1、高考资源网() 您身边的高考专家微专题28空间向量在立体几何中的应用真 题 感 悟(2018江苏卷)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,ABAA12,点P,Q分别为A1B1,BC的中点(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值解如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,设AC,A1C1 的中点分别为O,O1,连接OB,OO1,则OBOC,OO1OC,OO1OB,以,为基底,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为ABAA12,所以A(0,1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2)(1)因为
2、P为A1B1的中点,所以P,从而,(0,2,2),故|cos,|.因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点,所以Q,因此,(0,2,2),(0,0,2)设n(x,y,z)为平面AQC1的一个法向量,则即不妨取n(,1,1)设直线CC1与平面AQC1所成角为,则sin |cos,n|,所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.考 点 整 合1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a(a1,b1,c1),平面,的法向量分别为(a2,b2,c2),(a3,b3,c3),则(1)线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直laa
3、ka1ka2,b1kb2,c1kc2.(3)面面平行a2a3,b2b3,c2c3.(4)面面垂直0a2a3b2b3c2c30.2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l,m的方向向量分别为a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2),平面,的法向量分别为(a3,b3,c3),(a4,b4,c4).(1)线线夹角设l,m的夹角为(0),则cos .(2)线面夹角设直线l与平面的夹角为(0),则sin |cosa,|,(3)面面夹角设平面,的夹角为(0),则|cos |cos,|.热点一向量法证明平行与垂直【例1】 如图,在直三棱柱ADEBCF中,平面ABFE和平面ABCD都是正方
4、形且互相垂直,M为AB的中点,O为DF的中点,运用向量方法求证:(1)OM平面BCF;(2)平面MDF平面EFCD.证明法一由题意,得AB,AD,AE两两垂直,以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),F(1,0,1),M,O.(1),(1,0,0),0,.棱柱ADEBCF是直三棱柱,AB平面BCF,是平面BCF的一个法向量,又OM平面BCF,OM平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1(x1,y1,z1),n2(x2,y2,z2).(1,1,1),(1,0,0),(0,1,1)
5、,由得解得令x11,则n1.同理可得n2(0,1,1).n1n20,平面MDF平面EFCD.法二(1)()().向量与向量,共面,又OM平面BCF,OM平面BCF.(2)由(1)及题意知,BF,BC,BA两两垂直,0,()220.OMCD,OMFC,又CDFCC,CD,FC平面EFCD,OM平面EFCD.又OM平面MDF,平面MDF平面EFCD.探究提高解决本类问题的关键是建立恰当的坐标系,用坐标表示向量或用基底表示向量,证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.【训练1】 如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,PAAB2,BAD60,E是PA的中点.(1)求证:直线
6、PC平面BDE;(2)求证:BDPC.证明连接AC,交BD于点O.因为BAD60,AB2,底面ABCD为菱形,所以BO1,AOCO,ACBD.如图,以O为坐标原点,以OB,OC所在直线分别为x轴、y轴,过点O且平行于PA的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,2),A(0,0),B(1,0,0),C(0,0),D(1,0,0),E(0,1).(1)设平面BDE的法向量为n1(x1,y1,z1),因为(1,1),(2,0,0),所以由得令z1,得y11,所以n1(0,1,).又(0,2,2),所以n10220,即n1,又PC平面BDE,所以PC平面BDE.(2)因为(0,2,2),(
7、2,0,0),所以0.故BDPC.热点二利用空间向量求空间角【例2】 如图,在直三棱柱A1B1C1ABC中,ABAC,ABAC2,A1A4,点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.解(1)由题意知,AB,AC,AA1两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以(2,0,4),(1,1,4).因为cos,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(
8、x,y,z),因为(1,1,0),(0,2,4),所以n10,n10,即xy0且y2z0,取z1,得x2,y2,所以,n1(2,2,1)是平面ADC1的一个法向量.取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0),设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |,得sin .因此,平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.探究提高(1)利用法向量求解空间线面角与二面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.(2)利用法向量的根据是两个半平面的
9、法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补,在能断定所求二面角的平面角是锐角或钝角的情况下,这种方法具有一定的优势,但要注意,必须能断定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”,在用法向量法求二面角的大小时,务必要作出这个判断,否则解法是不严谨的.【训练2】 (2018全国卷)如图,四边形ABCD为正方形, E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明由已知可得,BFPF,BFEF,又PFEFF,PF,EF平面PEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PE
10、F平面ABFD.(2)解作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.以H为坐标原点,分别以,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得,DEPE.又DP2,DE1,所以PE.又PF1,EF2,故EF2PE2PF2,所以PEPF.可得PH,EH.则H(0,0,0),P,D,又为平面ABFD的一个法向量.设DP与平面ABFD所成角为,则sin .所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.热点三向量法解决立体几何中的探索性问题【例3】 (2019南通模拟)如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在的平面,且ABBP2,ADAE
11、1,AEAB,且AEBP.(1)求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值;(2)在线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.解由AEAB,且AEBP,得BPAB.又平面ABCD平面ABPE,平面ABCD平面ABPEAB,PB平面ABPE,所以PB平面ABCD,又BC平面ABCD,所以PBBC,又四边形ABCD为矩形,所以ABBC,故直线BA,BP,BC两两垂直,以B为原点,分别以BA,BP,BC为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),P(0,2,0),E(2,1,0)
12、,C(0,0,1),D(2,0,1).(1)设平面PCD的法向量为m(a,b,c),又(0,2,1),(2,0,0).故由不妨取m(0,1,2).平面ABPE的一个法向量为n(0,0,1).设平面PCD与平面ABPE所成的二面角的大小为,则由图可知,故cos |cosm,n|.所以平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值为.(2)假设线段PD上存在点N,使得直线BN与平面PCD所成角满足sin .即sin |cos,m|.设(2,2,1),其中0,1,则(2,22,).由(1)知平面PCD的一个法向量m(0,1,2),所以,即92810,解得1或(舍去).所以当N在点D处时,直线BN与平面
13、PCD所成角的正弦值等于.探究提高(1)确定点的坐标时,通常利用向量共线来求,如本例设,直接加入到线性运算中.(2)解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.【训练3】 (2016北京卷)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PAPD,ABAD,AB1,AD2,ACCD.(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.(1)证明
14、平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD.又ABAD,AB平面ABCD,AB平面PAD.PD平面PAD,ABPD.又PAPD,PAABA.PD平面PAB.(2)解取AD中点O,连接CO,PO,PAPD,POAD.又PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PO平面ABCD.CO平面ABCD,POCO.ACCD,COAD.以O为原点建立如图所示空间直角坐标系.易知P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,1,0),C(2,0,0).则(1,1,1),(0,1,1),(2,0,1).设n(x0,y0,1)为平面PDC的一个法向量.由得解得即n.设PB与平面PC
15、D的夹角为.则sin |cosn,|.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)解假设在棱PA上存在点M,使得BM平面PCD.设(0,1),因此点M(0,1,),(1,),因为BM平面PCD,所以BM平面PCD,当且仅当n0,即(1,)0,解得,所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD,此时.【新题感悟】 (2019南京高三模拟)如图,已知长方体ABCDA1B1C1D1,AB2,AA11,直线BD与平面AA1B1B所成角为30,AE垂直BD于点E,F为A1B1的中点.(1)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值;(2)线段C1D1上是否存在点P,使得二面角FBDP的余弦值为?若存在,确定P
16、点位置;若不存在,说明理由.解由AD平面AA1B1B,得BD与平面AA1B1B所成角为DBA30,又AB2,AD.在RtABD中,由AEBD易求得AE1.以,为正交基底建立平面直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1),D,E,C1,D1.(1)设平面BDF的法向量为n(x,y,z),则又,(1,0,1),可取n(1,1).又,cos,n.故AE与平面BDF所成角的正弦值为.(2)假设在线段C1D1上存在点P,使得二面角FBDP的余弦值为.设,0,1,则P,.设平面BDP的法向量为n1(x,y,z),则即可取n1(1,22).cosn,n1,化简得4228130或.01
17、,.故存在点P,满足题意,此时P为C1D1的中点.1.(2017江苏卷)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且ABAD2,AA1,BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角BA1DA的正弦值.解在平面ABCD内,过点A作AEAD,交BC于点E.因为AA1平面ABCD,AE,AD平面ABCD,所以AA1AE,AA1AD.如图,以,为正交基底,建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2,AA1,BAD120,则A(0,0,0),B(,1,0),D(0,2,0),E(,0,0),A1(0,0,),C1(,1,).(1)(,1,),(,1,
18、),则cos,因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为(,0,0).设m(x,y,z)为平面BA1D的一个法向量,又(,1,),(,3,0),则即不妨取x3,则y,z2,所以m(3,2)为平面BA1D的一个法向量,从而cos,m.设二面角BA1DA的大小为,则|cos |.因为0,所以sin .因此二面角BA1DA的正弦值为.2.如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,ABBCAD,BADABC90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角MABD的余弦
19、值.(1)证明取PA的中点F,连接EF,BF,因为E是PD的中点,所以EFAD,EFAD.由BADABC90得BCAD,又BCAD,所以EF綊BC,所以四边形BCEF是平行四边形,所以CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解由已知得BAAD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),(1,0,),(1,0,0).设M(x,y,z)(0x1),则(x1,y,z),(x,y1,z).因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n(0,0,1)是底面ABCD的
20、法向量,所以|cos,n|sin 45,则,即(x1)2y2z20.又M在棱PC上,设(0,1),则x,y1,z.由,解得(舍去),所以M,从而.设m(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则即所以可取m(0,2).于是cosm,n.易知所求二面角为锐角,因此二面角MABD的余弦值为.3.(2018全国卷)如图,在三棱锥PABC中,ABBC2,PAPBPCAC4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(1)证明因为APCPAC4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP2.连接OB,因为ABBCAC,所以AB
21、2BC2AC2,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB,OPAC且OBACO,OB,AC平面ABC,知PO平面ABC.(2)解如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),(0,2,2).取平面PAC的一个法向量(2,0,0).设M(a,2a,0)(0a2),则(0,4a,0).设平面PAM的法向量为n(x,y,z).由n0,n0得可取n(a4),a,a),所以cos,n.由已知可得|cos,n|,所以,解得a4(舍去
22、),a,所以n.又(0,2,2),所以cos,n.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.4.(2018苏州自主学习)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,ABCBAD90,且PAABBCAD1,PA平面ABCD.(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值;(2)棱PD上是否存在一点E满足AEC90?若存在,求AE的长;若不存在,请说明理由.解(1)依题意AB,AD,PA两两垂直,如图,以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz,则P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),从而(1,0,1),(1,1,1),(0,2,
23、1).设平面PCD的法向量为n(x,y,z),则n0,且n0,即xyz0,且2yz0,不妨取z2,则y1,x1,所以平面PCD的一个法向量n(1,1,2),此时cos,n,所以PB与平面PCD所成角的正弦值为.(2)假设棱PD上存在一点E满足AEC90.设(01),则E(0,2,1).则(1,21,1),(0,2,1),由AEC90得2(21)(1)20,化简得,52410,该方程无解,所以棱PD上不存在一点E满足AEC90.5.(2018天津卷)如图,ADBC且AD2BC,ADCD,EGAD且EGAD,CDFG且CD2FG,DG平面ABCD,DADCDG2.(1)若M为CF的中点,N为EG的
24、中点,求证:MN平面CDE;(2)求二面角EBCF的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60,求线段DP的长.解依题意,可以建立以D为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M,N(1,0,2).(1)证明依题意(0,2,0),(2,0,2).设n0(x,y,z)为平面CDE的法向量,则即不妨令z1,可得n0(1,0,1).又,可得n00,又因为直线MN平面CDE,所以MN平面CDE.(2)依题意,可得
25、(1,0,0),(1,2,2),(0,1,2).设n(x,y,z)为平面BCE的法向量,则即不妨令z1,可得n(0,1,1).设m(x,y,z)为平面BCF的法向量,则即不妨令z1,可得m(0,2,1).因此有cosm,n,于是sinm,n.所以二面角EBCF的正弦值为.(3)设线段DP的长为h(h0,2),则点P的坐标为(0,0,h),可得(1,2,h).易知,(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故|cos,|,由题意,可得sin 60,解得h0,2.所以线段DP的长为.6.(2019徐州市高三期中)如图,在平行四边形ABCD中,AB1,AD2,ABC,四边形ACEF为矩形,平面ACE
26、F平面ABCD,AF1,点M在线段EF上运动,且.(1)当时,求异面直线DE与BM所成角的大小;(2)设平面MBC与平面ECD所成二面角的大小为,求cos 的取值范围.解(1)在ABC中,AB1,BCAD2,ABC,则AC,所以AB2AC2BC2,即BAC.因为四边形ACEF为矩形,所以FAAC.因为平面ACEF平面ABCD,平面ACEF平面ABCDAC,FA平面ACEF,所以FA平面ABCD.所以FAAB,FAAC.建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0),D(1,0),E(0,1),F(0,0,1),当时,所以M.所以,(1,0,1),所以(1,0,1)0,所以,即异面直线DE与BM所成角的大小为.(2)平面ECD的一个法向量n1(0,1,0),设M(x0,y0,z0),由(0,0)(0,0)(x0,y0,z01),得即M(0,(1),1),所以(1,(1),1),(1,0).设平面MBC的法向量n2(x,y,z),因为即取y1,则x,z,所以平面MBC的一个法向量n2(,1,).因为0,所以cos .因为01,所以cos .高考资源网版权所有,侵权必究!