)的极值点个数为2.(2)由(1)得，a2，ex1ex2a，ex1ex21，所以x1x20，不妨设x1f，即证f，即证e2lnaeln1，即证11，即证，即证.令g(t)，t0，则g(t)0，所以，所以kf.由yf(x1)(xx1)得bf(x1)，要证ba，即证f(x1)a.因为x1x20，所以x2x1，所以即证f(x1)f(x2)a，即证(a2)a，因为e2x1e2x2(ex1ex2)22ex1ex2a22，所以即证(1a2)0，因为(a2)20成立，所以ba得证
