1、专题39 数列中的探索性问题数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：反设：设要证明的结论的反面成立作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论存真：否定反设，从而得出原命题结论成立一、题型选讲题型一、数列中项存
2、在的问题例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由例2、（江苏省响水中学2020年秋学期高三年级第三次学情分析考试）在，成等比数列，且；，且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，数列的前n项和为，若注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和（3）设等比数列的首项为2，公比为，其前项和为，若存在正整数，使得，求的值.例3、(2018无锡期末）已知数列an
3、满足，nN*，Sn是数列an的前n项和(1) 求数列an的通项公式；(2) 若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；(3) 是否存在kN*，使得为数列an中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由题型二、数列中的等差数列或者等比数列的存在问题例4、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）已知正项数列的前项和为,，其中为常数(1)证明：(2)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由例5、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，且2Snaan，数列bn满足b1，2bn1bn.
4、(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 设数列cn满足cn，求和c1c2cn；(3) 是否存在正整数p，q，r(pqr)，使得bp，bq，br成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p，q，r；若不存在，请说明理由题型三、数列中的参数的问题例6、（恩施高中郧阳中学沙市中学十堰一中随州二中襄阳三中）在为等比数列，,为等差数列，,为等比数列，。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。已知数列满足,数列满足_,为数列的前项和,是否存在正整数,使得成立?若存在,求出的最小值；若不存在,请说明理由。例7、【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn设与k是常数，若对一切正整数
5、n，均有成立，则称此数列为“k”数列（1）若等差数列是“1”数列，求的值；（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“3”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由（公众号：高中数学最新试题）二、达标训练1、【2020年高考山东】已知公比大于的等比数列满足（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和2、（徐州一中、兴化中学2021届两校联合第二次适应性考试）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求实数的取值范围；若问题中的不存在，请说明理由.设等差数列的前n项和为，数列的前n项和为， _，()，是否存在实数，对任意都有？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分3、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第二次月考）已知各项均为整数的数列满足，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)求出所有的正整数，使得4、(2019扬州期末）记无穷数列an的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令bn，数列an的前n项和为An，数列bn的前n项和为Bn.(1) 若数列an是首项为2，公比为2的等比数列，求Bn.(2) 若数列bn是等差数列，试问数列an是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明
