1、学案41空间几何体的表面积与体积导学目标： 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力自主梳理1多面体的表面积(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧_.(2)设正n棱锥底面边长为a，底面周长为c，斜高为h，则S正棱锥侧_.(3)设正n棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a，周长为c，斜高为h，则S正棱台侧_.(4)设球的半径为R，则S球_.2几何体的体积公式(1)柱体的体积V柱体_(其中S为柱体的底面面积，h
2、为高)特别地，底面半径是r，高是h的圆柱体的体积V圆柱r2h.(2)锥体的体积V锥体_(其中S为锥体的底面面积，h为高)特别地，底面半径是r，高是h的圆锥的体积V圆锥r2h.(3)台体的体积V台体_(其中S，S分别是台体上、下底面的面积，h为高)特别地，上、下底面的半径分别是r、r，高是h的圆台的体积V圆台h(r2rrr2)(4)球的体积V球_(其中R为球的半径)自我检测1已知两平行平面，间的距离为3，P，边长为1的正三角形ABC在平面内，则三棱锥PABC的体积为()A. B.C. D.2(2011唐山月考)从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，则它的表面积与正方
3、体表面积的比为()A.3 B.2C.6 D.63设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PAQC1，则四棱锥BAPQC的体积为()A.V B.VC.V D.V4(2011平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A9 B10C11 D125(2011陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是()A8 B8C82 D.探究点一多面体的表面积及体积例1三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60角，求此棱柱的侧面积与体积变式迁移1(2011烟台月考)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都
4、等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为_探究点二旋转体的表面积及体积例2如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中BAC30)及其体积变式迁移2直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_探究点三侧面展开图中的最值问题例3如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，CC1c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长变式迁移3(2011杭州月考)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，
5、AC6，BCCC1 .P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_1有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台
6、成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48 B328C488 D802已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是()A96 B16 C24 D483已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动(EFbc0，abacbc0. 故最短线路的长为.变式迁移35解析将BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图所示连接A1C即为CPPA1的
7、最小值，过点C作CD垂直A1C1延长线交于D，BCC1为等腰直角三角形，CD1，C1D1，A1DA1C1C1D7.A1C 5 .课后练习区1C由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为.所以S表4224(24)4242488.2D由R3，R2.正三棱柱的高h4.设其底面边长为a，则a2，a4.V(4)2448.3D4.B5C将三视图还原成几何体的直观图如图所示它的四个面的面积分别为8,6,10,6，故最大的面积应为10.66解析取底面中心为O，AF中
8、点为M，连接PO、OM、PM、AO，则POOM，OMAF，PMAF，OAOP2，OM，PM.S侧626.7.解析围成圆锥筒的母线长为4 cm，设圆锥的底面半径为r，则2r24，r1，圆锥的高h.V圆锥r2h(cm3)82R2解析方法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为，则圆柱高为2Rcos ，圆柱底面半径为Rsin ，S圆柱侧2Rsin 2Rcos 2R2sin 2.当sin 21时，S圆柱侧最大为2R2，此时，S球表S圆柱侧4R22R22R2.方法二设圆柱底面半径为r，则其高为2.S圆柱侧2r2，S圆柱侧4.令S圆柱侧0，得rR.当0r0；当RrR时，S0.当rR时，S圆柱侧取得最大值2R2.此时
9、S球表S圆柱侧4R22R22R2.方法三设圆柱底面半径为r，则其高为2，S圆柱侧2r2442R2(当且仅当r2R2r2，即rR时取“”)当rR时，S圆柱侧最大为2R2.此时S球表S圆柱侧4R22R22R2.9解设圆柱的底面半径为r，母线长为h，当点C是弧的中点时，三角形ABC的面积为r2，三棱柱ABCA1B1C1的体积为r2h，三棱锥A1ABC的体积为r2h，四棱锥A1BCC1B1的体积为r2hr2hr2h，圆柱的体积为r2h，(10分)故四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比为23.(12分)10(1)证明取BC的中点E，连接AE，DE，EF，ABC与DBC都是边长为4的正三角形，AEBC，D
10、EBC.又AEDEE，BC平面AED.又AD面AED，BCAD.(6分)(2)解由已知得，AED为等腰三角形，且AEED2，设ADx，F为棱AD的中点，则EF，SAEDx ，(8分)VSAED(BECE) (0x4)，当x224，即x2时，Vmax8，该四面体存在最大值，最大值为8，(11分)此时棱长AD2.(12分)11(1)证明由多面体ABFEDC的三视图知，三棱柱AEDBFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DAAE2，DA平面ABFE，面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形(3分)连接EB，则M是EB的中点，在EBC中，MNEC，且EC平面CDEF，MN平面CDEF，MN平面CDEF.(6分)(2)解DA平面ABFE，EF平面ABFE，EFAD.又EFAE，AEADA，EF平面ADE.又DE平面ADE，EFDE，(8分)四边形CDEF是矩形，且平面CDEF平面DAE.取DE的中点H，连接AH，DAAE，DAAE2，AH，且AH平面CDEF.(12分)多面体ACDEF的体积VSCDEFAHDEEFAH.(14分)
