1、规范练3(时间:45分钟,满分:46分)1.(10分)(2022浙江18)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cos C=35.(1)求sin A的值;(2)若b=11,求ABC的面积.2.(12分)(2022福建漳州三模)据漳州府志记载,漳州地区在宋代就已经有布袋木偶戏了,清中叶后,布袋木偶戏开始进入兴盛时期,一直到抗日战争前,漳州的龙溪、漳浦、海澄、长泰等县,几乎乡乡都有布袋木偶戏,在传承的基础上,不断创新和发展壮大,走向更广阔的世界.为了解民众对布袋木偶戏的了解程度,某单位随机抽取了漳州地区男、女各100名市民,进行问卷调查,根据调查结果绘制出得分条形图,如
2、图所示.得分条形图性别不够了解相对了解合计男女合计(1)若被调查者得分低于60分,则认为是不够了解布袋木偶戏,否则认为是相对了解布袋木偶戏,根据得分条形图,完成22列联表,并依据=0.1的独立性检验,分析对布袋木偶戏的了解程度是否与性别有关联;(2)恰逢三八妇女节,该单位对参与调查问卷的女市民制定如下抽奖方案:得分低于60分的可以获得1次抽奖机会,得分不低于60分的可以获得2次抽奖机会,每次抽奖结果相互独立,在一次抽奖中,获得一个木偶纪念品的概率为13,获得两个木偶纪念品的概率为16,不获得木偶纪念品的概率为12,在这100名女市民中任选一人,记X为她获得木偶纪念品的个数,求X的分布列和数学期
3、望.参考公式:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据:0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.8283.(12分)(2021全国甲理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BFA1B1.(1)证明:BFDE;(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?4.(12分)(2022山东青岛高三期末)已知数列an的前n项和为Sn,且a1,an,Sn为等差数列,数列bn满足b1=6,bn=Sn+1an+4.(1)
4、求数列bn的前n项和Tn;(2)若对于nN*,总有3n-20an7m-464成立,求实数m的取值范围.规范练31.解 (1)cos C=35且0C,sin C=45.又4a=5c,ac=54.由正弦定理得asinA=csinC,sinAsinC=ac=54,sin A=54sin C=5445=55.(2)b=11,由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcos C,c2=112+54c2-254c1135,c2=112+516c2-33510c,即1116c2+33510c-112=0,整理得5c2+245c-880=0,解得c=-245+64525=45(负值舍去),a=5445=5.SAB
5、C=12absin C=1251145=22.2.解 (1)22列联表如下:性别不够了解相对了解合计男3565100女2575100合计60140200零假设为H0:对布袋木偶戏的了解程度与性别无关联.根据列联表中的数据,可以求得2=200(3575-2565)210010060140=50212.3812.706=x0.1.根据=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为对布袋木偶戏的了解程度与性别无关联.(2)在这100名女市民中任选一人,得分低于60分的概率为25100=14,得分不低于60分的概率为75100=34,X的所有可能取值为0,1,2,3,4
6、,P(X=0)=1412+341212=18+316=516,P(X=1)=1413+2341312=112+312=13,P(X=2)=1416+341313+2341612=14,P(X=3)=2341613=112,P(X=4)=341616=148,所以X的分布列为X01234P5161314112148故数学期望E(X)=0516+113+214+3112+4148=13+12+14+112=76.3.解 四边形AA1B1B为正方形,A1B1BB1.又BFA1B1,BB1BF=B,A1B1平面BB1C1C.又ABA1B1,AB平面BB1C1C.ABBC.又BB1平面ABC,AB,BC
7、,BB1两两互相垂直.以B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则点B(0,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1),得BF=(0,2,1),EF=(-1,1,1).设点D(,0,2)(02),则DE=(1-,1,-2).(1)证明:BFDE=0+2-2=0,BFDE,BFDE.(2)AB平面BB1C1C,n=(1,0,0)为平面BB1C1C的一个法向量.设平面DFE的一个法向量为m=(x,y,z),则mDE=0,mEF=0,即(1-)x+y-2z=0,-x+y+z=0.取x=3,则y=1+,z=2-.m=(3,1+,2-)为平面DFE的一
8、个法向量.cos=mn|m|n|=322-2+14 .设平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的平面角为,则sin =1-cos2=1-922-2+14.要使sin 最小,只需922-2+14最大,又02,当=12时,922-2+14最大,即sin 最小,此时B1D=12.故当B1D=12时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小.4.解 (1)因为a1,an,Sn为等差数列,所以2an=a1+Sn,所以2an+1=a1+Sn+1,两式相减得2an+1-2an=Sn+1-Sn,即an+1=2an,所以数列an是以2为公比的等比数列.又b1=6,bn=Sn+1an+4,所以6=a
9、1+1a1+4,解得a1=1,所以an=2n-1,Sn=1-2n-121-2=2n-1.所以bn=2n-1+12n-1+4=2n+12n-1+3,所以Tn=b1+b2+bn=2+121-1+3+22+122-1+3+2n+12n-1+3=(2+22+2n)+1+12+12n-1+3n=2-2n21-2+1-12n-1121-12+3n=2n+1-12n-1+3n,所以Tn=2n+1-12n-1+3n.(2)由(1)得不等式为3n-202n-1643n-202n-1,令cn=3n-202n-1,则cn+1-cn=3(n+1)-202n-3n-202n-1=23-3n2n,所以当00,即cn+1cn,当n7,nN*时,cn+1-cn0,即cn+164132,即7m-42,解得m67.
