1、 2 天津一中 2020-2021-1 高三年级数学学科一月考试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时120 分钟。第 I 卷 1 页，第 II 卷 至2页。考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。一选择题1已知全集U R，|0Ax x，|1Bx x，则UC AB （）A1,0 B1,1 C1,D0,1 2“(1)(1)0ba”是“log0a b”成立的 （）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知3log 5a，0.23b，1.23c，则 （）Abca Bbac C acb Dabc 4函数
2、 2xf xxtx e（实数t 为常数，且0t）的图象大致是 （）A B C D 5若0,2，且 2cos2sin4，则sin 2 的值为 （）A 18 B 38 C 12 D 78 6为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从 6 名医生和 4 名护士中抽选 3 人（医生和护士均至少有一人）分配到 A，B，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去 A 地区，则分配方案共有 （）A264 种 B224 种 C250 种 D236 种 7已知函数21()sincos2f xxxxx，则不等式(23)(1)0fxf的解集为（）3 A(2,)B(1,)C(2,1)D(,1)8设函数
3、 21,25,2xxf xxx ，若互不相等的实数,a b c 满足 f af bf c，则222abc的取值范围是 （）A16,32 B18,34 C17,35 D6,7 9.已知函数13,(1,0(),()()1,11,(0,1且在(xf xg xf xmxmxxx内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是 （）A91(,2(0,42 B111(,2(0,42 C92(,2(0,43 D112(,2(0,43 二填空题 10设复数 z 满足 25zi，则 zi 11已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中 x 的值为 12命题“2 230 xRaxax，恒成立
4、”是假命题，则实数 a 的取值范围是 13已知1cos4，则 sin(2)2 14.在52 12-xx 的二项展开式中，x 的系数为 15设函数 21722,04,0kxxf xxx，40)3-（g xk xk，若存在唯一的整数 x 使得 f xg x ，则实数 k 的取值范围是 三解答题16在ABC 中，角,A B C 所对的边分别为,a b c 已知 cos(2)cosaCbcA（1）求 A；4 （2）若2 5,2 2ab，（）求边c 的值；（）求ABC的面积 17随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是
5、调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数x 5x 520 x 20 x 人数 10 60 30（1）以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取 4 个人，求恰好有 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这 100 个人中抽取 20 个，再从抽取的 20 个人中随机抽取 4 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”
6、的人数，求Y的分布列及数学期望 E Y 18如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，四边形ABCD 是矩形，2PAAB，4AD，E 是 PB 的中点，AFPC，垂足为 F.（1）证明：/PD平面 ACE.（2）求点F 到平面PAB 的距离；（3）求二面角AEFC 的正弦值.19已知函数 ln1afxxx.（1）若曲线 yf x存在斜率为-1 的切线，求实数 a 的取值范围；（2）求函数 fx 的单调区间；（3）设函数 lnxag xx，求证：当 10a 时，g x 在1,上存在极小值.5 20已知函数1()(ln)xf xxea xx，aR.（1）当=1a时，求函数 fx 的单减区
7、间；（2）若()f x 存在极小值，求实数 a 的取值范围；（3）设0 x 是()f x 的极小值点，且0()0f x，证明：230002fxxx.6 参考答案 一、单选题1A 2B 3B 4B【解析】【分析】先由函数零点的个数排除选项 A,C;再结合函数的单调性即可得到选项.【详解】由 f（x）=0 得 x2+tx=0，得 x=0 或 x=-t，即函数 f（x）有两个零点，排除 A，C，函数的导数 f（x）=（2x+t）ex+（x2+tx）ex=x2+（t+2）x+tex，当 x-时，f（x）0，即在 x 轴最左侧，函数 f（x）为增函数，排除 D，故选 B 5D 6A【解析】【分析】分类计
8、数，考虑选取 1 名医生 2 名护士和选取 2 名医生 1 名护士两类情况求解.【详解】当选取的是 1 名医生 2 名护士，共有126436C C 种选法，分配到 A，B，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去 A 地区，共有2224A 种，即一共36 4144种方案；当选取的是 2 名医生 1 名护士，共有216460C C 种选法，分配到 A，B，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去 A 地区，共有222A 种，即一共60 2120种方案.综上所述：分配方案共有 264 种.故选：A 7C【解析】【分析】根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的
9、导数，判断函数在0，)上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可【详解】解：2211()sin()cos()sincos()22fxxxxxxxxxf x，则()f x 是偶函数，()sincossincos(1cos)fxxxxxxxxxxx，当0 x 时，()0fx，即函数在0，)上为增函数，则不等式(23)(1)0fxf得 231fxf，即|23|1fxf，7 则|23|1x ，得 1231x ，得 21x ，即不等式的解集为(2,1)，故选：C 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键属于中
10、档题 8B【解析】【分析】画出函数 fx 的图象，不妨令abc，则222ab结合图象可得45c，从而可得结果【详解】画出函数 fx 的图象如图所示 不妨令abc，则1 221ab，则222ab 结合图象可得45c，故16232c 1822234abc选 B【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质 9A【解析】【详解】
11、【分析】试题分析：令，分别作出与的图像如下，8 由图像知是过定点的一条直线，当直线绕着定点转动时，与图像产生不同的交点.当直线在轴和直线及切线和直线之间时，与图像产生两个交点，此时或 故答案选 A.考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.102 2 114 1230aa或 1378 14-40 15 17 3,6 【解析】【分析】根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数 x 使得 f xg x数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可.【详解】解：函数 21722,04,0kxxf xxx,且0,k 画出 fx 的图象如下：9 因为 43g xk x,且存在唯一的整数,x 使
12、得 f xg x,故 g x 与 fx 在0 x 时无交点,174kk,得173k；又 43g xk x,g x过定点 4,03 又由图像可知,若存在唯一的整数 x 使得 f xg x时43x,所以2x 58533939gkf,存在唯一的整数3,x 使得 f xg x 所以 22243gkf6k 844163gkf6k.根据图像可知,当4x 时,f xg x恒成立.综上所述,存在唯一的整数3,x 使得 f xg x,此时1763k 故答案为：17 3,6 【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点 4,03右边的整数点中3x 为满足条件的唯一整数,再数形结合列出
13、2,4x 时的不等式求k 的范围.属于难题.10 16（1）45A；（2）6.sincoscossin2 sincossin2 sincos2cos2455(2)sin53sinsin()101sinsin62ACACBABBAAAbABCAacABAabC（1）+=11 17 222441442013642022614420303(20)10010331323()()(1)10105000(2)5,25201220:6100148452184()4845136()p xp ACxxxCCC CpCC CpC（1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A由题意，分别抽取人，：人，人Y的
14、所有可能取值为0,1,2,3,4p(Y=0)=Y=1Y=2316144204642054845280()484515()4845C CpCCpCY=3Y=4 Y 的分布列 Y 0 1 2 3 4 P 10014845 21844845 13654845 2804845 154845 581461.248455EY=12 181/2/(2,4,2)(2ABCDOBDEOPDEOACEPDACEPDACEFPFPCF（1）连BD交于AC于O，连EO矩形为中点又面平面（2）PA平面ABCDABCD为矩形PA，AB，AD两两垂直如图连系，则A(0,0,0)D（0,4,0）B(2,0,0)C(2,4,0
15、)E(1,0,1)P(0,0,2)由题意设（x,y,z）设（x,y,z-2）=,4,22)02 24 42(22)0161 2 5(,)3 3 3,|23|F PABAF PCFPABADAF ADAB 又平面的一个法向量为（0,4 0）点F到平面PAB的距离d 13 (3)(,)0025003331(1,2,1)(,)040200(1,0,1)|cosAEFnx y zxzn AExyzn AFxnEFCmx y zm ECxyzxyzm FCmAEFCm n 设平面的法向量为则即令设平面的法向量为则即二面角为0|sin1mn 14 19(1),0.(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析
16、】【分析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为20 xxa存在大于 0 的实数根，根据2yxxa在0 x 时递增，求出a 的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数 g x，根据 0af ee，得到存在0(1,)xe，满足00()g x，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可.试题解析：（1）由 ln1af xxx 得 221(0)axafxxxxx.由已知曲线 yf x存在斜率为-1 的切线，所以 1fx 存在大于零的实数根，即20 xxa存在大于零的实数根，因为2yxxa在0 x 时单调递增，
17、所以实数 a 的取值范围,0.（2）由 2,0,xafxxaRx可得 当0a 时，0fx，所以函数 fx 的增区间为0,；当0a 时，若,xa ，0fx，若0,xa，0fx，所以此时函数 fx 的增区间为,a，减区间为0,a.（3）由 lnxag xx及题设得 22ln1lnlnaxf xxgxxx，由 10a 可得01a ，由（2）可知函数 fx 在,a 上递增，所以 110fa ，取 xe，显然1e，ln10aaf eeee ，所以存在01,xe满足00f x，即存在01,xe满足00gx，所以 g x，gx 在区间（1，+）上的情况如下：x 0(1,x）0 x 0(+x，）gx 0 +g
18、 x 极小 所以当-1a0 时，g（x）在（1，+）上存在极小值.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.20(1)当 a=1 时/11/1()(1)(0)()1()(0,1)(1)0()0(0,1)()(
19、0,1)xxxfxxexxg xx eg xgfxxf x令在且在（2）由（1）知0 100 xx ea，即0 10 xax e.所以00lnln1axx，0 100001lnxf xx exx.由00f x，得001ln0 xx.令 1lng xxx，显然 g x 在区间0,上单调递减.又 10g，所以由00f x，得001x.令 ln1(0)H xxxx，1111xxHxxxx，当1x 时，0Hx，函数 H x 单调递增；当01x时，0Hx，函数 H x 单调递减；所以，当1x 时，函数 H x 取最小值 10H，所以 ln10H xxx，即1lnxx，即1xex，所以0 100 xex，000001ln112 10 xxxxx，所以0 1223000000001ln2 12xfxx exxxxxx，即230002fxxx.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理
