1、课后限时集训(五十八)圆锥曲线中的范围、最值问题 建议用时：40 分钟1已知椭圆 C：x22y24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值 解(1)由题意，椭圆 C 的标准方程为x24y221，所以 a24，b22，从而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故椭圆 C 的离心率 eca 22.(2)设点 A，B 的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中 x00.因为 OAOB，所以OA OB 0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.又 x202y204，所以|AB|2(x0t)2(
2、y02)2x02y0 x02(y02)2 x20y204y20 x20 4x204x20224x20 x20 4 x202 8x204(0 x204)因为x202 8x204(0 x204)，且当 x204 时等号成立，所以|AB|28.故线段 AB 长度的最小值为 2 2.2已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1,0)，F2(1,0)，P 为椭圆 C 上一点，满足 3|PF1|5|PF2|，且 cosF1PF235.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 Q14，0，若|AQ|BQ|，求 k 的取值范围 解
3、(1)由题意设|PF1|r1，|PF2|r2，则 3r15r2.又 r1r22a，联立，解得 r154a，r234a.在PF1F2 中，由余弦定理得 cosF1PF2r21r22|F1F2|22r1r254a234a222254a34a35，解得 a24.因为 c1，所以 b2a2c23，于是椭圆 C 的标准方程为x24y231.(2)由ykxm，x24y231消去 y 并整理，得(34k2)x28kmx4m2120.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28km34k2，x1x24m21234k2，且(8km)24(34k2)(4m212)48(34k2m2)0.设线段 AB 的
4、中点为 M(x0，y0)，连接 QM，则 x0 x1x224km34k2，y0kx0m 3m34k2.因为|AQ|BQ|，所以 ABQM，又 Q14，0，M 为线段 AB 的中点，所以 k0，直线 QM 的斜率存在，所以 kkQMk3m34k24km34k2141，解得 m34k24k.把代入，得 34k234k24k2，解得 k12或 k12.即 k 的取值范围为，12 12，.3.如图，已知抛物线 x2y，点 A12，14，B32，94，抛物线上的点 P(x，y)12x32.过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.(1)求直线 AP 斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值 解(1)设直线 AP 的斜率为 k，kx214x12x12，因为12x32，所以直线 AP 斜率的取值范围是(1,1)(2)联立直线 AP 与 BQ 的方程kxy12k140，xky94k320，解得点 Q 的横坐标是 xQk24k32k21.因为|PA|1k2x12 1k2(k1)，|PQ|1k2(xQx)k1k12k21，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令 f(k)(k1)(k1)3，因为 f(k)(4k2)(k1)2，所以 f(k)在区间1，12 上单调递增，12，1 上单调递减，因此当 k12时，|PA|PQ|取得最大值2716.
