1、4.2随机变量4.2.1随机变量及其与事件的联系学 习 任 务核 心 素 养1理解随机变量的含义(重点)2能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义(难点)3会借助随机变量间的关系解题(易错点)1通过学习随机变量，培养数学抽象的素养2借助随机变量间的关系解题，提升数学运算的素养姚明每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？提示(1)投进零个球0分；(2)投进1个球1分；(3)投进2个球2分；(4)投进3个球3分知识点1随机变量(1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间为，而且对于中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量(2)表示：用大写英文
2、字母X，Y，Z，或小写希腊字母，表示(3)取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围随机变量的取值由什么决定？提示随机变量的取值由随机试验的结果决定提醒：随机变量实质上是把随机试验的结果数量化随机试验的结果不一定是数，但它可以用数来表示如投掷一枚硬币，X0表示正面向上，X1表示反面向上这样就建立其所有可能的试验结果与实数的一个对应关系1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量()(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量()(4)在掷一枚质地均匀的骰子试
3、验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值()答案(1)(2)(3)(4)知识点2随机变量与事件的联系一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么Xa，Xb，Xb等都表示事件，而且：(1)当ab时，事件Xa与Xb互斥；(2)事件Xa与Xa相互对立，因此P(Xa)P(Xa)12(对接教材P65练习BT3)若P(X1)0.7，则P(X1)_0.3P(X1)P(X1)1，P(X1)1P(X1)10.70.3知识点3随机变量的分类(1)离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出来的，那么其是离散型随机变量(2)连续型随机变量：与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，连续
4、型随机变量的取值范围包含一个区间3下列变量中，是离散型随机变量的是()A到2020年10月1日止，我国发射的卫星B一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C某人在车站等出租车的时间D某人投篮10次，可能投中的次数D离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知D正确知识点4随机变量之间的关系如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a0，则YaXb也是一个随机变量，且P(Xt)P(Yatb)4如果X是一个离散型随机变量，且YaXb，其中a，b是常数且a0，那么Y()A不一定是随机变量B一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C可能是定值D一定是离散型随机变量D由于X是离散型随机变量且YaXb，故Y与X
5、成线性关系，所以Y一定是离散型随机变量 类型1随机变量的判断【例1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)标准大气压下，水沸腾的温度；(2)王老师在某天内接电话的次数；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长解(1)在标准大气压下，水沸腾的温度是100 ，是常量，故不是随机变量；(2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随机变量；(3)作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因此是随机变量；(4)体积是64 cm3的正方体的棱长是4 cm，因此不是随机变量随机变量的辨析方法1随机试验的
6、结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同2随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量1指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29这一范围内变化，该水位站所测水位解(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变
7、量(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29这一范围内变化，不能按次序一一列举 类型2随机变量的取值范围及其应用随机变量有哪些基本特征？提示随机变量的三个特征：可用数值表示；试验之前可以判断随机变量可能出现的所有值；在试验之前不能确定一次试验会出现哪一个结果，这就是“随机”的意义【例2】写出下列随机变量的取值范围(1)张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗为；(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数；(3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数；(4)电
8、台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间分钟解(1)的取值范围为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10(2)的取值范围为1,2,3,4,5,6(3)的取值范围为3,4,5(4)的取值范围为0,59.5(变条件)本例(1)中，若每成活一棵树，政府给予补贴5元，试写出张大爷获得补贴Y元与成活树苗的关系，并指出Y的取值范围解由题意可知Y5，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10故Y的取值范围为0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50随机变量的取值范围类同于函数的值域，因此只要明确随机变量的取值同试验结果的对应关系，即可求出
9、随机变量的取值范围.2袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A1,2，6 B1,2，7C1,2，11 D1,2,3，5B从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出白球，也有可能取完6个红球后才取出白球 类型3随机事件的关系及其应用【例3】(对接教材P64例2)某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪800元，每工作1 h再获取15元从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X h，获取的税前月工资为Y元(1)当X100时，求
10、Y的值；(2)写出X与Y之间的关系式；(3)若P(X120)0.8，求P(Y2 600)的值解(1)当X100时，表示工作了100个小时，所以Y100158002 300(2)根据题意有Y15X800(3)因为X120，故15X8002 600，即Y2 600所以P(Y2 600)P(X120)0.8，从而P(Y2 600)10.80.21求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义对于变量间的关系问题，可类比函数关系求解2对立事件的概率和为1，常借助此关系求对立事件的概率3某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1 500元，每工作1天再获取100元从该商场促销员中任意抽取一
11、名，设其月工作时间为X天，获取的税前月工资为Y元(1)当X25时，求Y的值；(2)写出X与Y之间的关系式；(3)若P(Y3 500)0.7，求P(X20)的值解(1)当X25时，Y251001 5004 000(2)由题意可知Y100X1 500(3)由Y3 500可知100X1 5003 500，即X20P(X20)P(Y3 500)0.7，P(X20)10.70.31给出下列四个命题：15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；一条河流每年的最大流量是随机变量；一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量其中正确的个数是()
12、A1 B2 C3 D4D由随机变量定义可以直接判断都是正确的故选D2某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则5表示的试验结果是()A第5次击中目标B第5次未击中目标C前4次均未击中目标D第4次击中目标C5表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C3甲、乙两人下象棋，规定：每局获胜得3分，平局得1分，失败得0分若甲、乙两人共下三局，用表示甲的得分，则3表示()A甲胜三局B甲胜一局C甲、乙平局三次D甲胜一局或甲、乙平局三次D由于每局获胜得3分，平局得1分，失败得0分，故3可表示300或者111两种情况，即甲胜一局或甲、乙平局三次，故选D4袋中有大小相
13、同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的取值范围是_2,3,4,5,6,7,8,9,10由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,105甲进行3次射击，击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为，则的可能取值为_0,1,2,3甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次回顾本节内容，自我完成以下内容：1随机变量与函数有哪些相同点和不同点？提示随机变量函数相同点都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域不同点把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果把实数映射为实数，即函数的自变量是实数2如何判断一个随机变量是不是离散型随机变量？提示判断一个随机变量X是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体步骤如下：(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量(2)由条件求解随机变量的值域(3)判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量
