1、2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 1页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 2页2021 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学试卷命题学校：孝感高中 命题教师：陈文科 张享昌 秦小蓉 审题教师：钱程考试时间：2021 年 11 月 4 日下午 15:0017:00试卷满分：150 分一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）1 设集合2|log4Axx，1|02xBx x，则 AB（）A|22xx B|01xxC|21xx D|
2、01xx2 已知平面向量(1,1),(2,0)ab，若2abakb，则 k 的值为（）A 2B 34C 12D 23 函数ln 22()xxf xx的图象大致为（）ABCD4 若1cos 63，则sin26（）A79B 2 23C 79D 4 295 已知偶函数 fx 在,0上单调递增，则满足1(21)()2fxf的 x 的取值范围是（）A1,4B1,4 C31,44 D3144，6 已知等比数列 na的前 n 项和为nS，若48=3=9SS，则16S 的值为（）A12B30C 45D817 已知函数321()(0,0)3f xaxxbx ab的一个极值点为2，则 11ab的最小值为（）A 7
3、4B 94C 85D 782021 年 7 月 24 日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示如下图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为 4，取正方形 ABCD 各边的四等分点HGFE,，作第 2 个正
4、方形 EFGH，然后再取正方形 EFGH 各边的四等分点QPNM,，作第 3 个正方形 MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案设正方形 ABCD 边长为1a，后续各正方形边长依次为23,naaa，；如图（2）阴影部分，设直角三角形 AEH面积为1b，后续各直角三角形面积依次为23,nbbb，下列说法错误的是（）A从正方形 ABCD 开始，连续 3 个正方形的面积之和为1294B11044nnaC使得不等式12nb 成立的 n 的最大值为 4D数列 nb的前 n 项和4nS 二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部
5、选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）9 下列命题为真命题的是（）A命题:p“2R320 xxx，”的否定为:p“2R+320 xxx，”B若,a b m为实数，则“22ambm”是“ab”的充分不必要条件C平面向量 a，b 的夹角为锐角的充要条件是0a b D若,a b 为实数，则11ab 是12abab 的充要条件图（1）图（2）2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 3页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 4页10已知函数 22sinfxx，下列说法正确的是（）A fx 的最小正周期为B fx 是
6、奇函数C fx 的单调递增区间为,2kkkZD fx 的图象关于点14,对称11已知数列 na的前 n 项和为nS，下列说法正确的是（）A若2111nSnn，则=212nan B若2+11nan，则数列na的前 10 项和为 49C若2+11nan，则nS 的最大值为 25D若数列 na为等差数列，且1011101110120,0aaa，则当0nS 时，n 的最大值为 202112已知函数 1ln1xf xxx，下列结论成立的是（）A函数 f x 在定义域内无极值B函数 fx 在点 2,2Af处的切线方程为5ln 282yxC函数 fx 在定义域内有且仅有一个零点D函数 f x 在定义域内有两
7、个零点12,x x，且12=1x x三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13将函数 yfx的图象向左平移 6 个单位长度后得到 sin 2g xx的图象，则=6f_14已知函数3(1 2),3()2,3xa xa xf xx，若单调递增数列 na满足()naf n，则实数 a 的取值范围为_15在 ABC中，4AB，3AC，3A，点O 为 ABC的外心，若 AOABAC，、R，则=_16若集合U1,2,3,2,UnnnnnNA B，且满足集合 A 中最大的数大于集合 B 中最大的数，则称有序集合对,A B 为“兄弟集合对”当3n 时，这样的“兄弟集合对”有_对；当3
8、n 时，这样的“兄弟集合对”有_对（用含有 n 的表达式作答）四、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本小题 10 分）已知数列 na的各项均为正数，其前 n 项和为nS，且2421nnnaSa（1）求,nna S；（2）设12 2+1+5nnnnnnaabSSn，为奇数，为偶数，求数列 nb的前 8 项和8T 18（本小题 12 分）小C 和小 D 两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有 6 个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有 1 个红球，2 个黄球，3 个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为 2个，小C 同学在甲盒子中取球，小 D
9、同学在乙盒子中取球（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次记球颜色相同的次数为随机变量X，求 X 的分布列和数学期望2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 5页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 6页19（本 小 题 12 分）如 图，在 四 棱 锥BCDEA-中，四 边 形 BCDE 为 平 行 四 边 形，且452CBEBC，三角形 ABE 为等腰直角三角形，且90,2BA
10、EAB（1）若点O 为棱 BE 的中点，证明：平面 ACD 平面 AOC；（2）若平面 ABE 平面 BCDE，点 F 为棱 BC 的中点，求直线 AF 与平面 ADE 所成角的正弦值20（本小题 12 分）在锐角三角形 ABC 中，内角CBA,的对边分别为cba,，且bBAbBc33)cos(33sin（1）求角C 的大小；（2）若3c，角 A 与角 B 的内角平分线相交于点 D，求 ABD面积的取值范围21（本小题 12 分）已知双曲线C：)0,0(12222babyax的左焦点为 F，右顶点为)0,1(A，点 P是其渐近线上的一点，且以 PF 为直径的圆过点 A，2PO，点O 为坐标原点
11、（1）求双曲线C 的标准方程；（2）当点 P 在 x 轴上方时，过点 P 作 y 轴的垂线与 y 轴相交于点 B，设直线)0(:kmmkxyl与双曲线C 相交于不同的两点NM,，若BNBM，求实数 m 的取值范围22（本小题 12 分）已知函数21()(1)+ln02f xaxaxx a（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a 时，判断函数()()(1)ln1g xf xxxx的零点个数2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 1页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 2页2021 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学
12、改革联盟学校期中联考高三数学参考答案一、单选题14DBAA58DCBC二、多选题9AB10ACD11CD12ABD三、填空题130142151 a151251614nn2324(第一空 2 分，第二空 3 分)四、解答题17解：（1）由原式可得：1242nnnaaS当1n时，；112411211aaaa当2n时，124 12412112 nnnnnnaaSaaS两式作差可得：121224nnnnnaaaaa所以1112nnnnnnaaaaaa又因为001 nnnaaa，则，所以21 nnaa（3 分）122)1(1nnan22)121(nnnSn12 nan2nSn（5 分）（2）为偶数，为奇
13、数nnSSnnnnnaabnnnnn12,242422251221（7 分）所以8218bbbT 86427531bbbbbbbb1511737957351338.（10 分）18（1）1222322+=6363633（4 分）（2）由题意可知:1(3,)3X BX 的所有可能取值为 0,1,2,303128(0)3327P X1213124(1)339P XC 2123122(2)339P XC 311(3)327P X（8 分）分布列为：期望1()313E X （12 分）19（1）证明：因为ABE为等腰直角三角形点 O 为棱的中点所以BEAO 又因为90,2BAEAB所以2BO又因为 在
14、 BOC中45,2,2CBOBCBO所以2cos222CBOBCBOBCBOCO所以222BCCOBO所以BECO 又因为OCOAO所以AOCBE平面又因为 BCDE 为平行四边形所以CDBE/X0123P82749291272021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 3页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 4页所以AOCCD平面又因为ACDCD平面所以AOCACD平面平面.（6 分）（2）因为BEBCDEABEBCDEABE平面，平面平面平面，BEAO 所以BCDEAO平面又因为OCBE 以O 点为坐标原点，分别以OAO
15、EOC,所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则 0,22,22,0,2,0,0,22,2,2,0,0FEDA所以,),2,22,22(),2,2,0(),2,22,2(AFAEAD设平面 ADE 的一个法向量为zyxn,则由,0,0AEnADn可得.022,02y222zyzx令1z，得1,1,1n（10 分）设直线 AF 与平面 ADE 所成角为3223322222,cossinAFn所以直线 AF 与平面 ADE 所成角的正弦值为322（12 分）20（1）解：bbBc33B)(Acos33sin由正弦定理可得：sinB33B)sinBcos(A33sinsi
16、nBCBCBBCsin33cossin33sinsin0sinB33cos33sinCC21)6sin(CC 为锐角3,66C66 C3C（5 分）（2）解：由题意可知32ADB，设DAB,3ABD220 又2,023B4,12（6 分）在 ABD中，由正弦定理可得：ABDADADBABsinsin即：3sin32sin3AD3sin2ADsin)3sin(2321sin21ADABS ABD2sin23cossin234362sin23（10 分）4,1232,3621,2362sin43,4334362sin23三角形面积的取值范围为43,433（12 分）xyz2021 年秋鄂东南教改联
17、盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 5页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 6页21（1）)0,(),0,(aAcF 双曲线渐近线方程为xaby以 PF 为直径的圆过点 AAFPA 不妨取点 P 在xaby 上,byaxpp2|PO422 ba1a32 b双曲线 C 的标准方程为：1322 yx（4 分）（2）由题意可知)0,3(B设2211,yxNyxM,线段 MN 中点 00,yxQ,联立1322yxmkxy得0323222mkmxxk依题意：0334)2(032222mkkmk即0303222kmk（6 分）222122133,32k
18、mxxkkmxx，,33,322002210kmmkxykkmxxx（8 分）|BM|=|BN|BQMNkkkmkmxykBQ1333332200，mk33432 又033432mk（10 分）由得：4330334mm或（12 分）22解：（1）21()(1)+ln02f xaxaxx a 函数的定义域为0+，21-(1)(1)1()=a xxaxaxafxxx（2 分）当1a 时，0 x，()0fx，当且仅当=1x时，()=0fx，()f x 在0+，单调递增；当1a 时，101xxa 或，()0fx，()f x 在10,+a1，单调递增，在1 1a，单调递减；当 10a 时，101xxa
19、或，()0fx，()f x 在10,1,+a-，单调递增，在11a，单调递减；综上所述：当1a 时，()f x 在0+，单调递增；当1a 时，()f x 在10,+a1，单调递增，在1 1a，单调递减；当 10a 时，()f x 在10,1,+a-，单调递增，在11a，单调递减；（5 分）（2）21()()(1)ln1(2)+ln112g xf xxxxaxax xxa ，()+ln1g xaxxa（6 分）设()()ln1h xg xxaxa1()0h xax所以()ln1h xxaxa 在0+，单调递增(1)10h (2)ln 21ln 20ha 01,2x000()ln1=0h xxax
20、a00ln=+1xaxa当00 xx时，()0h x，当0 xx时，()0h x 2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 7页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 8页()g x在00,x单调递减，在0 x ，单调递增（8 分）22min000000011()()(2)ln1=122g xg xaxaxxxaxx，01,2x 设 21=12xaxx=10 xax()x在1,2 单调递减(1)=02ag0()0g x在1,2 成立（此处可以直接用(1)=02ag说明有小于零的点）（9 分）lnyxx在10,e单调递减，在 1+e，单调递增1lnxxe 取10 x，设211111111()(2)ln1(2)102g xaxaxxxaxe 1112exa111012exa 1()0g x10 xx()=0g x22x 取，设22222222222111()(2)ln1(2)(2(2)0222g xaxaxxxaxaxx axa 22(2)0axa2222axa2222axa2()0g x2xx()=0g x（也可以找到大于 2 的点证明函数值大于 0，此处用极限说明扣 1 到 2 分）（11 分）()g x在定义域内有两个零点（12 分）
