1、第二课 证明不等式的基本方法【网络体系】【核心速填】1.比较法(1)作差比较法的依据:若a,bR,则_ab;a-b=0a=b;_a0,b0,则_ab;=1a=b;_a0 a-b0,求证:3a3+2b33a2b+2ab2.【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2).因为ab0,所以a-b0,3a2-2b22a2-2b20.从而(3a2-2b2)(a-b)0,故3a3+2b33a2b+2ab2成立.【方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤(1)依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件.(2)一般步骤:作差;恒等变形;判断结果的
2、符号;下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形.【变式训练】1.(2016南阳高二检测)已知a,b是正实数,n是正整数.求证:(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).【证明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an).当ab0时,bn-an0,此时(a-b)(bn-an
3、)a0时,bn-an0,a-b0,此时(a-b)(bn-an)0时,bn-an=0,a-b=0,此时(a-b)(bn-an)=0.综上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)0.即(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).2.(2016福州高二检测)已知(0,),求证:2sin2 sin.1 cos【证明】2sin2-=4sincos-因为(0,),所以sin0,1-cos0,又(2cos-1)20,所以2sin2-0,所以2sin2 .sin1 cossin1 cos 22sin(4cos4cos1)sin(2cos1),1 cos1 cossin1 cossin1
4、cos类型二 综合法证明不等式【典例2】已知a0,a2-2ab+c2=0且bca2,试证明:bc.【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab.又a2+c22ac,且a0,所以2ab2ac,所以bc.若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b.从而a=b=c,这与bca2矛盾.从而bc.【方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思考方向(1)依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.(2)注意点:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条
5、件,即对重要不等式中“当且仅当时,取等号”的理由要理解掌握.(3)思考方向:综合法证明不等式的思考方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.【变式训练】1.(2016昆明高二检测)已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2.【解题指南】因为a,b是不相等的正实数,所以a2b+a+b2及ab2+a2+b均可用三正数的均值不等式,从而用综合法可证明.【证明】因为a,b是正实数,所以a2b+a+b23 =3ab0,(当且仅当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立);同理:ab2+a2+b3 =3a
6、b0,(当且仅当ab2=a2=b即a=b=1时,等号成立);223 a b a b223 ab a b所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2,(当且仅当a=b=1时,等号成立);因为ab,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2.2.若a,b,c都是正数,能确定 与 的大小吗?【解析】能确定,因为a,b,c都是正数,+(b+c)4a,+(a+c)4b,+(a+b)4c,所以 2(a+b+c),所以 222abcb cacababc2 24bac24cab2224a4b4cb cacab222abcab c.b cacab2 24ab c类型三 分析法证明不等式【典
7、例3】设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10.求证:logac+logbc4lgc.【证明】由于a1,b1,故要证明logac+logbc4lgc,只要证明 4lgc.又c1,故lgc0,所以只要证 4即 4,因ab=10,故lga+lgb=1,只要证明 4.(*)lg clg clg alg b11lg alg blg alg blg alg b1lg alg b由a1,b1,故lga0,lgb0,所以0lgalgb 即(*)式成立.所以,原不等式logac+logbc4lgc得证.22lg alg b11()().224【方法技巧】分析法证明不等式的依据,思维方向及适用方法(1)依据:
8、分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)思维方向:分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(3)适用方法:当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.【变式训练】设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数y=f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求证:为偶函数.1f(x)2【证明】要证 为偶函数,只需证明其对称轴 为x=0,即只需证 =0,只要证a=-b,由已知,抛物线f(x+1)的对
9、称轴x=-1与对称轴x=关于y轴对称,所以 -1=,所以a=-b,所以 为偶函数.1f(x)2b12a2b2ab2ab2ab2a1f(x)2类型四 反证法与放缩法证明不等式【典例4】已知0 x2,0y2,0z1,y(2-z)1,z(2-x)1均成立.则三式相乘有:xyz(2-x)(2-y)(2-z)1,由于0 x2,所以0 x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+11,同理:0y(2-y)1,且0z(2-z)1,所以三式相乘得0b0,m0,则 所以 （）11112n 1(1)1(1)(1).3572n 12ama，bmb12k12k 12k 12k1，2k所以 所以 4 4 6 6 8 82n2n4 5 6 7 8 92n2n 13 3 5 5 7 72n 1 2n 13 4 5 6 7 82n 12n（）（）21111(1)1(1)13572n 12n 12n 1，34（）（）11112n 1(1)1(1)1.3572n 122.设Sn=求证:不等式 对所有的正整数n都成立.1 22 3n n 1,2nn n 1n 1S22【证明】因为 且 所以 对所有的正整数n都成立.222nn n 1S12n1 2n.2 n1 22 3nn 1352n 1135S222222222 2n 12n 1.222nn n 1n 1S22
