1、命题点32利用导数研究函数的零点1已知函数f(x)cosxx2.(1)设g(x)f(x)，求g(x)在区间上的最值；(2)讨论f(x)的零点个数解：22023黑龙江哈尔滨模拟已知函数f(x)esinx(x1).(1)求函数yf(x)在点处的切线方程；(2)证明：函数yf(x)在(1，0上有且仅有一个零点解：3若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数的极大值；(2)若关于x的方程f(x)k0有三个零点，求实数k的取值范围解：42022全国乙卷已知函数f(x)ax(a1)lnx.(1)当a0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围解：520
2、23河北秦皇岛模拟已知函数f(x)ae2x12ex1ex.(1)当a1时，求f(x)的极小值(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围解：62021新高考卷已知函数f(x)(x1)exax2b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点2a；0a，b2a.解：命题点32利用导数研究函数的零点(大题突破)1解析：(1)因为g(x)f(x)2xsinx，g(x)2cosx0，所以g(x)在区间上单调递减，所以当x时，g(x)取最大值g；当x时，g(x)取最小值g()2.(2)先讨论f(x)在0，)上的零点个数，由(1)可知，f(x)在(0，)上递减，f(
3、x)0，f0，所以f(x)在0，)上有唯一零点，又因为f(x)cos (x)(x)2cosxx2f(x)，所以f(x)是偶函数，所以f(x)在R上有两个零点2解析：(1)因为f(x)esinxcosx1，且fe1，f1，所以切线方程为y，即所求切线方程为xye10.(2)f(x)esinxcosx1.因为x(1，0，所以sinx0，esinx1，0cosx1，所以esinxcosx1，所以f(x)0，当且仅当x0时取等号，所以f(x)在(1，0上是减函数，且f(0)0，所以f(x)在(1，0上仅有一个零点3解析：(1)f(x)3ax2b，由题意知，解得.故所求的解析式为f(x)x34x4，可得
4、f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2，由此可得x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当x2时，f(x)有极大值f(2).(2)由(1)知，得到当x2时，f(x)为增函数；当2x2时，f(x)为减函数，极大值f(2)，极小值f(2)，函数f(x)x34x4的图象大致如图，由图可知当k0)，则f(x).当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0时，xlnx0，所以方程a在(0，)上恰有一个解令g(x)(x0)，则g(x).令h(x)x1(x1)lnx(x0)，则h(x)1lnxlnx.由(1)知，h(x)1，所以h(x)在(0，)上
5、单调递减又h(1)0，所以当x(0，1时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.则当x(0，1时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上单调递减又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，所以a(0，).5解析：(1)f(x)的定义域为(，)，当a1时f(x)2e2x12ex1ex(ex1)(4ex11)，令f(x)0，解得x0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)单调递减e单调递增因此，当x0时f(x)有极小值，极小值为f(0)e.(2)f(x)2ae2x12ex1ex(aex1)(4ex11)，(i)若a0，则f(x
6、)0，令f(x)0，解得xlna.当x(，lna)时，f(x)0，所以f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增所以当xlna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)lna.当ae时，由于f(lna)0，故f(x)只有一个零点；当a(e，)时，由于lna0，即f(lna)0，故f(x)没有零点；当a(0，e)时，lna0，即f(lna)0.lna12且f(2)10，故f(x)在(，lna)有一个零点feln，且lnlna，先证x0时lnxx1：设m(x)lnx(x1)，则m(x)，当0x0，当x1时m(x)0时lnxx1.felne(1)e0，因此f(x)在(lna，)有一
7、个零点综上，a的取值范围为(0，e).6解析：(1)由函数的解析式可得：f(x)x(ex2a)，当a0时，若x(，0)，则f(x)0，f(x)单调递增；当0a0，f(x)单调递增，若x(ln (2a)，0)，则f(x)0，f(x)单调递增；当a时，f(x)0，f(x)在R上单调递增；当a时，若x(，0)，则f(x)0，f(x)单调递增；若x(0，ln (2a)，则f(x)0，f(x)单调递增(2)证明：若选择条件：由于a，故12a1，f(0)b10，而f(b)(1b)ebab2b2aln (2a)1aln (2a)22a2aln (2a)aln (2a)2aln (2a)2ln (2a)，由于
8、a，12ae2，故aln (2a)2ln (2a)0，结合函数的单调性可知函数在区间(0，)上没有零点综上可得，题中的结论成立若选择条件：由于0a，故2a1，则f(0)b12a14，4a0，而函数在区间(0，)上单调递增，故函数在区间(0，)上有一个零点当b0时，构造函数H(x)exx1，则H(x)ex1，当x(，0)时，H(x)0，H(x)单调递增，注意到H(0)0，故H(x)0恒成立，从而有：exx1，此时：当x1时，f(x)(x1)exax2b(x1)(x1)ax2b(1a)x2(b1)，当x时，(1a)x2(b1)0，取x01，则f(x0)0，即：f(0)0，而函数在区间(0，)上单调递增，故函数在区间(0，)上有一个零点f(ln (2a)2aln (2a)1aln (2a)2b2aln (2a)1aln (2a)22a2aln (2a)aln (2a)2aln (2a)2ln (2a)，由于0a，02a1，故aln (2a)2ln (2a)0，结合函数的单调性可知函数在区间(，0)上没有零点综上可得，题中的结论成立
