1、北 京 四 中 2005年数学第三次统测(文科) 一、选择题:(每小题5分) 1. 在正实数集上定义一种运算*:当时,a*b=b3;当时,a*b=b2。根据这个定义,满足3*x=27的x的值为( ) A3 B1或9 C1或 D3或 2. 函数的部分图象大致是( ) A.B. C.D. 3. 在的展开式中,含项的系数是首项为2公差为3的等差数列的( ) A第13项 B第18项 C第11项 D第20项4. 若将函数的图象按向量平移,使图象上点P的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后图象的解析式为( ) AB CD 5. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个平面的距离是4cm,则该球的
2、体积是( ) AB C D 6. 已知,则下列排序正确的是( ) AB CD 7. 已知,点C在坐标轴上,若,则这样的点C的个数为( )A1 B2 C3D4 8. 设数集,且都是集合的子集,如果把叫做集合的“长度”,那么集合的“长度”的最小值是( )ABCD 二、填空题:(每小题5分) 9. 函数的定义域是_,递增区间是_. 10. 在数列中,若且对任意有则数列前项的和为_,前项和最小时的等于_. 11. 若,则目标函数的取值范围是_. 12. 向量a、b满足(ab)(2a+b)=4,且|a|=2,|b|=4,则a与b夹角的余弦值等于_. 13. 已知P是抛物线上的动点,定点A(0,-1),若
3、点M分所成的比为2,则点M的轨迹方程是_,它的焦点坐标是_ 14. 若定义在区间D上的函数对于D上的任意n个值,总满足,则称为D上的凸函数. 现已知在上是凸函数,则锐角中,的最大值是_ 答案 一、选择题:(每小题5分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题:(每小题5分) 9 10 11 12 13 14 15. (本小题满分13分) 矩形ABCD,AB=4,BC=3,E为DC中点,沿AE将AED折起,使二面角D-AE-B为60。 (I)求DE与平面AC所成角的正弦值; (II)求二面角D-EC-B的正切值。 16. (本小题满分13分) 已知为锐角,且。 (1)求的值; (
4、2)求的值。 17. (本小题满分14分) 设函数是三次函数,是一次函数,在处有极值2.(1)求的解析式;(2)求的单调区间. 18. (本小题满分14分) 已知函数. (1) 求的值,使点到直线的距离最短为; (2) 若不等式在恒成立,求的取值范围. 19. (本小题满分13分) 直线与曲线交于(异于原点);过且斜率为的直线与曲线交于(异于);过且斜率为的直线与曲线交于(异于), 过且斜率为的直线与曲线交于(异于),。设坐标为,(). ()求和的表达式; ()判定是否存在,若存在,求它的值;若不存在,说明理由. 20. (本小题满分13分) 已知为椭圆和双曲线的公共顶点,分别为双曲线和椭圆上
5、不同于的动点,且有,设的斜率分别是. (1)求证; (2)设分别为双曲线和椭圆的右焦点,若,求的值.答案 一、选择题:(每小题5分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D C C B C C 二、填空题:(每小题5分) 9 (-,-3)(1,+) (-,-3) 10 4或5 11 8,14 12 13 y=6x2-1(x0) 14 15如图1,过点D作DMAE于M,延长DM与BC交于N,在翻折过程中DMAE,MNAE保持不变,翻折后,如图2,DMN为二面角D-AE-B的平面角,DMN=60,AE平面DMN,又因为AE平面AC,则平面AC平面DMN。 (I)在平面DMN内,作D
6、OMN于O, 平面AC平面DMN, DO平面AC。 连结OE,DOOE,DEO为DE与平面AC所成的角 如图1,在直角三角形ADE中,AD=3,DE=2, , 。 如图2,在直角三角形DOM中,DO=DMsin60=, 在直角三角形DOE中,则。 DE与平面AC所成的角为。 (II)如图2,在平面AC内,作OFEC于F,连结DE, DO平面AC,DFEC,DFO为二面角D-EC-B的平面角。 如图1,作OFDC于F,则RtEMDRtOFD,。 如图2,在RtDOM中,OM=DMcosDMO=DMcos60=. 如图1,DO=DM+MO。 在RtDFO中, 二面角D-EC-B的大小为。 16.
7、(1)x为锐角 (2) 17解:(1)设 的递增区间为,递减区间为 18. 解:(1)由题意得M到直线x+y-1=0的距离 令 解得a=3或a=-1(舍去) a=3 (2)由 得 也就是 令 即at2-2t+a20在t1,2上恒成立 设,则要使上述条件成立,只需 解得 即满足题意的a的取值范围是 19解:()由已知, 设,其中, 解(注意到)得, x1=1 于是,; ; ; 猜测 当时,猜测正确, 假设当时,成立,即 那么,当时, 综上所述,. (). 所以,. 20. 解:(1)A(-a,0),B(a,0),设P(x1,y1)Q(x2,y2) 则 (2) 由(1) 又P在双曲线上 同理 。