1、5.微专题：重要函数汇编及应用在高一上期的学习中，总是会遇到形形色色的课本上没有但反复出现的函数，比如双钩函数，飘带函数等. 然而学生们对这些函数的学习却又及其零散，缺少无法系统的总结和练习. 即将期末，就有必要将这些函数整理汇总，总结其性质和常见题型，从而加深认识，巩固提升！一二次函数二次函数以及和或者，.函数例1.若，求该函数的值域.例2.求函数的值域.二双勾函数1.对勾函数的定义：形如的函数，叫做对勾函数2.对勾函数的图象与性质（1）定义域 （2）值域当时，（当且仅当，即时取等号）来源:学_科_网当时，（当且仅当，即时取等号）则：函数的值域为（3）奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称，则
2、对勾函数为奇函数（4）单调性函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数（5）渐近线当时，当时，说明函数的的图象在第一、第三象限当时，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，说明函数在第三象限的图象在直线的下方. 双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线 二分式函数（1） 型.对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解.（2） 型.对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解.（3） 型.形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域.（4） 型.形如可通过
3、换元将问题转化为（3），然后进行求解.小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法： ：换元分离常数反比例函数模型. ：换元分离常数（双勾函数、伪勾函数）模型. ：同时除以分子：的模型. ：分离常数的模型.共同点：让分式的分子变为常数上述函数多出现在二次函数恒成立或者存在性问题中，利用分离参数法，经常会得到上述分式函数.例2. 求函数的值域解析：设. 于是问题转化为求的值域，由对勾函数当时取等号，即.三指数型函数 假设且.（1）. 为偶函数 （2）.为奇函数（3）.为奇函数 （4）.可转化为（2）或（3） 例3.设，函数（1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数；（2）已知（i）判断并证
4、明函数的单调性；（ii）函数在区间上的值域是，求的取值范围四对数型函数（1）.都是奇函数.（2）.是奇函数.（3）.(且)是偶函数.例4.已知函数是偶函数.(1).并求实数的值；(2).若方程有实数根，求的取值范围；(3).设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围.1.常见的几类指数型函数模型： 假设且.(1). (2).(3). (4).(5).(6).2.常见的几类对数型函数模型：假设且.(1)(2)都是奇函数.(3)是奇函数.(4)(且)是偶函数.二典型例题分析例1已知奇函数，.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性并进行证明；（3）若函数满足，求实数m的取值范围.分析与
5、解：（1）；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【分析】（1）由奇函数的性质有，即可求参数a，并验证奇函数.（2）利用函数单调性的定义：取，结合解析式判断的符号即可；（3）根据的奇偶性得，再由单调性有，即可求m的范围.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即，可得.，则，符合题设.（2）证明：由（1）可知，.任取，则 ，即在上单调递增.（3）为奇函数，又在上是奇函数，可化为，又由（2）知在上单调递增，解得.例2已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的取值范围；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析与解: （1），；（2）.【分析】：（1）利用奇函数定义，在中，运用特殊值求，的值
6、,再验证即可.（2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，然后参变量分离为：即在恒成立，设，最后求的最小值即可求出的取值范围.【详解】解：（1）因为函数是奇函数，所以有，即，解得，从而有.又由知，得.当，则，则，所以，即，所以为奇函数. 所以，.（2）由，由上式易知，函数在是单调递减函数，又函数是奇函数，从而不等式等价于，再由函数的单调性知，上述不等式等价于，即对一切，不等式总成立，即在恒成立.考察函数，是增函数，所以，所以满足题意的实数的取值范围是.例3.设，函数（1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数；（2）已知（i）判断并证明函数的单调性；（ii）
7、函数在区间上的值域是，求的取值范围分析与解：（1）证明见解析；（2）（i）函数为上的单调增函数，证明见解析；（ii）.【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明；（2）先由，求得函数的定义域为（i）再利用函数单调性的定义证明； （ii）根据（i）知，函数为上的单调增函数，结合函数在区间上的值域是，得到，进而转化为关于的方程有两个互异实根求解【详解】（1）证明：因为，所以，由得函数的定义域为，又所以函数为定义域上的奇函数（2）当时，因为，所以，所以函数的定义域为（i）结论：函数为上的单调增函数证明：设对任意的，且，因为，所以即因为，所以，又，所以，即，所以函数为上的单调增函数（ii）因为，所以，从而
8、又由知，所以，因为，由（i）知，函数为上的单调增函数因为函数在区间上的值域是，所以，即从而关于的方程有两个互异实根令，所以方程有两个互异正根所以，解得.例4.已知函数，其中为常数.（1）当时，求函数的值域；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.分析与解：（1）；（2）【分析】：.（1）令，易知，于是等价转化为求函数在R上的值域，再根据二次函数的性质计算可得；（2）设，故等价于，恒成立，即等价于对恒成立，令，利用函数的性质及基本不等式求出、，即可得解；【详解】解.（1）当时，令，易知，于是等价转化为求函数在R上的值域.因为，所以的值域为.（2）对，恒成立，即，恒成立，设，因为，所以.故等价于，恒
9、成立，即等价于对恒成立，令，易知在上单调递增，所以.令，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，所以.所以，即实数a的取值范围是.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集 例5已知函数是偶函数.(1).并求实数的值；(2).若方程有实数根，求的取值范围；(3).设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围.分析与解：（1）（2）的取值范围是；（3）的取值范围是。【分析】：（1）利用偶函数定义，由可以求出；（2）利用数形结合将方程有实数根转化为两个函数图像有
10、交点，注意分离参数的技巧。（3）将函数图像有且仅有一个公共点，转化为方程只有一个正根，再用换元法转化为一元二次方程的根的分布问题。【详解】 解：（1）为偶函数，对任意，有， 对恒成立。对恒成立，对恒成立，（2）由题意知有实数根，即：有解。令，则函数的图像与直线有交点。，的取值范围是。（3）由（1）知，由题意知有且只有一个实数根。令，则关于的方程有且只有一个正根。若，则，不合题意，舍去；若，则方程的两根异号或方程有两相等正根。方程有两相等正根等价于，解得。方程的两根异号等价于，解得。综上所述，实数的取值范围是。例6.已知函数，函数是奇函数. (1).判断函数的奇偶性，并求实数的值;(2).若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围;(3).设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.分析与解：（1）是偶函数，；（2）；（3）.【详解】:（1） 函数的定义域为,任意有：是偶函数。是奇函数，得，则，经检验是奇函数，故。（2） ， 易知在上单调递增，且为奇函数， 对任意的，不等式，。即是恒成立，故时恒成立，显然,当且仅当时取最小值2。（3） ，由已知得，存在使不等式成立， 在上的最大值，而在上单调递增， ，即，可得，解得又，即。三归纳总结：
