1、第2课时分段函数必备知识探新知基础知识知识点 分段函数如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数而不是几个函数基础自测1若f(x)则ff(2)(C)A2B3C4D5解析20，f(2)(2)2，又20，ff(2)f(2)2242函数y|x|的图象是(B)解析因为y|x|所以B选项正确3(2020江苏徐州高一期中测试)已知f(x)，则ff(3)的值为_3_解析f(x)，f(3)1，ff(3)f(1)34已知函数f(x)若f(x)3，则x_解析当x0时，
2、令x23，x1不符合题意；当0x3时，令x23，x或(舍去)关键能力攻重难题型探究题型一分段函数的求值问题例1已知函数f(x)(1)求f(4)，f(3)，ff(2)；(2)若f(a)10，求a的值分析分段函数的解析式求函数值或已知函数值列方程求字母的值解析(1)f(4)422，f(3)236，f(2)220，ff(2)f(0)020(2)当a1时，a210，可得a8，不符合题意；当1a2时，a210，可得a，不符合题意；当a2时，2a10，可得a5，符合题意；综上可知，a5归纳提升求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现
3、ff(x0)的形式时，应从内到外依次求值【对点练习】 已知函数f(x)(1)求f(5)，f(1)，ff()；(2)若f(a22)a4，求实数a的取值范围解析(1)由5(，2，1(2,2)，(，2，知f(5)514，f(1)3158，ff()f(1)f()3()5(2)(，1，)题型二分段函数的图象及应用例2已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域分析先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象解析(1)当0x2时，f(x)11；当2x0时，f(x)11x所以f(x)(2)函
4、数f(x)的图象如图所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)归纳提升分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏【对点练习】 已知函数f(x)(1)画出函数的图象；(2)若f(x)1，求x的值解析(1)函数图象如图所示(2)由f(x)1和函数图象综合判断可知，当x(，1)时，得f(x)2x11，解得x0；当x1，)时
5、，得f(x)x22x1，解得x1或x1(舍去)综上可知x的值为0或1 题型三分段函数的应用问题例3如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，APB的面积为y(1)求y关于x的函数关系式yf(x)；(2)画出yf(x)的图象；(3)若APB的面积不小于2，求x的取值范围分析(1)点P位置不同ABP的形状一样吗？(2)注意该函数的定义域解析(1)y(2)yf(x)的图象如图所示(3)即f(x)2，当0x4时，2x2，x1，当8x12时，2(12x)2，x11，x的取值范围是1x11归纳提升利用分段函数求解实际应用题的策略(
6、1)首要条件：把文字语言转换为数学语言(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法【对点练习】 如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象解析过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45，AB2 cm，又BC7 cm，所以ADGH3 cm(1)当点F在BG上，即x0,2时，yx2；(2)当点F在GH上
7、，即x(2,5时，y22x2；(3)当点F在HC上，即x(5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y图象如图所示误区警示分段函数概念的理解错误例4求函数f(x)的定义域错解x0时，f(x)x21，x0时， f(x)x，当x0时，f(x)的定义域为0，)，当x0时，f(x)的定义域为(，0)错因分析错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数f(x)是两个函数正解函数f(x)的定义域为(，0)0，)，即(，)，函数f(x)的定义域为(，)学科素养建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达
8、问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识例5某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产
9、一件新样式单车需要增加投入100元根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)x是新样式单车的月产量(单位：件)，利润总收益总成本(1)试将自行车厂的利润y表示为月产量x的函数；(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？分析总成本固定成本可变成本，本题中，固定成本为20 000元，可变成本为100x元解析(1)依题设，总成本为20 000100x，则y(2)当0x400时，y(x300)225 000，则当x300时，ymax25 000当x400时，y60 000100x是减函数，则y60 00010040020 000综上可知，当月产量x3
10、00件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25 000元归纳提升求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值课堂检测固双基1函数f(x)|x1|的图象是(B)解析f(x)|x1|，故选B2函数f(x)，若f(x)3，则x的值为(D)A1B1或CD解析当x1时，由x23，得x1(舍)；当1x2时，由x23得x或x(舍)；当x2时，由2x3得x(舍)故选D3函数f(x)的值域是(D)ARB0，)C0,3 D0,23解析作出yf(x)的图象，如图所示由图象知，f(x)的值域是0,23，故选D4已知函数f(x)求ff()的值解析f()232，f(2)2(2)31，ff()f(2)1
