1、2020 年高三学期期初第一次模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数 z 满足iiz217（i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数zA.i31B.i31C.i3D.i32.集合22xxA，40,xxy
2、yB，则下列关系正确的是A.BCARB.ACBRC.BCACRRD.RBA3.已知直线l：0myx经过抛物线C：022ppxy的焦点，l 与C 交于 A、B 两点，若6AB，则 p 的值为A.21B.23C.1D.24.九章算术中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=21（弦矢+矢 矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦 AB 等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式
3、算得该弧田的面积为 27 平方米，则AOBcosA.251B.253C.51D.2575.某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学 20 人，语文 20 人，英语 20 人，数学、英语两科满分者8 人，数学、语文两科满分者7 人，语文、英语两科满分者9 人，三科都没得满分者3人.这个班最多、最少人分别是A.39,45B.38,46C.38,45D.39,466.已知，是三个不同的平面，m，n，则A.若nm，则 B.若，则nm C.若nm/，则/D.若/，则nm/7.数列 na的前 n 项和kSnn 3（*Nn，k 为常数），那么下面结论正确的是A.0k时，na是等比数列B.k 为任意实数时
4、，na是等比数列C.1k时，na是等比数列D.na不可能是等比数列8.已知四边形 ABCD，120BAD，60BCD，2 ADAB，则 AC 的最大值为A.334B.4C.338D.8二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。9.下列说法正确的是A.若 x，0y，2 yx，则yx22 的最大值为4；B.若21x，则函数1212xxy的最大值为 1；C.若 x，0y，3xyyx，则 xy 的最小值为1；D.函数xxy42cos4sin1的最小值为9.10.已知函数
5、0,0,0sinAxAxf的部分图像如图所示，其图像最高点和最低点的横坐标分别为 12 和 127，图像在 y 轴上的截距为3.给出下列命题正确的是A.xf的最小正周期为 2；B.xf的最大值为 2；C.14f；D.6xf为偶函数11.已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是A.若ba，dc，则bdac B.若0ab，0 adbc，则0 bdacC.若ba，dc，则cbdaD.若ba，0 dc，则cbda 12.已知函数 xf是定义在 R 上的奇函数，当0 x时，1xexfx，则下列命题正确的是A.当0 x时，1xexfxB.函数 xf有3个零点C.0 xf的解集为 1,01,D.R
6、xx21,，都有 221xfxf三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.从6,5,4,3,2这5 个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为.14.已知圆C：0211022yyx与双曲线0,012222babyax的渐近线相切，则该双曲线的离心率为.15.已知正三棱锥ABCS 的侧棱长为34，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积为.16.为了学习中央号召的“工匠精神”，某校组织学生开展工件制作活动，如右图是某小组设计的一个工件的横截面图，该工件由一个圆柱与一个三棱锥构成，AB 是圆柱横截面O 的直径，点C 为O 上一点，BCOE 于点 H，交O 于点 E，点
7、 D为 OE 的 延 长 线 上 一 点，DC 的 延 长 线 与 BA 的 延 长 线 交 于 点 F，且BCDBOD，连接 BD、AC、CE，过 E 作FDEG 于点G，如果1AF，33sinFCA，则EG.四、解答题：本题共 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）在2c；32b2223cabba这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，求CBF的大小和 ABF的面积.问题：已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2a.设 F 为线段 AC 上一点，BFCF2，.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12 分）已知数
8、列 na中，ma 1，且1231naann，Nnnabnn.（1）判断数列 nb是否为等比数列，并说明理由；（2）当2m时，求数列 nna1的前 2020 项和2020S.19.（12 分）某地以农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验，播种了5000 粒种子，已知这批水稻种子的发芽率为9.0，成活率为8.0，先对没有发芽的种子进行补种，每粒需要再补种3粒种子，以确保能够正常发芽，记补种的种子数为 X.科研站之后要将这一批成功长成的植株送出，最初有30 人参加，该科研站设置了第 Nnn个月中签的名额为162 n，并且抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人比中签的人数少 2 人，如果某次抽签的
9、人全部中签，则活动立刻结束.（1）随机地抽取一粒，求这粒水稻种子能够成长为幼苗的概率；（2）求 X 的方差；（3）求任意一人参加活动时间的期望.20.（12 分）如图，四棱锥ABCDP 中，底面 ABCD 为矩形，PA底面 ABCD，6 ABPA，点 E 是棱 PB 的中点.（1）求直线 AD 与平面 PBC 的距离；（2）若3AD，求二面角DECA的平面角的余弦值.21.（12 分）已知动圆过定点 0,4A，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为8.（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点 0,1B，设不垂直于 x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PBQ的角平分
10、线，证明直线l 过定点.22.（12 分）设函数 Raxaaxxxxf2ln2.（1）若函数 xf有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（2）若2a，Nk，222xxxg，且当2x时不等式 xfxgxk 2恒成立，试求 k 的最大值.2020 年高三学期期初第一次模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。一、选择题：本题
11、共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数 z 满足iiz217（i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数zA.i31B.i31C.i3D.i3【答案】B解：iiiiiiiz311552121217，iz31，故选 B.2.集合22xxA，40,xxyyB，则下列关系正确的是A.BCARB.ACBRC.BCACRRD.RBA【答案】C解：2020 xxyyB，20,22xxxCxxxCRBRA或或，故选 C.3.已知直线l：0myx经过抛物线C：022ppxy的焦点，l 与C 交于 A、B 两点，若6AB，则 p 的值为A.21B.
12、23C.1D.2【答案】B解：设 2211,yxByxAl 经过抛物线焦点0,2p02mpl 方程为：04324220222222ppxxpxppxxpxypxypyx23,6321ppppxxAB选 B.4.九章算术中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=21（弦矢+矢 矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦 AB 等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田
13、的面积为 27 平方米，则AOBcosA.251B.253C.51D.257【答案】A解：过O 作ABOM 于点 M，设dOMrOB,276212 drdr10762drdrdr9922drdrQ25725921sin212coscos452AOBdr，故选 D.5.某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学 20 人，语文 20 人，英语 20 人，数学、英语两科满分者8 人，数学、语文两科满分者7 人，语文、英语两科满分者9 人，三科都没得满分者3人.这个班最多、最少人分别是A.39,45B.38,46C.38,45D.39,46【答案】D解：设 数 学，语 文，英 语 均 的 满 分
14、数 x 人，故 这 个 班 共 有xxxx39339420463939,70070 xxxx故选 D.6.已知，是三个不同的平面，m，n，则A.若nm，则 B.若，则nm C.若nm/，则/D.若/，则nm/【答案】D解：如图满足nm 但 不与 垂直 A 错如图m,与 n 重合了故 B 错如图nm/但 不与 平行，C 错D 时面面平行的性质定理正确，故选 D.7.数列 na的前 n 项和kSnn 3（*Nn，k 为常数），那么下面结论正确的是A.0k时，na是等比数列B.k 为任意实数时，na是等比数列C.1k时，na是等比数列D.na不可能是等比数列【答案】A解：kSnn 3当2n时kSnn
15、1132n时，113 nnnnSSa当 na为等比数列时，kSa311也满足上试1,23kk故选 C.8.已知四边形 ABCD，120BAD，60BCD，2 ADAB，则 AC 的最大值为A.334B.4C.338D.8【答案】C解：180BCDBADDCBA,四点共圆由2 ADAB得ABDBD32外接圆的直径为4120sin324max AC故选 B.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。9.下列说法正确的是A.若 x，0y，2 yx，则yx22 的最大值为
16、 4；B.若21x，则函数1212xxy的最大值为1；C.若 x，0y，3xyyx，则 xy 的最小值为1；D.函数xxy42cos4sin1的最小值为9.【答案】BD解：A:42222 yxyxA 错；B:1121121121212xxxxyB 错；C:11023max xyxyxyxyxyyxC 错；D：4cossin4sincos1cossincos4sin1cos4sin12222222222xxxxxxxxxxy9425cossin4sincos52222xxxx，当且仅当xx22sin2cos时取“=”，故选 D 正确.选 BD.10.已知函数 0,0,0sinAxAxf的部分图像
17、如图所示，其图像最高点和最低点的横坐标分别为12 和 127，图像在 y 轴上的截距为3.给出下列命题正确的是A.xf的最小正周期为 2；B.xf的最大值为 2；C.14f；D.6xf为偶函数【答案】BC解：由题意得222121272TT xAxf2sin当12x时zkkk,232260k时，2323032sin3AAfxAxf 32sin2xxfA 错；B 正确；C 正确；D 错.选 BC.11.已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是A.若ba，dc，则bdac B.若0ab，0 adbc，则0 bdacC.若ba，dc，则cbdaD.若ba，0 dc，则cbda【答案】ABC解
18、：A：取0,1,3,2dcba则dcba,但02bdac故 A 错；B：由0 adbc两边同除以0bdacabB 正确；C：cbdacdba,C 正确；D:取2,4,2,1dcba则0,dcba但cbdacbda,21,21D 错，故选 BC.12.已知函数 xf是定义在 R 上的奇函数，当0 x时，1xexfx，则下列命题正确的是A.当0 x时，1xexfxB.函数 xf有3个零点C.0 xf的解集为 1,01,D.Rxx21,，都有 221xfxf【答案】BCD解：当0 x时，0 x，1xexfx，1xexfx，1xexfx，故 A 错；当0 x时，1xexfx，2xexfx当2x时，0
19、xf，xf单调递减；当02x时，0 xf，xf单调递增；212efxf极小值由图像知 xf有3个零点分别为1,0,1，故 B 正确；0 xf的解集为 1,01,，故 C 正确；21121xfxf，故 D 正确.故本题选 BCD.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.从6,5,4,3,2这5 个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为.【答案】52解：奇数5,3；偶数6,4,2；任取3个数，3个数之和为偶数的概率为5210435132233CCCCP.14.已知圆C：0211022yyx与双曲线0,012222babyax的渐近线相切，则该双曲线的离心率为.【答
20、案】25解：圆C：45021102222yxyyx，圆心为5,0，双曲线的一条渐近线方程为0aybxxaby圆C 与双曲线的渐近线相切，2525522accabaad双曲线的离心率为25e.15.已知正三棱锥ABCS 的侧棱长为34，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积为.【答案】64解：设 S 在底面 ABC 上的射影点为O，O 为 ABC的中心323332AO，61248SO外接球球心 M 位于直线 SO 上，设xOM，xSM6222222123612612612xxxxxxxSMAM22412xx外接球半径4r，64442 表S.16.为了学习中央号召的“工匠精神”，某校组织学生开展
21、工件制作活动，如右图是某小组设计的一个工件的横截面图，该工件由一个圆柱与一个三棱锥构成，AB 是圆柱横截面O 的直径，点C 为O 上一点，BCOE 于点 H，交O 于点 E，点 D为 OE 的 延 长 线 上 一 点，DC 的 延 长 线 与 BA 的 延 长 线 交 于 点 F，且BCDBOD，连接 BD、AC、CE，过 E 作FDEG 于点G，如果1AF，33sinFCA，则EG.【答案】633解：连接OC，易得 FD 为圆O 的切线且 DB 也为圆O 的切线，故ODAC/，CDHFCABCDBOD，ODBOBHCDH33sinFCA，33sinODB，rOB，rOD3，rBD231312
22、1cosFDB，322sinFDB，rrFDB22122tan，得21r23OD，213 DE，63333213sinEDGDEEG.四、解答题：本题共 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）在2c；32b；2223cabba这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，求CBF的大小和 ABF的面积.问题：已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c，2a.设 F 为线段 AC 上一点，BFCF2，.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：选：则2 ca，32b，有余弦定理可得212cos222acbcaABC，又,0ABC，32A
23、BC，6CA在 BCF中，有正弦定理可得CBFCBFCFsinsinBFCF2，22sinCBF又32ABCCBF，4CBF125432ABF，1256125AFB则在 ABF中，AFBABF2ABAF16sin2221ABFS.选：2a，32b，2223cabba，2c有余弦定理可得：232cos222abcbaC又,0C，6C6CA，32CAABC在 BCF中，有正弦定理可得CBFCBFCFsinsinBFCF2，22sinCBF又32CBACBF，4CBF125432ABF，1256125AFB则在 ABF中，AFBABF2ABAF16sin2221ABFS.选：2 ca，2223cab
24、ba，则abcba3222有余弦定理可得：232cos222abcbaC又,0C，6Cca，6CA，32CAABC，在 BCF中，有正弦定理可得CBFCBFCFsinsinBFCF2，22sinCBF又32CBACBF，4CBF125432ABF，1256125AFB则在 ABF中，AFBABF2ABAF16sin2221ABFS.18.（12 分）已知数列 na中，ma 1，且1231naann，Nnnabnn.（1）判断数列 nb是否为等比数列，并说明理由；（2）当2m时，求数列 nna1的前 2020 项和2020S.解：（1）1231naannnnnnnbnannanab3311231
25、11当10 x时，01 b，故数列 nb不是等比数列；当1m时，数列 nb是等比数列，其首项为011 mb，公比为3.（2）由（1）知当1m时，nnnnnab3331，即nann 3 nannnn131 4404331010433202020194321313132021202120202020S.19.（12 分）某地以农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验，播种了5000 粒种子，已知这批水稻种子的发芽率为9.0，成活率为8.0，先对没有发芽的种子进行补种，每粒需要再补种3 粒种子，以确保能够正常发芽，记补种的种子数为 X.科研站之后要将这一批成功长成的植株送出，最初有30 人参加，该科
26、研站设置了第 Nnn个月中签的名额为162 n，并且抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人比中签的人数少 2 人，如果某次抽签的人全部中签，则活动立刻结束.（1）随机地抽取一粒，求这粒水稻种子能够成长为幼苗的概率；（2）求 X 的方差；（3）求任意一人参加活动时间的期望.解：（1）设事件 A 表示“发芽水稻”；事件 B 表示“出芽后的幼苗成活”，则 8.0AP，9.0BP在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为 72.09.08.0BPAPABP.（2）没有发芽的种子Y 服从二项分布，1.0,5000 BY，由题意知YX3，则DYYDDX93，又pnpDY1所以8
27、55DX，即 X 的方差为855（3）41230162nnn，故其中一人参加活动的时间 X 的可能取值为4,3,2,15330181XP；722820301812 XP；45544262228201301813 XP；455812622128201301814 XP；则其中一人参加活动的时间期望为 45569745584455443722531XE.20.（12 分）如图，四棱锥ABCDP 中，底面 ABCD 为矩形，PA底面 ABCD，6 ABPA，点 E 是棱 PB 的中点.（1）求直线 AD 与平面 PBC 的距离；（2）若3AD，求二面角DECA的平面角的余弦值.解：（1）如图，以 A
28、 为坐标原点，AB、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系xyzA设0,0 aD，则 0,0,6B，0,6 aC，6,0,0P，26,0,26E.因此26,0,26AE，0,0 aBC，6,6aPC.则0 BCAE，0 PCAE，所以AE平面 PBC.又由BCAD/知/AD平面 PBC，故直线 AD 与平面 PBC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离，即为3AE.（2）设平面 AEC 的法向量为1111,zyxn，因为26,0,26AE，0,3,6AC，所以036026261111yxzx令11x，得21 y，11 z，所以1,2,11n.设平面 EDC 的法向量为2
29、222,zyxn 因为26,3,26EC，0,0,6CD所以060263262222xzyx令22 z，得12 y，所以2,1,02 n故36cos212121nnnnnn所以二面角DECA的平面角的余弦值为 36.21.（12 分）已知动圆过定点 0,4A，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为8.（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点 0,1B，设不垂直于 x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PBQ的角平分线，证明直线l 过定点.解：（1）由题意知动圆过定点 0,4A，设线段 MN 的中点为 E由图像知2MNME，xyxyxECMECMCA844222222
30、222.故动圆圆心的轨迹C 的方程为xy82.（2）设直线l 的方程为bkxy，联立bkxyxy82，得02882222222bxkbxkxbkbxxk（其中0）设 bkxxP11,，bkxxQ22,则22128kkbxx，2221kbxx若 x 轴是PBQ的角平分线，则 1111112121212211xxxbkxxbkxxbkxxbkxkkQBPB01181122212212121xxkbkxxbxxbkxkx，即bk，故直线l 的方程为1xky，直线l 过定点0,1.22.（12 分）设函数 Raxaaxxxxf2ln2.（1）若函数 xf有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围；（2
31、）若2a，Nk，222xxxg，且当2x时不等式 xfxgxk 2恒成立，试求k 的最大值.解：（1）由题意知，函数 xf的定义域为,0，axxaxxxfln11ln令 0 xf，可得xxaln令 0lnxxxxh，则有题意可知直线ay 与函数 xh的图像有两个不同的交点，2ln1xxxh，令 0 xh，得ex，可知 xh在e,0上单调递增，在,e上单调递减，ehxhmax，当0 x时，xh，当x时，0 xh，故实数 a 的取值范围为e1,0.（2）当2a时，xxxxxf2ln2，xfxgxk 2，即 xxxxxxxk2ln22222，整理得 2ln2xxxk因为2x，所以2lnxxxxk设 22lnxxxxxxF，则 22ln24xxxxF令 2ln24xxxxm，则 021xxm，所以 xm在,2上单调递增，注意到 044ln248ln2482em，066ln2610ln26103em，所以函数 xm在10,8上有唯一的零点0 x，即0ln2400 xx，故当02xx 时，0 xm，即 0 xF，当0 xx 时，0 xF，所以 222412ln000000000minxxxxxxxxxFxF，所以20 xk 因为10,80 x，所以5,420 x，故 k 的最大值为 4.
