1、抽象函数综合题的解题策略重庆慕泽刚只给出函数符号或条件及一些间接关系，而没有给出函数的具体解析式或者图象，这样的函数称为抽象函数.这类试题，主要以函数的概念和性质为背景，以函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想为主线，以考查学生的各种能力为目的，在知识网络交汇处设计试题.此类试题往往具有概念抽象、隐蔽性与灵活性强、综合性高的特点，因此它既能考查函数的各种性质，又能考查学生对数学语言的阅读理解和转译能力，同时能考查出考生进入高校继续学习的潜能，因此在此有必要对抽象函数综合题的求解策略进行探讨.一、适当赋值赋值主要从以下方面考虑：令x=，2，1，0，1，2，等特殊值求抽象函数的函数值；令x=x
2、2，y=x1或y=，且x10时，f(x)0.试判断f(x)的奇偶性和单调性.分析：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，f(0)=0，又令y=x，f(x)+f(x)=f(xx)=f(0)=0，即f(x)=f(x)，f(x)是奇函数，再设x1、x2R，且x10，f(x2x1)0，从而f(x2)f(x1)，f(x)在(.+)上是增函数.二、变量代换根据题设条件中所给等式或不等式的结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换为的需要的量(要注意新换的变量的取值范围，要与原题设条件等价)，可以得到较为简单的等式或不等式，然后再设法作进一步的转化从中获解，例2 已知函
3、数f(x)存在反函数且f(x)+f(x)=2，则f1(x1)+f1(3x)=_.分析：本题无法直接求出f1(x)，若将已知等式左边看成两个函数，利用变量代换，则有如下简解：令y1=f(x)，y2=f(x)，则x=f1(y1)，x=f1(y2)，且当y1+y2=2时，有f1(y1)+f1(y2)=xx=0，(x1)+(3x)=2，f1(x1)+f1(3x)=0.三、利用函数性质根据题目所给的条件，分析、探求函数具有哪些特殊的性质，比如：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，然后充分利用这些性质进行求解.例3 f(x)是定义在R上的函数，且满足如下两个条件：对于任意x，yR，有f(x+y)=f
4、(x)+f(y)；当x0时，f(x)0，且f(1)=2.求函数f(x)在3，3上的最大值和最小值.分析：设0x1x23，由条件得f(x2)=f(x2x1)+x1=f(x2x1)+f(x1)，即f(x2x1)=f(x2)f(x1)，x2x10，由条件得f(x2x1)0,f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，f(x)在0，3上是减函数，在条件中令x=y=0，则f(0+0)=f(0.)+f(0)，f(0)=0.再令x=y，得f(xx)=f(x)+f(x)，f(x)=f(x)，f(x)是奇函数，f(x)在3，0上是减函数，又当x0时f(x)=f(x)0，从而f(x)在3，3上是减函数，f(x
5、)max=f(3)=f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=f(1)f(1)f(1)=3f(1)=6，f(x)min=f(3)=f(3)=6.例4 已知函数f(x)=ax5+bsinx+3，且f(3)=7，求f(3)的值.解析:f(x)的解析式中含有两个参数a、b，却只有一个条件f(3)=7，无法确定出a、b的值，因此函数f(x)(解析式不确定)是抽象函数，注意到g(x)=ax5+bsinx=f(x)3是奇函数，可得g(3)=g(3)，即f(3)3=f(3)3，f(3)=6f(3)=1.四、正难则反当关于某些抽象函数的命题不易从正面直接证明时，可采用反证法，它往往需结合其它一些求解策略，而此
6、法是处理“是否存在”型函数综合题的常用方法.例5 已知函数f(x)在区间(，+)上是增函数，a、bR，(1)求证：若a+b0，则f(a)+f(b)f(a)+f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论.证明：(1)由a+b0，得ab，由函数f(x)在区间(，+)上是增函数，得f(a)f(b)，同理，f(b)f(a)，f(a)+f(b)f(b)+f(a)，即f(a)+f(b)f(a)+f(b).(2)中命题的逆命题是：若f(a)+f(b)f(a)+f(b)，则a+b0，此逆命题为真命题，现用反证法证明如下：假设a+b0不成立，则a+b0，ab，ba，根据单调性，得f(a)f(
7、b)，f(b)f(a)，f(a)+f(b)f(a)+f(b)，这与已知f(a)+f(b)f(a)+f(b)相矛盾，故a+b0不成立，即a+b0成立，因此(1)中命题的逆命题是真命题.五、利用模型函数探路抽象型函数问题的设计或编拟，常以某个基本函数为模型，在解题前，若能从研究的抽象函数的“模型”入手，根据已知条件，寻找其模型函数，通过分析、研究其图象及性质，找出问题的解法或证法.例6 已知定义域为R+的函数f(x)满足：(1)x1时，f(x)0；(2)f()=1；(3)对任意的x，yR+，都有f(xy)=f(x)+f(y).求不等式f(x)+f(5x)2的解集.解析：由题设(3)知f(x)以y=
8、logax为模型函数，由题(1)知0a1，从而y=logax在(0,+)上为减函数，故本题可先证f(x)在(0,+)上为减函数为突破口.设0x1x2，则1，且由f(xy)=f(x)+f(y)，得f(x2)=f(x1)=f()+f(x1)，又由条件x1时，f(x)0，得f()0，f(x2)f(x1)，f(x)在R+上为减函数，又由f(1)=f(1)+f(1)，得f(1)=0，又f()=1，f(2)=f(2)+f()=0，f(2)=1，f(x)+f(5x)2=2f(2)=f(4)，于是，解得0x1或4x5，解集为x(0，14，5).六、数形结合根据题目所给的函数的有关的性质和背景，作出大致符合条件的函数的图象，再根据图象的直观性作出正确解答.例7 若f(x)为奇函数，且在(，0)内是增函数，又f(2)=0，则xf(x)0的解集为( )A.(2,0)(0,2)B.(,2)(0，2)C.(,2)(2,+)D.(2,0)(2,+)解析：本题可根据题设条件先作出函数f(x)在(，0)内的大致图象，如图，由对称性(奇函数的图象关于原点对称)及单调性(在(，0)内是增函数)得出f(x)在(0，)的图象，如图所示. f(x)为奇函数，且，f(2)=0，f(2)=0.由图象可知：当2x0，xf(x)0；当0x2时，f(x)0，xf(x)0.故不等式xf(x)0的解集为(2，0)(0，2)，选A.
