1、规范练3(时间:45分钟,满分:46分)(一)必做题:共36分.1.(本题满分12分)(2022山西晋中模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.在cos2A-C2-cos Acos C=34;(sin A+sin C)2=sin2B+3sin Asin C;2bcos C+c=2a这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角B的大小;(2)若a+c=27,求ABC周长的最小值.2.(本题满分12分)(2022山西吕梁三模)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,DADB,侧面ADD1A1是矩形,AB=2AD=2AA1,M为AA1的中点,D1ABM.
2、(1)证明:BD平面ADD1A1;(2)点N在线段A1C1上,若A1C1=4A1N,求二面角M-DB-N的余弦值.3.(本题满分12分)(2022全国乙理19)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得i=110xi2
3、=0.038,i=110yi2=1.615 8,i=110xiyi=0.247 4.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2,1.8961.377.(二)选做题:共10分.1.(本题满分10分)在平面直角坐标系
4、xOy中,曲线C的参数方程为x=t+1t,y=t2-12t(t为参数,t0),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin+4=22.(1)求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;(2)若t-1,求以曲线C与x轴的交点为圆心,且这个交点到直线l的距离为半径的圆的方程.2.(本题满分10分)已知函数f(x)=|x-2|-|x-a|.(1)当a=1时,求不等式f(x)3的解集;(2)若f(x)1恒成立,求a的取值范围.规范练3(一)必做题1.解 (1)选.cos2A-C2-cos Acos C=1+cos(A-C)2-cos Acos C=34,即1-cosAc
5、osC+sinAsinC2=1-cos(A+C)2=34,所以cos(A+C)=-12,所以cos B=12.又因为B(0,),所以B=3;选.因为(sin A+sin C)2=sin2B+3sin Asin C,所以sin2A+sin2C+2sin Asin C=sin2B+3sin Asin C,即sin2A+sin2C-sin2B=sin Asin C,由正弦定理得a2+c2-b2=ac.由余弦定理知cos B=a2+c2-b22ac=12.又B(0,),所以B=3;选.因为2bcos C+c=2a,由正弦定理得2sin Bcos C+sin C=2sin A,所以2sin Bcos C
6、+sin C=2sin(B+C)=2(sin Bcos C+cos Bsin C),即sin C(2cos B-1)=0.因为sin C0,所以cos B=12,又B(0,),所以B=3.(2)由(1)知B=3,则由余弦定理得,a2+c2-b2=ac.所以b2=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac(a+c)2-3(a+c)24=(a+c)24=7,当且仅当a=c=7时取等号,所以b7.所以ABC周长的最小值为37.2.(1)证明 因为矩形ADD1A1中,2AA1=2AD,M为AA1的中点,所以tanMDA=tanAD1D=22,所以MDA=AD1D.因为AD1D+D1AD=2,所以MDA+D
7、1AD=2,所以D1AMD.因为D1ABM,MDBM=M,MD,BM平面BDM,所以D1A平面BDM.因为BD平面BDM,所以D1ABD,又DADB,D1ADA=A,D1A,DA平面ADD1A1,所以BD平面ADD1A1.(2)解 由(1)知DA,DB,DD1两两相互垂直,所以以D为原点,DA,DB,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.令AB=2AD=2AA1,令AD=1,则AB=2,AA1=2,连接DA1,则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(1,0,0),B(0,3,0),C1(-1,3,2),A1(1,0,2),所以DB=(0,3,0),DN=DA1+
8、A1N=DA1+14A1C1=12,34,2.设平面BDN的一个法向量为n=(x,y,z),则nDB=0,nDN=0,得3y=0,12x+34y+2z=0,所以y=0,令z=-1,得x=22,所以n=(22,0,-1),由(1)知D1A=(1,0,-2)是平面BDM的一个法向量,所以cos=nD1A|n|D1A|=32(22)2+12(2)2+12=63,故二面角M-DB-N的余弦值为63.3.解 (1)依题意,x=0.610=0.06,y=3.910=0.39,故估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06,平均一棵的材积量为0.39.(2)依题意,所求样本相关系数r=i=110(xi
9、-x)(yi-y)i=110(xi-x)2i=110(yi-y)2=i=110xiyi-10x y(i=110xi2-10x2)(i=110yi2-10y2)=0.247 4-100.060.39(0.038-100.062)(1.615 8-100.392)0.97.(3)由题意及(1),可知该林区这种树木的总材积量的估计值为0.390.06186=1 209(m3).(二)选做题1.解 (1)由x=t+1t,y=t2-12t,得x=t+1t,2y=t-1t,因为t+1t2-t-1t2=t2+2+1t2-t2+2-1t2=4,所以x2-(2y)2=4,即x2-4y2=4,又x=cos,y=s
10、in,所以2cos2-42sin2=4,即曲线C的极坐标方程为2cos2-42sin2=4;因为直线l的极坐标方程为sin+4=22,即sin +cos =4,又x=cos,y=sin,所以直线l的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)因为t-1,由(1)知曲线C的普通方程为x2-4y2=4(x-2),它与x轴的交点为(2,0),又直线l的直角坐标方程为x+y-4=0,故曲线C与x轴的交点到直线l的距离d=|2+0-4|12+12=2.故所求的圆的方程为(x-2)2+y2=2.2.解 (1)当a=1时,f(x)=|x-2|-|x-1|.当x2时,f(x)=x-2-x+1=-1,所以f(x)3无解;当1x2时,f(x)=2-x-x+1=3-2x3,解得x0,所以f(x)3无解;当x1时,f(x)=2-x+x-1=1,所以f(x)3无解.综上,不等式f(x)3的解集是空集.(2)f(x)=|x-2|-|x-a|(x-2)-(x-a)|=|a-2|,
