1、43.2对数的运算必备知识探新知基础知识知识点1 对数的运算性质条件a0，且a1，M0，N0性质loga(MN)logaMlogaNlogalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，loga(MNQ)logaMlogaNlogaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积知识点2 换底公式若a0，且a1；b0；c0，且c1，则有logab思考2：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？(2)你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logNnMmlogNM吗？提
2、示：(1)logab，logab.(2)logNnMmlogNM.基础自测1若a0，a1，x0，y0，xy，下列式子中正确的个数是(A)logaxlogayloga(xy)；logaxlogayloga(xy)；logalogaxlogay；loga(xy)logaxlogay.A0B1C2D3解析由对数运算法则知，均不正确故选A2log62log63等于(A)A1B2C5D6解析log62log63log6(23)log661.3(2020天津和平区高一期中测试)计算：log25log32log592解析原式2.4求下列各式的值：(1)log3(2792)；(2)lg5lg2；(3)ln3l
3、n；(4)log35log315.解析(1)方法一：log3(2792)log327log392log333log3343log334log33347；方法二：log3(2792)log3(3334)log3377log337.(2)lg5lg2lg(52)lg101.(3)ln3lnln(3)ln10.(4)log35log315log3log3log3311.关键能力攻重难题型探究题型一对数的运算性质的应用例1 用logax，logay，logaz表示：(1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga.解析(1)loga(xy2)logaxlogay2logax2logay.
4、(2)loga(x)logaxlogalogaxlogay.(3)logalogalogaxloga(yz2)(logaxlogay2logaz)归纳提升对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质二要注意取值范围对符号的限制【对点练习】 用logax、logay、logaz表示下列各式：(1)loga(x3y5)；(2)loga.解析(1)loga(x3y5)logax3logay53logax5logay.(2)logalogaloga(yz)logax(logaylogaz)logaxlogaylogaz.题型二利用对数的运算性质化简、求值例2(1)(lg5)22lg2
5、(lg2)2；(2)；(3)log5352log5log57log51.8.分析熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键进行对数运算，要注意法则的正用和逆用在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案解析(1)原式(lg5)2(2lg2)lg2(lg5)2(1lg5)lg2(lg5)2lg2lg5lg2(lg5lg2)lg5lg2lg5lg21.(2)原式.(3)原式log5(57)2(log57log53)log57log5log55log572log572log53log572log53log552log552.归纳提升利用对数运算性质化简与求值的原则和方
6、法(1)基本原则：正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行(2)两种常用的方法：“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)【对点练习】 计算下列各式的值：(1)lglglg；(2)lg25lg8lg5lg20(lg2)2.解析(1)法一：原式(5lg22lg7)lg2(2lg7lg5)lg2lg72lg2lg7lg5lg2lg5(lg2lg5)lg10.法二：原式lglg4lg7lglog()lg.(2)原式2lg52lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)22lg10(lg
7、5lg2)22(lg10)2213.题型三换底公式的应用例3(1)计算log2log3log5；(2)若log34log48log8mlog42，求m的值分析(1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值解析(1)原式12.(2)由题意，得，lgmlg3，即lgmlg3，m.归纳提升关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关
8、系恰当选用一些重要的结论，如logab；logaann，logambnlogab；lg2lg51等，将会达到事半功倍的效果【对点练习】 计算下列各式的值：(1)log89log2732；(2)log927；(3)log2log3log5.解析(1)log89log2732.(2)log927.(3)log2log3log5log253log325log5313log25(5log32)(log53)1515.误区警示忽视真数大于零致误例4解方程：log2(x1)log4(x4)1.错解原方程变形为log2(x1)log2(x4)1，log2(x1)log21，log2log22，2，x22x1
9、50，x3或x5，故原方程的解为x3或x5.错因分析解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错正解log2(x1)log4(x4)1，log41，解得x5或x3(舍去)方程log2(x1)log4(x4)1的解为x5.方法点拨在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解学科素养转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力例5(1
10、)设3x4y36，求的值；(2)已知log23a，3b7，求log1256.分析(1)欲求的值，已知3x36，4y36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b7化为对数式解决观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12322，56723，故还可以利用换底公式的推论loganbmlogab，将条件中的对数式log23a化为指数式解答解析(1)由已知分别求出x和y，3x36，4y36，xlog336，ylog436，由换底公式得：x，y，log363，log364，2log
11、363log364log36(324)log36361.(2)解法一：因为log23a，所以2a3.又3b7，故7(2a)b2ab，故5623ab，又12342a42a2，从而log1256log2a223ab.解法二：因为log23a，所以log32.又3b7，所以log37b.从而log1256.归纳提升1.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用2对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化3利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一
12、：用对数的运算法则及性质进行部分运算换成同一底数思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)化简、通分、求值课堂检测固双基12log510log50.25的值为(C)A0B1C2D4解析原式log5100log50.25log5(1000.25)log525log5522.2(2021北京丰台区高一期末测试)lg25lg4()的值为(B)AB5 CD13解析原式lg(254)(32)lg1003235.3.log612log6解析原式log612log62log6log66.4计算下列各式的值：(1)2lg5lg4eln2log2；(2)(log23log89)(log34log98log32)解析(1)原式2lg52lg2232(lg5lg2)57.(2)原式(log23)(log322log32)(log23log23)(2log32log32log32)log23log32.
