1、解答题1.已知函数f(x)|x2|2|x1|.(1)解不等式f(x)2.(2)对任意xa，)，都有f(x)xa成立，求实数a的取值范围.解(1)f(x)f(x)2，当x2时，x42，即x2，所以x；当2x1时，3x2，即x，所以x1，当x1时，x42，即x6，所以1x6，综上，不等式f(x)2的解集为.(2)f(x)函数f(x)的图象如图所示：令yxa，a表示直线的纵截距，当直线过(1，3)点时，a2；所以当a2，即a2时成立；当a2，即a2时，令x4xa，得x2，所以a2，即a4时成立，综上可知a的取值范围为(，24，).2.已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1.(
2、1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且m，求证：a2b3c9.(1)解f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0且其解集为x|mxm.又f(x2)0的解集为1，1，故m1.(2)证明由(1)知1，且a，b，c大于0，a2b3c(a2b3c)332229.当且仅当a2b3c3时，等号成立.因此a2b3c9.3.已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式：|g(x)|5.(2)若对任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围.解(1)由|x1|2|5得5|x1|25，所以7|x1|3，可得不等式的解集为(2，
3、4).(2)因为任意x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x)，又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为(，51，).4.设a，b，c0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2)().证明(1)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca).即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2 (当且仅当abc时等号成
4、立)证得.原不等式成立.(2).由于(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明.即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca (abc时等号成立).原不等式成立.5.(2016许昌、新乡、平顶山模拟)(1)解不等式：|2x1|x|1；(2)设f(x)x2x1，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1).(1)解当x0时，原不等式可化为2xx0，解得x0，又x0，x不存在；当0x时，原不等式可化为2xx0，解得x0，又0x，0x；当x时，原不等式可化为2x1x1.解得x2，又x，x2，综上，原不等式的解集为x|0x2.(2)证明|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)，|f(x)f(a)|2(|a|1).6.(2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)2得2x1，所以1x；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.(2)证明由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|.
