1、课时规范练34基本不等式及其应用基础巩固组1.(2021福建厦门双十中学高三开学考试)函数y=ex+e-x(xR)的最小值是()A.1B.2C.3D.42.(2021山东龙口模拟)已知函数y=x+4x-1(x1),则函数的最小值等于()A.42B.42+1C.5D.93.(2021江苏扬州高邮中学高三月考)设x0,则y=3-3x-1x的最大值为()A.3B.3-32C.3-23D.-14.(2021四川宜宾诊断测试)已知正实数x,y满足xy=2,则x+y的最小值是()A.3B.22C.2D.25.(2021福建福清西山学校高三月考)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一
2、个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a+b=10,c=6,则此三角形面积的最大值为()A.10B.12C.14D.166.(2021河南信阳高中检测)已知函数f(x)=mex-2+n的图象过点(2,1),若对于任意的正数m,n,不等式1m+4nA恒成立,则实数A的最大值为()A.9B.3+22C.7D.427.(2021山西吕梁模拟)函数y=x2-4x+4x-1(x1)的值域是()A.1,+)B.(-,1C.(-,0D.0,+)8.(2021广东惠州一模
3、)已知a,bR,若a-3b=2,则2a+18b的最小值为.9.(2021上海青浦二模)已知函数f(x)=3x+a3x+1的最小值为53,则a=.10.(2021广西南宁三中高三月考)若x0,y0,xy=10,则2x+5y的最小值为.11.(2021浙江绍兴一中高三期末)若实数a,b满足2a2+2b2=1,则1a2+4b2+1的最小值为.12.(2021广东广州模拟)若4xy0,则y4x-y+xy的最小值为.综合提升组13.(2021山东泰安一中模拟)若对任意x0,xx2+3x+1a恒成立,则实数a的取值范围是()A.15,+B.15,+C.-,15D.-,1514.(2021四川广元模拟)新冠
4、病毒疫情期间,某灾区物资紧缺,一批口罩、食物等救灾物资随41辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区.已知两地公路线长360 km,为安全起见,两辆汽车的间距不得小于v2900 km(车长忽略不计),要使这批物资尽快全部到达灾区,则v=()A.70 km/hB.80 km/hC.90 km/hD.100 km/h15.(2021山东滨州一模)已知a0,b0,向量m=(a+2b,-9),n=(8,ab),若mn,则2a+b的最小值为()A.9B.8C.54D.516.(2021云南昆明模拟)若正实数a,b满足a+b=ab,则a+ba+64ab的最小值为.创新应用组17.(2021江苏扬中高三
5、开学考试)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为,xy的最大值为.18.已知函数f(x)=x2+ax+11x+1(aR),若对于任意的xN*,f(x)3恒成立,则a的取值范围是.答案：课时规范练1.B解析:因为ex0,e-x0,所以y=ex+e-x2exe-x=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时,取等号,所以函数y=ex+e-x(xR)的最小值是2.2.C解析:因为x1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x-1+12(x-1)4x-1+1=5,当且仅当x-1=4x-1,即x=3时,等号成立.故函数的最小值为5.3.C解析:x0,y=3-3x-1x3-23x1x=3-23
6、,当且仅当3x=1x,即x=33时,等号成立.故y的最大值为3-23.4.B解析:由基本不等式可得x+y2xy=22,当且仅当x=y=2时,等号成立.因此x+y的最小值是22.5.B解析:由题意,a+b=10,c=6,p=a+b+c2=8,三角形满足a+cb,即a+610-a,即a2,则b=10-a0,同理8-a0,所以S=8(8-a)(8-b)(8-c)=16(8-a)(8-b)168-a+8-b2=12,当且仅当a=b=5时等号成立,所以此三角形面积的最大值为12.6.A解析:由函数的图象过定点(2,1),可得m+n=1,又因为m0,n0,所以1m+4n=(m+n)1m+4n=5+nm+4
7、mn5+24=9,当且仅当m=13,n=23时,等号成立.所以A9,即A的最大值为9.7.D解析:y=x2-4x+4x-1=x2-1-4(x-1)+1x-1=x+1+1x-1-4=x-1+1x-1-2,因为x1,所以x-10,所以y2(x-1)1x-1-2=0,当且仅当x-1=1x-1,即x=2时,取等号,所以函数y=x2-4x+4x-1(x1)的值域是0,+).8.4解析:2a+18b=2a+2-3b22a2-3b=222=4.当且仅当2a=2-3b,a-3b=2,即a=1,b=-13时,等号成立,综上可得2a+18b的最小值为4.9.169解析:因为函数f(x)=3x+a3x+1有最小值,
8、所以a0.因为3x+11,所以f(x)=3x+a3x+1=3x+1+a3x+1-12(3x+1)a3x+1-1=2a-1,因为函数f(x)=3x+a3x+1的最小值为53,所以2a-1=53,解得a=169,当且仅当x=-1时取等号,满足题意.10.2解析:由x0,y0,xy=10,则2x+5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x222xx2=2,当且仅当x=2时取等号,即2x+5y的最小值为2.11.6解析:实数a,b满足2a2+2b2=1,即a2+b2=12,所以a2+(b2+1)=32,则1a2+4b2+1=23a2+(b2+1)1a2+4b2+1=231+4+b2+1a2+4a2
9、b2+1235+2b2+1a24a2b2+1=23(5+4)=6,当且仅当b2+1a2=4a2b2+1,即a2=12,b2=0时,取得等号.故1a2+4b2+1的最小值是6.12.54解析:因为4xy0,所以4x-y0,则y4x-y+xy=y4x-y+4x4y=y4x-y+4x-y+y4y=y4x-y+4x-y4y+142y4x-y4x-y4y+14=212+14=54,当且仅当4x-y=2y,即当3y=4x时,等号成立,所以y4x-y+xy的最小值为54.13.A解析:由题意,有xx2+3x+1=1x2+3x+1x=1x+1x+312x1x+3=15,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,
10、即xx2+3x+1的最大值为15,又对任意x0,xx2+3x+1a恒成立,所以a15,即a的取值范围为15,+.14.C解析:由题意,第一辆汽车到达用360v h,最后一辆汽车到达的时间为360+40v2900vh,要使这批物资尽快全部到达灾区,即就是最后一辆汽车到达的时间最短,即求360v+2v45最小时汽车的速度,360v+2v452360v2v45=8,当且仅当360v=2v45,即v=90时,等号成立.15.B解析:由题意mn=8(a+2b)-9ab=0,又a0,b0,所以8(a+2b)9ab=1,所以2a+b=8(a+2b)(2a+b)9ab=8(2a2+5ab+2b2)9ab=169ab+ba+4091692abba+409=8,当且仅当ba=ab,即a=b=83时等号成立.所以2a+b的最小值为8.16.15解析:由题设知1+ba=b,即ba=b-1,a+ba+64ab=a+b-1+64a+b2(a+b)(64a+b)-1=16-1=15,当且仅当a+b=ab=8时,等号成立.故a+ba+64ab的最小值为15.17.26-38-43解析:正实数x,y满足xy+2x+y=4,y=4-2xx+1(0xg(3),g(x)min=173.-x+8x+3-83,a-83.故a的取值范围是-83,+.
