1、课后素养落实(三十六)极大值与极小值(建议用时：40分钟) 一、选择题1设函数f(x)的定义域为R，f(x)在x0(x00)处取得极大值，以下结论一定正确的是()Af(x)在x0处取得的极小值B对任意xR，f(x)f(x0)Cf(x)在x0处取得的极小值Df(x)在x0处取得的极大值A对于A，函数f(x)与函数f(x)的图象关于原点对称，因此f(x)在x0处取得的极小值；对于B，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f(x0)是否最大；对于C，函数f(x)与函数f(x)的图象关于y轴对称，因此f(x)在x0处取得的极大值；对于D，函数f(x)与函数f(x)的图象关于x轴对称，因此f(
2、x)在x0处取得的极小值，故D错误2已知函数f(x)的导函数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是()A(，1)B(0，)C(0，1)D(1，0)Df(x)a(x1)(xa)，若a1，f(x)在(，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，f(x)在xa处取得极小值，与题意不符；若1a0，则f(x)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意不符，故选D3函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则()Af是极大值Bf(2)是极大值Cf(2)的极大值Df是极小值A对于A选项，当2x时，f(x)0，当x2时，f(x)0，f是极大值，A选项正确；对于B选
3、项，当x2时，f(x)0，当2x时，f(x)0，f(2)是极小值，B选项错误；对于C选项，当x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，f(2)是极小值，C选项错误；对于D选项，由于函数yf(x)为可导函数，且f0，f不是极小值，D选项错误故选A4当x1时，三次函数有极大值4，当x3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()Ayx36x29xByx36x29xCyx36x29xDyx36x29xB三次函数过原点，故可设为yx3bx2cx，y3x22bxc又x1，3是y0的两个根，即yx36x29x，又y3x212x93(x1)(x3)，当x1时，f(x)极大值4 ，当x3时，f(x)极小值0，满
4、足条件，故选B5已知a为常数，函数f(x)xln xax2x有两个极值，则实数a的取值范围为()AB(0，e)C DAf(x)ln x22ax，函数f(x)有两个极值，则f(x)有两个零点，即函数yln x与函数y2ax2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数yln x求导(ln x)，则有解得要使函数图象有两个交点，则02ae，即0a故选A二、填空题6已知函数f(x)x3x2cxd无极值，则实数c的取值范围为_f(x)x2xc，要使f(x)无极值，则方程f(x)x2xc0没有变号的实数解，从而14c0，c7若可导函数f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调
5、递减，则f(1)_，f(1)是函数f(x)的_值0极大由题意可知，当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，f(1)0，f(1)是函数f(x)的极大值8已知函数f(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f(x)极大值与极小值之差为_4求导得f(x)3x26ax3b，因为函数f(x)在x2取得极值，所以f(2)3226a23b0，即4ab40又因为图象在x1处的切线与直线6x2y50平行，所以f(1)36a3b3，即2ab20，联立可得a1，b0，所以f(x)3x26x3x(x2)当f(x)0时，x0或x2；当f(x)0时，0x2，函数的单调增区
6、间是(，0)和(2，)，函数的单调减区间是(0，2)，因此求出函数的极大值为f(0)0c，极小值为f(2)4c，故函数的极大值与极小值的差为0(4)4，故答案为4三、解答题9已知函数f(x)x3ax2bx1，曲线yf(x)在x1处的切线方程为y8x1(1)求函数f(x)的解析式；(2)求yf(x)在区间(1，4)上的极值解(1)因为f(x)x3ax2bx1，所以f(x)3x22axb所以曲线yf(x)在x1处的切线方程的斜率kf(x)|x1f(1)32ab又因为k8，所以2ab11又因为f(1)1ab1811，所以ab7，联立解得a4，b3所以f(x)x34x23x1(2)由(1)知，f(x)
7、3x28x33(x3)，令f(x)0得，x1，x23当1x，f(x)0，f(x)单调递增；当x3，f(x)0，f(x)单调递减；当3x4，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在区间(1，4)上的极小值为f(3)19，极大值为f10已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断f(x)在x1处取得极大值还是极小值，并说明理由解f(x)3ax2 2bxc(1)法一：f(x)在x1处取得极值，x1是方程3ax22bxc0的两根由根与系数的关系知又f(1)1，abc1，由解得a，b0，c法二：由f(1)f(1)0，得3a2bc0，3a2
8、bc0，又f(1)1，abc1，由解得a，b0，c(2)由(1)知f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)当x1或x1时f(x)0，当1x1时，f(x)0函数f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1，1)上是减函数当x1时，函数取得极大值；当x1时，函数取得极小值11(多选题)定义在R上的可导函数yf(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是()Af(3)是极小值Bf(2)和f(1)都是f(x)的极大值Cf(x)的单调递增区间是(3，)Df(x)的单调递减区间是(，3)ACD当x3时，f(x)0，x(3，)时f(x)0，f(3)是极小值，无极大值，增区间是(3，)，减区间是(，3
9、)故选ACD12(多选题)若函数f(x)x32x2a2x1有两个极值，则a的值可以为()A0B1C2D3ABf(x)x32x2a2x1，f(x)3x24xa2函数f(x)x32x2a2x1有两个极值，则f(x)3x24xa2与x轴有两个交点，即4243a20，解得a，故满足条件的有AB故选AB13已知函数f(x)(x2mxm)ex2m(mR，e是自然对数的底数)在x0处取得极小值，则m_，这时f(x)的极大值是_04e2由题意知f(x)x2(2m)x2mex由f(0)2m0，解得m0则f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，令f(x)0，解得x0或x2，故函数f(x)的单调递增区间是(，2
10、)，(0，)，单调递减区间是(2，0)，所以函数f(x)在x2处取得极大值，且有f(2)4e214已知函数f(x)xe2x1，则函数f(x)的极小值为_，零点有_个11f(x)xe2x1，f(x)e2x2xe2x(12x)e2x，令f(x)0，可得x，如下表所示：xf(x)0f(x)极小值所以，函数yf(x)的极小值为f 1，f(x)0e2x，则函数yf(x)的零点个数等于函数ye2x与函数y的图象的交点个数，如图所示两个函数的图象有且只有一个交点，即函数yf(x)只有一个零点15已知函数f(x)(kR)(1)k为何值时，函数f(x)无极值？(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0解(1)f
11、(x)，f(x)要使f(x)无极值，只需f(x)0或f(x)0恒成立即可设g(x)2x2(k4)x2k，ex0，f(x)与g(x)同号g(x)的二次项系数为2，只能满足g(x)0恒成立，(k4)216k(k4)20，解得k4，当k4时，f(x)无极值(2)由(1)知k4，令f(x)0，得x12，x2当2，即k4时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2，)f(x)00f(x)极小值极大值由题意知f0，可得2kk0，k0，满足k4当2，即k4时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2f(x)00f(x)极小值极大值由题意知f(2)0，可得2222kk0，k8，满足k4综上，当k0或k8时，f(x)有极小值0
